3 vektörün tüm negatif çift korelasyonlara sahip olması mümkün müdür?

16

Üç , ve vektörü verildiğinde , ve , ve ve ve arasındaki korelasyonların hepsinin negatif olması mümkün müdür ? Yani bu mümkün mü? $a$ $b$ $c$ $a$ $b$ $a$ $c$ $b$ $c$

\begin{aligned} corr (a, b) < 0 \\ corr (a, c) < 0 \\ corr (b, c) < 0 \end{aligned}

$\begin{align} \text{corr}(a,b) < 0\\ \text{corr}(a,c) < 0 \\ \text{corr}(b,c) < 0\\ \end{align}$

correlation correlation-matrix

— Antti A
kaynak

3

Negatif korelasyonlar, geometrik olarak, merkezlenmiş vektörlerin karşılıklı olarak geniş açılar oluşturduğu anlamına gelir. Düzlemde bu özelliğe sahip üç vektörün yapılandırmasını çizerken sorun yaşamamalısınız.

— whuber

Tamamen negatif korelasyon gösteremezler (

ρ = - 1

$\rho=-1$ ), ancak genel olarak, yine diğer korelasyonlar tarafından belirlenen sınırlar olmak üzere bazı negatif korelasyonlar olabilir.

— karakfa

2

@whuber Yorumunuz, bir uçaktaki vektörler için imkansız olduğunu iddia eden Heikki Pulkkinen'ın cevabı ile çelişiyor gibi görünüyor. Eğer yanınızda kalırsanız, yorumunuzu bir cevaba dönüştürmelisiniz.

— RM

2

@RM Whuber ve Heikki arasında çelişki yok. Bu soru , boyutlu veri matrisi sorar . Normalde 3 boyutta veri noktası hakkında konuşurduk , ancak bu Q boyutunda üç "vektör" den bahsediyor . Heikki, olduğunda tüm negatif korelasyonların gerçekleşemeyeceğini söylüyor (aslında, merkezlemeden sonra iki nokta her zaman mükemmel bir şekilde ilişkilidir, bu nedenle korelasyonlar olmalı ve hepsi olamaz ). Whuber, boyutlarındaki 3 vektörün 2 boyutlu bir alt boşlukta etkili olabileceğini söylüyor (yani , rütbe 2'dir) ve bir Mercedes logosu hayal etmeyi önerir.

X

$X$

n \times 3

$n\times 3$

n

$n$

n

$n$

n = 2

$n=2$

\pm 1

$\pm 1$

- 1

$-1$

n

$n$

X

$X$

— amoeba Reinstate Monica diyor

1

İlgili: Üç rastgele değişkenin korelasyonu için sınırlanmıştır . (cc, @amoeba)

— gung - Monica'yı

19

Vektörün boyutunun 3 veya daha büyük olması mümkündür. Örneğin

\begin{aligned} a & = (- 1, 1, 1) \\ b & = (1, - 9, - 3) \\ c & = (2, 3, - 1) \end{aligned}

$\begin{align} a &= (-1, 1, 1)\\ b &= (1, -9, -3)\\ c &= (2, 3, -1)\\ \end{align}$

Korelasyonlar

cor (a, b) = - 0.80... cor (a, c) = - 0.27... cor (b, c) = - 0.34...

$\begin{equation} \text{cor}(a,b) = -0.80...\\ \text{cor}(a,c) = -0.27...\\ \text{cor}(b,c) = -0.34... \end{equation}$

2 boyutlu vektörler için bunun mümkün olmadığını kanıtlayabiliriz:

\begin{aligned} cor (a, b) & < 0 \\ 2 (\sum_{i} a_{i} b_{i}) - (\sum_{i} a_{i}) (\sum_{i} b_{i}) & < 0 \\ 2 (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}) - (a_{1} + a_{2}) (b_{1} b_{2}) & < 0 \\ 2 (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}) - (a_{1} + a_{2}) (b_{1} b_{2}) & < 0 \\ 2 (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}) - a_{1} b_{1} + a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1} + a_{2} b_{2} & < 0 \\ a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} - a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1} & < 0 \\ a_{1} (b_{1} - b_{2}) + a_{2} (b_{2} - b_{1}) & < 0 \\ (a_{1} - a_{2}) (b_{1} - b_{2}) & < 0 \end{aligned}

