Moment üreten fonksiyon ve varyansın varlığı

Sonlu ortalama ve sonsuz değişkenlik içeren bir dağılım moment oluşturma işlevine sahip olabilir mi? Sonlu ortalama ve sonlu varyanslı, ancak sonsuz yüksek anlara sahip bir dağılıma ne dersiniz?

variance moments mgf

— Mgf
kaynak

İpucu : mgf sıfıra yakın bir aralıkta varsa, bazı için deyin , o zaman çözümü bulmak için Taylor genleşmesini ve integralin monotonikliğini düşünün . :)

(- t_{0}, t_{0})

$(-t_0,t_0)$

t_{0} > 0

$t_0 > 0$

e^{x}

$e^x$

— kardinal

Yakınsama sorunlarını göz ardı ederek (sadece mgf'yi sadece resmi bir güç serisi olarak düşünerek), herhangi bir anın gerçekleşmemesi durumunda mgf ne olabilir?

— whuber

Kardinal, bize verdiğiniz öneriler hakkında referanslar verebilir misiniz?

Bu soru, moment üreten fonksiyonlar ( mgf ) hakkında bazı gerçekleri toplamak için güzel bir fırsat sunar .

Aşağıdaki cevapta, aşağıdakileri yaparız:

Mgf'nin en az bir (kesinlikle) pozitif değer ve bir negatif değer için sonlu olması durumunda , tüm pozitif momentlerinin sonlu olduğunu (bütünleşik olmayan momentler dahil) gösterin. $X$
Yukarıdaki birinci maddede yer alan koşulun, üstel olarak sınırlanmış kuyruklara sahip dağılımına eşdeğer olduğunu kanıtlayın . Başka bir deyişle, kuyrukları en azından üstel bir rasgele değişkeninin (bir sabite kadar) olduğu kadar hızlı düşer . $X$ $X$ $Z$
Madde 1'deki durumu sağlaması koşuluyla, dağılımın karakterizasyonu ile ilgili olarak hızlı bir not verin.
Sezgimize yardımcı olmak ve özellikle de mgf'nin doğruluğu eksikliğine gereğinden fazla önem göstermememiz gerektiğini göstermek için bazı örnekleri ve karşı örnekleri araştırın.

Bu cevap oldukça uzun, bunun için şimdiden özür dilerim. Bunun daha iyi bir şekilde yerleştirilebilmesi durumunda, örneğin, bir blog yazısı veya başka bir yer olarak, yorumlarda bu geri bildirimi sağlamaktan çekinmeyin.

Mgf anlar hakkında ne diyor?

Rastgele değişkenin mgf olarak tanımlanır . Not , her zaman var olan bir negatif olmayan ölçülebilir fonksiyonunun integrali, çünkü. Ancak, sonlu olmayabilir . O takdirde ise herkes için daha sonra (doğru yerlerde) sonlu (şart değil bir tamsayı), mutlak anları yüzden de (ve, olduğunu sonlu). Bu bir sonraki önerinin konusu. $X \sim F$ $m(t) = \mathbb E e^{tX}$ $m(t)$ $p > 0$ $\mathbb E |X|^p < \infty$ $\mathbb E X^p$

Teklif : Varsa ve , ve , o zaman tüm emirlerinin momentleri var ve sonlu. $\newcommand{\tn}{t_{n}}\newcommand{\tp}{t_{p}}\tn < 0$ $\tp > 0$ $m(\tn) < \infty$ $m(\tp) < \infty$ $X$

Bir ispat içine dalmadan önce, işte iki kullanışlı lemma.

Lemma 1 : Diyelim ki ve var. Sonra herhangi bir , . Kanıt . Bu, konveksitesi ve integralin monotonikliğidir. Böyle bir , öyle ki . Ancak, o zaman Dolayısıyla, integralin monotonikliği ile, . $\tn$ $\tp$ $t_0 \in [\tn,\tp]$ $m(t_0) < \infty$
$e^x$ $t_0$ $\theta \in [0,1]$ $t_0 = \theta \tn + (1-\theta) \tp$

e^{t_{0} X} = e^{θ t_{n} X + (1 - θ) t_{p} X} \leq θ e^{t_{n} X} + (1 - θ) e^{t_{p} X} .

$e^{t_0 X} = e^{\theta \tn X + (1-\theta) \tp X} \leq \theta e^{\tn X} + (1-\theta) e^{\tp X} \>.$

E e^{t_{0} X} \leq θ E e^{t_{n} X} + (1 - θ) E e^{t_{p} X} < \infty

$\mathbb E e^{t_0 X} \leq \theta \mathbb E e^{\tn X} + (1-\theta) \mathbb E e^{\tp X} < \infty$

Dolayısıyla, mgf herhangi iki farklı noktada sonlu ise, bu noktalar arasındaki aralıktaki tüm değerler için sonludur.

Lemma 2 ( iç içe geçme boşluklar $L_p$ ) için , eğer , daha sonra . İspat : Bu cevapta ve ilgili yorumlarda iki yaklaşım verilmiştir . $0 \leq q \leq p$ $\mathbb E |X|^p < \infty$ $\mathbb E |X|^q < \infty$

Bu bize önerinin ispatı ile devam etmek için yeterli verir.

