Gauss Oranı Dağılımı:

İki bağımsız normal dağılım ve ile çalışıyorum, ve ve variances ve$X$$Y$$\mu_x$$\mu_y$$\sigma^2_x$$\sigma^2_y$ .

oranlarının dağılımı ile ilgileniyorum . Ne ne de ortalamaları sıfır, yani$Z=X/Y$$X$$Y$$Z$ , Cauchy olarak dağıtılmaz.

μ x , μ y , σ 2 x ve σ 2 y CDF'sini bulmam gerekiyor$Z$ ve ardından saygı ile CDF'nin türev almak$\mu_x$$\mu_y$$\sigma^2_x$$\sigma^2_y$ .

Bunların zaten hesaplanmış olduğu bir kağıt bilen var mı? Veya bunu kendim nasıl yapabilirim?

CDF’nin formülünü bir 1969 tarihli makalede , ancak bu türevleri almak kesinlikle çok büyük bir acı olacak. Belki birileri çoktan yaptı ya da kolayca yapmayı biliyor mu? Esas olarak bu türevlerin işaretlerini bilmem gerekiyor.

Bu makale aynı zamanda, çoğunlukla pozitif ise, analitik olarak daha basit bir yaklaşım içerir . Bu kısıtlamaya sahip olamam. Ancak, belki de yaklaşık değer parametre aralığı dışında bile gerçek türev ile aynı işarete sahiptir.$Y$

İlgili bazı makaleler:

Wiki: ` http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution

1. http://www.jstatsoft.org/v16/i04/

2. http://link.springer.com/article/10.1007/s00362-012-0429-2

3. http://mrvar.fdv.uni-lj.si/pub/mz/mz1.1/cedilnik.pdf

Eğer bir lisansınız varsa Mathematica gibi sembolik bir matematik paketini, eğer yoksa lisansınız varsa Sage'i kullanmayı düşünün.

Sadece sayısal çalışma yapıyorsanız, aynı zamanda sayısal farklılaşmayı da düşünebilirsiniz.

Sıkıcı olsa da, doğrudan ileri görünüyor. Yani, dahil olan tüm fonksiyonların hesaplanması kolay türevleri var. Doğru formüle sahip olduğunuzdan emin olmak için işleminiz bittiğinde sonucunuzu test etmek için sayısal farklılaştırma kullanabilirsiniz.

$\mu_x$

pratio <- function(z, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    sd_x <- sqrt(var_x)
    sd_y <- sqrt(var_y)

    a <- function(z) {
        sqrt(z*z/var_x+1/var_y)
    }

    b <- function(z) {
        mu_x*z/var_x + mu_y/var_y
    }

    c <- mu_x^2/var_x + mu_y^2/var_y

    d <- function(z) {
        exp((b(z)^2 - c*a(z)^2)/(2*a(z)^2))
    }


    t1 <- (b(z)*d(z)/a(z)^3)
    t2 <- 1.0/(sqrt(2*pi)*sd_x*sd_y)
    t3 <- pnorm(b(z)/a(z)) - pnorm(-b(z)/a(z))
    t4 <- 1.0/(a(z)^2*pi*sd_x*sd_y)
    t5 <- exp(-c/2.0)
    return(t1*t2*t3 + t4*t5)
}

# Integrates to 1, so probably no typos.
print(integrate(pratio, lower=-Inf, upper=Inf))

cdf_ratio <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    integrate(function(x) {pratio(x, mu_x, mu_y, var_x, var_y)}, 
        lower=-Inf, upper=x, abs.tol=.Machine$double.eps)$value
} 

# Numerical differentiation here is very easy:
derv_mu_x <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    eps <- sqrt(.Machine$double.eps)
    left <- cdf_ratio(x, mu_x+eps, mu_y, var_x, var_y)
    right <- cdf_ratio(x, mu_x-eps, mu_y, var_x, var_y)
    return((left - right)/(2*eps))
}