$\begin{align} \text{cor}(a,b) &< 0\\[5pt] 2\Big(\sum_i a_i b_i\Big) - \Big(\sum_i a_i\Big)\Big(\sum_i b_i\Big) &< 0\\[5pt] 2(a_1 b_1 + a_2 b_2) - (a_1 + a_2)(b_1 b_2) &< 0\\[5pt] 2(a_1 b_1 + a_2 b_2) - (a_1 + a_2)(b_1 b_2) &< 0\\[5pt] 2(a_1 b_1 + a_2 b_2) - a_1 b_1 + a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_2 b_2 &< 0\\[5pt] a_1 b_1 + a_2 b_2 - a_1 b_2 + a_2 b_1 &< 0\\[5pt] a_1 (b_1-b_2) + a_2 (b_2-b_1) &< 0\\[5pt] (a_1-a_2)(b_1-b_2) &< 0 \end{align}$

Formül mantıklı: eğer daha büyük olan , den daha büyük olması gerekir negatif ilişki yapmak. $a_1$ $a_2$ $b_1$ $b_1$

Benzer şekilde (a, c) ve (b, c) arasındaki korelasyonlar için

(a_{1} - a_{2}) (c_{1} - c_{2}) < 0 (b_{1} - b_{2}) (c_{1} - c_{2}) < 0

$\begin{equation} (a_1-a_2)(c_1-c_2) < 0\\ (b_1-b_2)(c_1-c_2) < 0\\ \end{equation}$

Açıkçası, bu üç formülün hepsi aynı anda tutamaz.

— Heikki Pulkkinen
kaynak

3

Beklenmedik bir şeyin sadece üçüncü veya daha yüksek boyutta gerçekleştiği başka bir örnek.

— n'inci

1

boyutlu vektörlerde , korelasyonlar genellikle

(iki noktadan düz çizgi) ve herhangi bir boyuttaki üç vektörle

arasında üç korelasyonunuz olamaz

2

$2$

\pm 1

$\pm1$

- 1

$-1$

— Henry

9

Evet yapabilirler.

Çok değişkenli bir normal dağılım olduğunu varsayalım . üzerindeki tek kısıtlama, pozitif yarı-kesin olması gerektiğidir. $X\in R^3, X\sim N(0,\Sigma)$ $\Sigma$

Yani Aşağıdaki örnek almak $\Sigma = \begin{pmatrix} 1 & -0.2 & -0.2 \\ -0.2 & 1 & -0.2 \\ -0.2 & -0.2 & 1 \end{pmatrix}$

Özdeğerlerinin hepsi pozitiftir (1.2, 1.2, 0.6) ve negatif korelasyonlu vektörler oluşturabilirsiniz.

— Kozolovska
kaynak

7

3 değişken için bir korelasyon matrisi ile başlayalım

$\Sigma = \begin{pmatrix} 1 & p & q \\ p & 1 & r \\ q & r & 1 \end{pmatrix}$

negatif olmayan kesinlik, şu şekilde yazılabilen ikili korelasyonları için kısıtlamalar yaratır $p,q,r$

p q r \geq \frac{p^{2} + q^{2} + r^{2} - 1}{2}

$pqr \ge \frac{p^2+q^2+r^2-1}2$

Örneğin, , değerleri olan ile sınırlanır . Öte yandan $p=q=-1$ $r$ $2r \ge r^2+1$ $r=1$ ,içinde olabilir $p=q=-\frac12$ $r$ aralık. $\frac{2 \pm \sqrt{3}}4$

@Amoeba'nın ilginç takip sorusunu cevaplamak: "Üç çiftin de aynı anda sahip olabileceği en düşük korelasyon nedir?"

Bırakın , en küçük kökünü bulun , bu size verecek $p=q=r=x < 0$ $2x^3-3x^2+1$ . Belki bazıları için şaşırtıcı değil. $-\frac12$

A stronger argument can be made if one of the correlations, say $r=-1$ . From the same equation $-2pq \ge p^2+q^2$ , we can deduce that $p=-q$ . Therefore if two correlations are $-1$ , third one should be $1$ .

— karakfa
kaynak

2

See stats.stackexchange.com/questions/72790/…, inter alia.

— whuber

2

Bunu keşfetmek için basit bir R işlevi:

f <- function(n,trials = 10000){
  count <- 0
  for(i in 1:trials){
    a <- runif(n)
    b <- runif(n)
    c <- runif(n)
    if(cor(a,b) < 0 & cor(a,c) < 0 & cor(b,c) < 0){
      count <- count + 1
    }
  }
  count/trials
}

Bir fonksiyonu olarak n, f(n)0 ile başlar, (0 n = 3ile tipik değerlerle) sıfırdan farklı hale gelir , daha sonra 0.11'e kadar artar, daha n = 15sonra stabilize gibi görünür:

Bu nedenle, sadece üç korelasyonun da negatif olması mümkün olmakla kalmaz, aynı zamanda çok nadir görülmez (en azından tekdüze dağılımlar için).

— John Coleman
kaynak