Önerinin kanıtı . Eğer ve sonra alınarak, önerme belirtildiği gibi var olur , ilk lemma bildiği bu ve . Ancak, ve sağ taraftaki herhangi bir sabit, özellikle de, bu nedenle, negatif olmayan açısından oluşmaktadır Şimdi, varsayımına göre . İntegralin monotonikliği . Dolayısıyla, hepsi $\tn < 0$ $\tp > 0$ $t_0 = \min(-\tn,\tp) > 0$ $m(-t_0) < \infty$ $m(t_0) < \infty$

e^{- t_{0} X} + e^{t_{0} X} = 2 \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{t_{0}^{2 n} X^{2 n}}{(2 n)!},

$e^{-t_0 X} + e^{t_0 X} = 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{t_0^{2n} X^{2n}}{(2n)!} \>,$

k

$k$

e^{- t_{0} X} + e^{t_{0} X} \geq 2 t_{0}^{2 k} X^{2 k} / (2 k)! .

$e^{-t_0 X} + e^{t_0 X} \geq 2 t_0^{2k} X^{2k}/(2k)! \>.$

E e^{- t_{0} X} + E e^{t_{0} X} < \infty

$\mathbb E e^{-t_0 X} + \mathbb E e^{t_0 X} < \infty$

E X^{2 k} < \infty

$\mathbb E X^{2k} < \infty$ anları bile sonlu. Lemma 2, derhal "boşlukları doldurmamızı" sağlar ve tüm anların sonlu olması gerektiği sonucuna varır .

X

$X$

netice

Eldeki soruya ilişkin görüşünüzü eğer ki herhangi bir anların sonsuz veya var olmayan, biz olabilir hemen mgf kökeni içeren bir açık aralığında sonlu olmadığı sonucuna varılmıştır. (Bu sadece teklifin zıt ifadesidir.) $X$

Bu nedenle, yukarıdaki önerme, anları hakkında mgf'sine dayanarak bir şey söylemek için "doğru" koşulu sağlar . $X$

Üstel sınırlanmış kuyruklar ve mgf

Öneri : MGF bir açık aralık içinde sonlu orijini ihtiva eden , ancak ve ancak kuyrukları edilir katlanarak sınırlanan , yani Bazı ve için . $m(t)$ $(\tn,\tp)$ $F$ $\mathbb P( |X| > x) \leq C e^{-t_0 x}$ $C > 0$ $t_0 > 0$

Kanıt . Doğru kuyruk ile ayrı ayrı ilgileneceğiz. Sol kuyruk tamamen benzer şekilde tutulur.

$(\Rightarrow)$ Varsayalım ki bazı için . Ardından, sağ kuyruk edilir katlanarak sınırlanmış ; Başka bir deyişle, ve öyle ki Bunu görmek için, herhangi bir , Markov'un eşitsizliğine göre, Al ve ispat bu yönde tamamlayın. $m(t_0) < \infty$ $t_0 > 0$ $F$ $C > 0$ $b > 0$

P (X > x) \leq C e^{- b x} .

$\mathbb P(X > x) \leq C e^{-b x} \>.$

t > 0

$t > 0$

P (X > x) = P (e^{t X} > e^{t x}) \leq e^{- t x} E e^{t X} = m (t) e^{- t x} .

$\mathbb P(X > x) = \mathbb P(e^{tX} > e^{tx}) \leq e^{-tx} \mathbb E e^{t X} = m(t) e^{-t x} \>.$

C = m (t_{0})

$C = m(t_0)$

b = t_{0}

$b = t_0$

$(\Leftarrow)$ Varsayalım ki ve , . Daha sonra, için , birinci eşitliği takip eder burada a olumsuz olmayan rastgele değişkenlerin beklentisi hakkında standart bir gerçek . Öyle bir seçiniz ki ; Daha sonra, sağ taraftaki integral sonludur. $C >0$ $t_0 > 0$ $\mathbb P(X > x) \leq C e^{-t_0 x}$ $t > 0$

E e^{t X} = \int_{0}^{\infty} P (e^{t X} > y) d y \leq 1 + \int_{1}^{\infty} P (e^{t X} > y) d y \leq 1 + \int_{1}^{\infty} C y^{- t_{0} / t} d y,

$\mathbb E e^{t X} = \int_0^\infty \mathbb P( e^{t X} > y)\,\mathrm dy \leq 1 + \int_1^\infty \mathbb P( e^{t X} > y)\,\mathrm dy \leq 1 + \int_1^\infty C y^{-t_0/t} \, \mathrm dy \>,$

t

$t$

0 < t < t_{0}

$0 < t < t_0$

Bu ispat tamamlar.

