Olasılık teorisi bire bütünleşen / toplamı negatif olmayan fonksiyonların çalışması mıdır?

26

Bu muhtemelen aptalca bir soru, fakat olasılık teorisi bire entegre eden / toplayan fonksiyonların çalışması mı?

DÜZENLE. Olumsuzluğu unuttum. Öyleyse, olasılık teorisi bire entegre eden / toplayan negatif olmayan fonksiyonların çalışması mıdır?

probability mathematical-statistics measure-theory

— dontloo
kaynak

Evet, olasılıklar her zaman bire düşer. Öte yandan, olasılıklar bu kısıtlamaya sahip değildir.

— Mike Hunter,

2

Belirtildiği gibi soruya doğru yanıt birçok fonksiyonlar vardır çünkü en azından, hayır

karşı 1 entegre ancak kendileri için

bazıları için olasılıkları temsil edemez

ve

. Örneğin, 0 ile 1 arasında 1,5 ile 1 - 2 arasında 0,5 ile 0,5 arasında bir işlevi düşünün, başka her yerde 0. (ama aynı zamanda diğer nedenlerden dolayı tartışmalı olarak "hayır"

f

$f$

\int_{a}^{b} f (u) d u

$\int_{a}^b f(u) du$

a

$a$

b

$b$

— dır

2

Related: stats.stackexchange.com/questions/214485/…

— Ilmari

1

Olumsuz olasılık konusunda ciddi makaleler var, örneğin Maurice S. Bartlett. doi.org/10.1017/S0305004100022398

— Nick Cox,

2

@dontloo orada hedeflediğim şey şuanda Chaconne'nin cevabındaki Tao alıntılarıyla oldukça iyi örtülmüş durumda.

— Glen_b

31

Tamamen biçimsel bir düzeyde, olasılık teorisi, toplam ölçü bir ile ölçü uzaylarının çalışılması olarak adlandırılabilir, ancak bu, sayı teorisinin sonlandırılan rakam dizelerinin çalışılması olarak adlandırılması gibidir.

- Terry Tao'nun Rastgele Matris Teorisindeki Konuları .

Bunun gerçekten temel bir şey olduğunu düşünüyorum. Olasılık alanımız ve ileriye dönük ölçüsüne sahip rastgele bir değişkenimiz varsa , o zaman neden yoğunluk yoğunluğu $(\Omega, \mathscr F, P)$ $X : \Omega \to \mathbb R$ $P_X := P \circ X^{-1}$ bire bütünleşir çünkü. Ve bu, pdfs ve pmfs'den daha temel. $f = \frac{\text d P_X}{\text d\mu}$ $P(\Omega) = 1$

İşte kanıtı:

\int_{R} f d μ = \int_{R} d P_{X} = P_{X} (R) = P ({ω \in Ω : X (ω) \in R}) = P (Ω) = 1.

$\int_{\mathbb R} f \,\text d\mu = \int_{\mathbb R} \,\text dP_X = P_X(\mathbb R) = P\left(\{\omega \in \Omega : X(\omega) \in \mathbb R\}\right) = P(\Omega) = 1.$

Bu Adamo cevabı (1) neredeyse bir Yeniden ifadelendirmenin tüm CDFs càdlàg vardır ve orada TDF kümesi arasında bire bir ilişki olduğundan ve tüm olasılık önlemlerinin seti beri, ama Bir RV'nin CDF'sinin dağılımı bakımından tanımlanmıştır, olasılık alanlarını bu tür bir çabayla “başlama” yeri olarak görüyorum. $\mathbb R$ $(\mathbb R, \mathbb B)$

CDF'ler ve olasılık önlemleri arasındaki yazışmalar ve bu sorunun her ikisi için de ne kadar makul cevaplar olduğunu detaylandırmak için güncelleme yapıyorum.

İki olasılık ölçüsünden başlayarak ve ilgili CDF'leri analiz ederek başlarız. Bunun yerine bir CDF ile başlayıp, onun neden olduğu ölçüme bakarak sonuçlandırıyoruz.

