Rastgele bir değişkeni kendi pdf veya cdf'sine bağlamanın sezgisel anlamı nedir?

Bir pdf genellikle olarak yazılır , burada küçük harfi bu pdf'ye sahip rastgele değişken gerçekleştirilmesi veya sonucu olarak ele alınır . Benzer şekilde, bir , anlamına gelen olarak . Bununla birlikte, skor fonksiyonunun tanımı ve cdf'nin muntazam bir şekilde dağıtıldığı bu türev gibi bazı durumlarda, rastgele değişken kendi pdf / cdf'sine takıldığı görülmektedir; bunu yaparak yeni bir rastgele değişken veya $f(x|\theta)$ $x$ $X$ $F_X(x)$ $P(X<x)$ $X$ $Y=f(X|\theta)$ $Z=F_X(X)$ . Artık rastgele bir değişken olduğu için buna bir pdf veya ve ikinci durumda, "yorumlama" bana saçmalık gibi geliyor. $F_X(X)=P(X<X)$

Ayrıca, yukarıdaki ikinci durumda, ben "rastgele bir değişkenin cdf tekdüze bir dağılım izler" ifadesini anlamak emin değilim. Cdf nedenle bir işlev değil, rastgele bir değişkendir ve yok bir dağılım. Bunun yerine, tekdüze bir dağılımı olan şey, kendi cdf'sini temsil eden işlev kullanılarak dönüştürülen rastgele değişkendir, ancak bu dönüşümün neden anlamlı olduğunu anlamıyorum. Aynı şey, kendi günlük olasılığını temsil eden işleve rastgele bir değişken eklediğimiz skor işlevi için de geçerlidir.

Bu dönüşümlerin ardında sezgisel bir anlam bulmaya çalışan haftalardır beynimi sarıyorum, ama sıkıştım. Herhangi bir fikir büyük mutluluk duyacağız!

— mai
kaynak

Gösterim sizi karıştırıyor olabilir. Örneğin, tam olarak uygulanması olarak anlamlıdır herhangi ölçülebilir fonksiyonu olacaktır. Doğru bir yorum için rastgele bir değişkenin ne olduğu konusunda çok net olmanız gerekir . Rastgele bir değişken, fonksiyon için açıkça rasgele bir değişkendir ve bu nedenle olan bir dağıtım( " " daki " " sembolünün iki farklı anlamına dikkat edin .) , yalnızca sürekli bir dağılımı varsa tek .

F_{X} (X)

$F_X(X)$

X

$X$

X : Ω \to R,

$X:\Omega\to\mathbb{R},$

Y : ω \to F_{X} (X (ω))

$Y:\omega\to F_X(X(\omega))$

ω \in Ω

$\omega\in\Omega$

F_{Y} .

$F_Y.$

X

$X$

F_{X} (X)

$F_X(X)$

F_{Y}

$F_Y$

X

$X$

— whuber

Bu gerçekten ölçü teorik bir mesele değildir: anlamak için "ölçülebilirlik" konusundaki tüm referansları güvenle göz ardı edebilirsiniz. Lisansüstü kariyerinizin başında küçük bir teori çalışmaktan faydalanabilirsiniz: çoğu insan bu temel (ve her yerde) matematiksel terminolojinin ve gösterimin gerçekten ne anlama geldiğini öğrenir, bu yüzden öğrenmeyi bırakmak en iyisidir.

— whuber

Belki bir kişinin neden böyle çılgınca bir şey yapması gerektiğine dair bir kelime: RV'yi kendi yoğunluğuna yerleştirmek !!?! Bir örnek: X'in yoğunluğunu tahmin etmek istediğinizi varsa, o zaman entegrasyon yaparak ne kadar iyi olduğunuzu ölçebilirsiniz.

f (x) - f_{X} (x)

$f(x)-f_X(x)$ ancak bu “haksız” dır: fazla veri örneğiniz olmadığında asla iyi bir yaklaşım elde edemezsiniz (yani gerçek yoğunluk küçüktür). Dolayısıyla, “adil” bir değerlendirme, terimi gerçek yoğunluğa göre ağırlıklandırmak olacaktır. Bu, RV'yi kendi yoğunluklarına yerleştirmenin etkisidir ...