Verilen dağılımın benzersizliği üzerine bir not

Mgf sıfır içeren bir açık aralıkta sonlu ise, o zaman ilişkili dağılım anları ile tanımlanır , yani, anları ile tek dağılımıdır . Standart bir kanıt, bir yandan karakteristik fonksiyonlar hakkında bazı (nispeten basit) gerçeklere sahip olduğunda kısa . Ayrıntılar, çoğu modern olasılık metninde bulunabilir (örneğin, Billingsley veya Durrett). Bu cevapta birkaç ilgili konu ele alınmıştır . $\mu_n = \mathbb E X^n$

Örnekler ve karşı örnekler

( A ) lognormal dağılım : lognormal ise bir normal bir rasgele değişken için . Yani olasılık bir ile. Çünkü tüm , bu hemen bize söyler için tüm . Bu yüzden, mgf negatif olmayan yarım satırda sonludur . ( NB Bu gerçeği ortaya koymak için sadece olumsuzluksuzluğunu kullandık, bu durum tüm negatif olmayan rastgele değişkenler için geçerlidir.) $X$ $X = e^Y$ $Y$ $X \geq 0$ $e^{-x} \leq 1$ $x \geq 0$ $m(t) = \mathbb E e^{t X} \leq 1$ $t < 0$ $(-\infty,0]$ $X$

Ancak, tüm için . Standart lognormali kanonik durum olarak alacağız. Eğer , . Değişkenleri değiştirerek, İçin ve yeterince büyük bir , elimizdeki , yukarıda verilen sınırlar ile. Ancak, herhangi bir için ve mgf tüm için sonsuzdur . $m(t) = \infty$ $t > 0$ $x > 0$ $e^{x} \geq 1 + x + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{6} x^3$

E e^{t X} = (2 π)^{- 1 / 2} \int_{- \infty}^{\infty} e^{t e^{u} - u^{2} / 2} d u .

$\mathbb E e^{t X} = (2\pi)^{-1/2} \int_{-\infty}^\infty e^{t e^u - u^2/2} \,\mathrm d u \>.$

t > 0

$t > 0$

u

$u$

t e^{u} - u^{2} / 2 \geq t + t u

$t e^u - u^2/2 \geq t+tu$

\int_{K}^{\infty} e^{t + t u} d u = \infty

$\int_{K}^\infty e^{t + tu} \,\mathrm du = \infty$

K

$K$

t > 0

$t > 0$

Öte yandan, lognormal dağılımın tüm anları sonludur. Bu nedenle, mgf'nin sıfıra yakın bir aralıkta bulunması, yukarıdaki önermenin sonuçlanması için gerekli değildir .

( b ) Simetrileştirilmiş lognormal : Lognormal dağılımını "simetrize ederek" daha da aşırı bir durum elde edebiliriz. Yoğunluk düşünün için bu şekilde Önceki örneğin ışığında mgf'nin sadece için sonlu olduğunu görmek zor değildir . Yine de, çiftler bile lognormal olanlarla aynıdır ve garip anlar sıfırdır! Böylece, mgf hiçbir yerde yoktur (her zaman bulunduğu köken hariç) ve yine de tüm siparişlerin sınırlı anlarını garanti edebiliriz. $f(x)$ $x \in \mathbb R$

f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{2 π} | x |} e^{- \frac{1}{2} (\log | x |)^{2}} .

$f(x) = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}|x|} e^{-\frac{1}{2} (\log |x|)^2} \>.$

t = 0

$t = 0$

( c ) Cauchy dağılımı : Bu dağılım ayrıca tüm için sonsuz olan bir mgf'ye sahiptir , fakat mutlak momentler yoktur için sonludur . Mgf için sonuçları aşağıdaki itibaren için ve böylece için kanıt benzerdir. (Belki biraz daha az bilinen için bazı anlar olmasıdır do Cauchy için vardır. Bu yanıta bakın $t \neq 0$ $\mathbb E|X|^p$ $p \geq 1$ $t > 0$ $e^x \geq x^3 / 6$ $x > 0$

E e^{t X} \geq \int_{1}^{\infty} \frac{t^{3} x^{3}}{6 π (1 + x^{2})} d x \geq \frac{t^{3}}{12 π} \int_{1}^{\infty} x d x = \infty .

$\mathbb E e^{tX} \geq \int_1^\infty \frac{t^3 x^3}{6\pi(1+x^2)} \,\mathrm dx \geq \frac{t^3}{12\pi} \int_1^\infty x \,\mathrm dx = \infty \>.$

t < 0

$t < 0$

0 < p < 1

$0 < p < 1$ .)

( d ) Yarı Cauchy dağılımı : Eğer (standart) Cauchy ise,yarım Cauchy rasgele değişkeni. Ardından, önceki örnekten tüm için olduğunu görmek kolaydır ; ancak, , için sonludur . $X$ $Y = |X|$ $\mathbb E Y^p = \infty$ $p \geq 1$ $\mathbb E e^{tY}$ $t \in (-\infty,0]$

— kardinal
kaynak

Bunu gönderdiğiniz için teşekkür ederiz - bunun ne kadar teknik olduğunu düşününce anlaşılması kolaydır.

— Makro

Hilbert uzayında mgf hakkında herhangi bir sonuç biliyor musunuz?

— badatmath