$Q$ $R$ $(\mathbb R, \mathbb B)$ $F_Q$ $F_R$ $F_Q(a) = Q\left((-\infty, a]\right)$ $R$ $Q$ $R$

$Q$ $R$ $\sigma$ $\mathbb B$

$\mathscr S = \{(-\infty, a] : a \in \mathbb R\}$ $\mathcal L = \{A \subseteq \mathbb R : Q(A) = R(A)\}$ $\mathcal L$ $\mathcal P(\mathbb R)$ $Q$ $R$ $\mathcal L$ $\mathbb B$ $\mathbb B \subseteq \mathcal L$

$\sigma(\mathscr S)$ $\sigma$ $\mathscr S$ $\mathbb B$ $\mathscr S$ $Q = R$ $\mathscr S$ $\mathbb B$

$\mathscr S$ $\mathcal L$ $\sigma$ $\mathscr S$ $\pi$ $\mathcal L$ $\lambda$ $\pi$ $\lambda$ $\sigma(S) = \mathbb B \subseteq \mathcal L$ $\mathscr S$ $\mathscr S$ $Q$ $R$ $\mathscr S$ $B \in \mathbb B$

$F_Q = F_R$ $Q = R$ $\mathbb B$ $Q \mapsto F_Q$ $\mathscr P := \{P : P \text { is a probability measure on } (\mathbb R, \mathbb B)\}$ $\mathcal F := \{F : \mathbb R \to \mathbb R : F \text { is a CDF}\}$

$F$ $Q$ $F(a) = Q\left((-\infty, a]\right)$ $Q \mapsto F_Q$ $F$

$G : \mathbb R \to \mathbb R$

$G$
$G$

(ve sınıflamanın nasıl yapıldığının bu tanımdan sonra geldiğine dikkat edin, ancak ekstra azalan kısıtlama nedeniyle "çoğu" sınıflandırma fonksiyonları Stieltjes ölçüm fonksiyonu değildir).

$G$ $\mu$ $(\mathbb R, \mathbb B)$

μ ((a, b]) = G (b) - G (a)

$\mu\left((a, b]\right) = G(b) - G(a)$

G (x) = x

$G(x) = x$

$F$ $\lim_{x\to-\infty} F(x) := F(-\infty) = 0$ $\lim_{x\to\infty} F(x) := F(\infty) = 1$ $F$ $Q$ $(\mathbb R, \mathbb B)$

Q ((a, b]) = F (b) - F (a) .

$Q\left((a, b]\right) = F(b) - F(a).$

Not nasıl ve böylece bir olasılık ölçüsüdür ve tam tersi olsaydık tanımlamak için kullanacağımız şeydir . $Q\left((-\infty, a]\right) = F(a) - F(-\infty) = F(a)$ $Q\left((-\infty, -\infty]\right) = F(\infty) - F(-\infty) = 1$ $Q$ $F$

Hep birlikte gördük, şimdi eşlemesinin 1-1 olduğunu ve bunun üzerine gerçekten de ve arasında bir . Bunu asıl soruya geri getirerek, bu, CDF'leri veya olasılık tedbirlerini, çalışma olasılığını ilan ettiğimiz hedefimiz olarak eşit tutabileceğimizi gösterir (bunun biraz daha karmaşık bir çaba olduğunu da kabul eder). Ben şahsen hala olasılık alanlarını tercih ediyorum çünkü teoride o yönde daha doğal bir şekilde akıyormuş gibi hissediyorum ama CDF'ler "yanlış" değil. $Q \mapsto F_Q$ $\mathscr P$ $\mathcal F$

— JLD
kaynak

3

Konuyla ilgili daha geniş bir perspektif için +1; Doğru Skorokhod en càdlàg fonksiyonu uzayı sadece bir olduğuna dikkat şimdiki Borel en kökten farklı neler olasılık teorisi gerektirir, kavramı ve Skorokhod keşifleri sadece tarih geriye ~ 40 yıl kadar. Gelecek yüzyılın neleri ortaya çıkarabileceğini kim bilebilir?

