Eğer rastgele simetrik bir matris üretersem, pozitif kesin olma şansı nedir?

Bazı dışbükey optimizasyonlar denemede tuhaf bir soru var. Soru:

Diyelim ki rasgele (standart normal dağılım diyelim) bir simetrik matrisi ürettiğini (örneğin, üst üçgen matriksi oluşturdum ve simetrik olduğundan emin olmak için alt yarısını doldurun), pozitif bir kesin olma şansı nedir? matris? Olasılığı hesaplamak için yine de var mı? $N \times N$

— Haitao Du
kaynak

Simülasyonu deneyin ...

— kjetil b halvorsen

@kjetilbhalvorsen teşekkürler, ancak tüm özdeğerlerin 0'dan büyük olma şansının ne olduğunu merak ediyorum ya da analitik olarak yapabilir miyiz?

— Haitao Du

Cevap , matrisi nasıl oluşturduğunuza bağlıdır . Örneğin, bir yol bazı dağılıma göre

gerçek özdeğerler üretir ve daha sonra bu köşegen matrisini rastgele dikgen bir matris ile birleştirir. Sonuç, ancak tüm bu özdeğerlerin pozitif olması durumunda ve kesin olarak pozitif olacaktır. Sıfırın yaklaşık olarak simetrik bir dağılımına göre özdeğerleri bağımsız olarak üretecekseniz , bu ihtimal açıkça en fazla

. Bir PD matrisi oluşturmak için özdeğerlerinizi iyi seçin! (Hızlı çalışma için, çok değişkenli Normal verilerin kovaryansları gibi matrisler oluşturuyorum.)

n

$n$

2^{- n}

$2^{-n}$

— whuber

Değil soruya bir cevap sorulacak olsa ilk olarak bir matris taklit eğer

her bir giriş ile, normal IID ve aynı boyutları

, sonra

olasılık 1 ile simetrik ve pozitif tanımlı

L

$L$

N

$N$

N = L L^{T}

$N = LL^T$

— Cliff AB

Senin matrisler standart normal iid girişlerinden çizilmesi durumunda, pozitif tanımlı bir olma olasılığı yaklaşık $p_N\approx 3^{-N^2/4}$ yani eğer örneğin, $N=5$ , şans 1/1000 ve oldukça iner ondan sonra hızlı. Bu konuyla ilgili geniş kapsamlı bir tartışmayı burada bulabilirsiniz .

Matrisinizin özdeğer dağılımının sıfir yaklaşık olarak simetrik olan yaklaşık Wigner yarım dairesi olacağını kabul ederek bu cevabı biraz anlayabilirsiniz . Özdeğerler tüm bağımsız olsaydı, bir olurdu $(1/2)^N$ bu mantıkla pozitif kesinlik şansını. Gerçekte Alacağınız $N^2$ spesifik olarak, en küçük ve en büyük özdeğer ve özdeğerler büyük sapmalar düzenleyen yasalar arasında korelasyon hem dolayı davranış. Spesifik olarak, rastgele özdeğerler dolayısıyla her diğer (garip ile yüklü parçacıklarla aynı potansiyel alan püskürtmek, yüklü parçacıklar için çok benzer, ve birbirine yakın olduğu için böyle yapmak $\propto 1/r$ , ki burada $r$ bitişik özdeğerler arasındaki mesafedir). Onlardan herkese olumlu olmasını istemek, bu nedenle çok uzun bir istek olacaktır.

Rasgele matris teorisinde evrensellik yasalarının, şiddetle yukarıdaki olasılık şüpheli çünkü Ayrıca, $p_N$ olasılıkla sonlu ortalama ve standart sapma var iid girişleriyle, esasen herhangi bir "makul" rasgele matris için aynı olacaktır.

— Alex R.
kaynak

Çok düşük olduğunu bilmek güzel. Bu yüzden gelecekte SPD matrisi oluşturmak için reddetme örneklemesini kullanmayacağım.

— Haitao Du

@ hxd1011: SPD matrislerini örneklemeye çalışıyorsanız yukarıdaki açıklamalarda açıkladığım yöntemi öneririm. Ek olarak, Cholesky ayrıştırmalarını

— Cliff AB

A^{'} A

$A'A$

2 \times 2

$2 \times 2$