— Fabian Werner

Ayrıca bkz. Stats.stackexchange.com/questions/324768/…

— Fabian Werner

Yanıtlar:

Dediğiniz gibi, rastgele bir değişkenin herhangi bir (ölçülebilir) işlevi rastgele bir değişkendir. Sadece düşünmek daha kolay $f(x)$ ve $F(x)$ "herhangi bir eski işlev" olarak. Sadece bazı güzel özelliklere sahipler. Örneğin, $X$ standart bir üstel RV, rastgele değişken hakkında özellikle garip bir şey yok

Y = 1 - e^{- X}

$Y = 1 - e^{-X}$ Sadece böyle olur

Y = F_{X} (X)

$Y=F_X(X)$ . Gerçek şu ki

Y

$Y$ Tekdüze bir dağılımı vardır (verilen

X

$X$ sürekli bir RV'dir) genel durum için CDF'nin türetilmesi ile görülebilir.

Y

$Y$ .

\begin{aligned} F_{Y} (y) & = P (Y \leq y) \\ = P (F_{X} (X) \leq y) \\ = P (X \leq F_{X}^{- 1} (y)) \\ = F_{X} (F_{X}^{- 1} (y)) \\ = y \end{aligned}

$\begin{align*} F_Y(y) &= P(Y \leq y) \\ &= P(F_X(X) \leq y) \\ &= P(X \leq F^{-1}_X(y)) \\ &= F_X(F^{-1}_X(y)) \\ &= y \end{align*}$

Hangi açıkça bir CDF olduğunu $U(0,1)$ rastgele değişken. Not: İspatın bu sürümü, $F_X(x)$ kesinlikle artmakta ve süreklidir, ancak daha genel bir versiyon göstermek çok daha zor değildir.

— knrumsey
kaynak

Sonucunuz kesinlikle artacak şekilde yanlış

F_{X}

$F_X$ : varsaydın

F_{X} \circ F_{X}^{- 1}

$F_X\circ F_X^{-1}$ kimlik - ama bu her zaman böyle değildir.

— whuber

Evet teşekkür ederim. Rastgele değişken

X

$X$ açıkça sürekli olmalıdır. Şimdi bir şey eksik mi?

— knrumsey

F_{X}

$F_X$ iki yönlü olması gerekmez. Örneğin,

X

$X$ tekdüze bir dağılımı vardır! Görüntünün kapatılması

F_{X}

$F_X$ tüm aralık olmalı

[0, 1] .

$[0,1].$ Esasen sürekli bir dağılımın tanımı budur.

— whuber

Bir dönüşümü rastgele değişkenin $X$ ölçülebilir bir fonksiyon ile $T:\mathcal{X}\longrightarrow\mathcal{Y}$ başka bir rastgele değişken $Y=T(X)$ hangi olasılık ters olasılık dönüşümü ile verilir

P (Y \in A) = P (X \in {x; T (x) \in A}) \overset{def}{=} P (X \in T^{- 1} (A))

$\mathbb{P}(Y\in A) = \mathbb{P}(X\in\{x;\,T(x)\in A\})\stackrel{\text{def}}{=} \mathbb{P}(X\in T^{-1}(A))$ tüm setler için

A

$A$ öyle ki

{x; T (x) \in A}

$\{x;\,T(x)\in A\}$ dağılımı altında ölçülebilir

X

$X$ .

Bu özellik, aşağıdaki durumlarda özel durum için geçerlidir: $F_X:\mathcal{X}\longrightarrow[0,1]$ rastgele değişkenin cdf'si $X$ : $Y=F_X(X)$ gerçekleşmelerini alan yeni rastgele bir değişkendir $[0,1]$ . Olduğu gibi, $Y$ Tekdüze olarak dağıtılır $\mathcal{U}([0,1])$ ne zaman $F_X$ süreklidir. (Eğer $F_X$ süreksiz, aralığı $Y=F_X(X)$ artık değil $[0,1]$ . Her zaman durum şu ki, $U$ Tek tip $\mathcal{U}([0,1])$ , sonra $F_X^{-}(U)$ ile aynı dağılıma sahiptir $X$ , nerede $F_X^{-}$ genelleştirilmiş tersini belirtir $F_X$ . Bu, (a) rastgele değişkenleri temel bir ölçülebilir dönüşüm olarak anlamak için resmi bir yoldur $\omega\in\Omega$ dan beri $X(\omega)=F_X^{-}(\omega)$ cdf ile rastgele bir değişkendir $F_X$ ve (b) cdf ile belirli bir dağılımdan rastgele değişkenler oluşturma $F_X$ .)

Paradoksunu anlamak $\mathbb{P}(X\le X)$ , temsili al

F_{X} (x) = P (X \leq x) = \int_{0}^{x} d F_{X} (x) = \int_{0}^{x} f_{X} (x) d λ (x)

$F_X(x)=\mathbb{P}(X\le x)=\int_0^x \text{d}F_X(x) = \int_0^x f_X(x)\,\text{d}\lambda(x)$ Eğer

d λ

$\text{d}\lambda$ hakim önlemdir ve

f_{X}

$f_X$ karşılık gelen yoğunluk. Sonra

F_{X} (X) = \int_{0}^{X} d F_{X} (x) = \int_{0}^{X} f_{X} (x) d λ (x)

$F_X(X)=\int_0^X \text{d}F_X(x) = \int_0^X f_X(x)\,\text{d}\lambda(x)$ integralin üst sınırı rastgele olduğu için rastgele bir değişkendir. (İfadenin tek rastgele kısmı budur.)

P (X \leq X)

$\mathbb{P}(X\le X)$ gösterimlerdeki karışıklıktan kaynaklanmaktadır. Düzgün tanımlamak için, rastgele değişkenin iki bağımsız versiyonuna ihtiyaç vardır

X

$X$ ,

X_{1}

$X_1$ ve

X_{2}

$X_2$ , bu durumda rastgele değişken

F_{X} (X_{1})

$F_X(X_1)$ tarafından tanımlanır

F_{X} (X_{1}) = P^{X_{2}} (X_{2} \leq X_{1})

$F_X(X_1)=\mathbb{P}^{X_2}(X_2\le X_1)$ dağılımı için hesaplanma olasılığı

X_{2}

$X_2$ .

Aynı düşünce yoğunluktaki dönüşüm için de geçerlidir (pdf), $f_X(X)$ yeni bir rastgele değişken olan tek fark, $f_X$ değişir. Bununla birlikte, örneğin bir olasılık oranı dikkate alındığında istatistiksel amaçlar için yararlıdır. $f_X(X|\hat{\theta}(X))/f_X(X|\theta_0)$ 2 x logaritma yaklaşık olarak $\chi^2$ bazı koşullar altında rastgele değişken.

Aynı şey skor fonksiyonu için de geçerli

\frac{\partial \log f_{X} (X | θ)}{\partial θ}

$\dfrac{\partial \log f_X(X|\theta)}{\partial \theta}$ parametrenin gerçek değerinde alındığında beklentisi sıfır olacak şekilde rastgele bir değişkendir

θ

$\theta$ , yani,

E_{θ_{0}} [\frac{\partial \log f_{X} (X | θ_{0})}{\partial θ}] = \int \frac{\partial \log f_{X} (x | θ_{0})}{\partial θ} f_{X} (x | θ_{0}) d λ (x) = 0

$\mathbb{E}_{\theta_0}\left[ \dfrac{\partial \log f_X(X|\theta_0)}{\partial \theta}\right]=\int \dfrac{\partial \log f_X(x|\theta_0)}{\partial \theta}f_X(x|\theta_0)\,\text{d}\lambda(x)=0$

[@Whuber ve @knrumsey cevaplarını yazarken cevap yazdı!]

— Xi'an
kaynak

İfadenin anlamı / yorumunun ne olduğunu kelimelerle açıklayabilir misiniz?

F_{X} (X_{1}) = P (X_{2} \leq X_{1})

$F_X(X_1)=P(X_2 \leq X_1)$ ? Bana öyle geliyor ki, "bir rv'nin cdf'si tekdüze bir dağılıma sahip" demenin bir anlamı yok.

— mai

Bir RV'nin CDF'si

F_{X}

$F_X$ bir rv'nin dönüşümü ile aynı şey değildir

X

$X$ bu rv'nin cdf'si, yani

F_{X} (X)

$F_X(X)$ .

— Xi'an

Evet, aynı şey olmadıklarına katılıyorum. İlk durumda bir rv değil, ikinci durumda bir rv değil miyim?

— mai

Evet, bunun farklı anlamları ile ilgilidir.

X

$X$ içinde

F_{X} (X)

$F_X(X)$

— Xi'an

Ne demek istediğinizi açıklayabilir misiniz " parametrenin gerçek değeri alındığında beklenti sıfır

θ

$\theta$ ? Benziyor

θ

$\theta$ burada bir değişken olarak görülüyor. Ne değişir?

θ

$\theta$ gerçek değerinde değil mi?

— mai