— AdamO

1

@AdamO kesinlikle, ve Arşimet olmayan olasılık gibi daha garip olanlar var; burada hiçbir zaman baskın görüş olmasalar da (ve bildiğim kadarıyla kimse bunu ciddiye almaya çalışmıyor) standart formülasyonu daha iyi anlamama yardımcı olacaklarını buldum ( örneğin, sigma katkı maddesinin ne kadar ciddi olduğu)

— jld

Soru başlığını ve bu alıntıyı düşündüğüm Terence Tao'dan okudum; yıllar önce ( 2010 ) okumuş olmalı ama bu gerçekten unutulmaz. Söylemeye devam ettiği gibi, pratik bir düzeyde, tam tersi doğrudur…

— ShreevatsaR

Soru hakkındaki yorumuma bakın: Bayesian (ve Dempster-Shafer ve Aktarılabilir İnanç Modeli ve Dezert-Smarandache Teorisi) gibi alternatif olasılık teorileri, kesin olmayan olasılıklar, olasılık teorisi, bu soru ve tartışma ile nasıl ilişkilidir?

— E. Douglas Jensen

@ E.DouglasJensen Emin değilim, bunu standart Kolmogorov aksiyomları bağlamında ele alıyorum. Bu bağlamda cevabımın "doğru" olduğunu düşünüyorum, ancak aksiyomları değiştirirsek tüm bahislerin kapalı olduğunu varsayarız. . Ayrıca bu konuda felsefi değilim, bu yüzden bunu gerçek dünyaya herhangi bir şekilde bağlamaya çalışıyorsak, örneğin "güneşin doğma olasılığı nedir" gibi sorularla, o zaman eminim ki daha karmaşık. Bununla birlikte, "bir şey" olma olasılığının azami değer (muhtemelen ) olması ve bu konuda belirsizlik olmaması oldukça güvenli bir iddia gibi görünüyor

1

$1$

— jld

12

Yok hayır; Cantor dağılımı böyle bir counterexample olduğunu. Rastgele bir değişken, ancak yoğunluğu yok. Ancak, bir dağıtım işlevi vardır. Bu nedenle, olasılık teorisinin, Cantor DF dahil olmak üzere, 0 sol limiti ve 1 sağ limiti olan cadad fonksiyonlarının incelenmesi olduğunu söyleyebilirim .

— Adamo
kaynak

Güzel, cadlag fonksiyonlarını hiç duymadım. Bununla birlikte, bunlar yine de gerçek ve metrik bir alan varsaymaktadır. Tüm olasılık teorisi bu alanlarda yapılmaz.

— HRSE

1

Örneğin Terrence Fine, Olasılık Teorileri'ne geri dönebilirsiniz. Ayrıca, cadlag işlevlerinin (en azından wikipedia makalesine göre) etki alanı olarak gerçek sayılara sahip olduğuna dikkat edin. LJ Savage'ın “İstatistiğin Temelleri”, mutlaka gerçek olmayan alanlarda (öznel) olasılık teorisinin bir hesabını verir.

— HRSE

1

@jwg Bu yazının diğer bazı yorumları, kuantum fiziğinde bir miktar kullanım gibi gözükse de, basit aklım böyle bir şeyi anlamadığı halde, olumsuz olasılığı ele alıyor.

— AdamO

1

@HRSE referanslar için teşekkürler. İkisini de çevrimiçi bulamadım, ancak bunun örneklerini bulamadığım halde yazarların diğer bazı belgelerini inceledim. Bir rastgele değişken tanımlarken ise olarak sonra CDF pushforward ölçüsü açısından tanımlanır (değil ölçü ile ) ve o zamandan beri gerçek değerli mutlaka bir ölçüsüdür bu gibi ayarlar besleyecek hangi aracı çok , etki alanı olarak sahip.

X

$X$

X : Ω \to R^{n}

$X : \Omega \to \mathbb R^n$

P_{X} := P \circ X^{- 1}

$P_X := P \circ X^{-1}$

P

$P$

(Ω, F)

$(\Omega, \mathscr F)$

X

$X$

P_{X}

$P_X$

(R^{n}, B^{n})

$(\mathbb R^n, \mathbb B^n)$

(- \infty, a]

$(-\infty, a]$

F

$F$

R^{n}

$\mathbb R^n$

— jld

1

Bence iyi sıralı her alt kümenin en az elemana sahip olduğu anlamına gelirken, tüm ve için tam olarak sıralanan araçlar , tam olarak , veya tutarsa, yani her ikisi de, sadece tamamen sipariş edildi ve de değil. Biz kesinlikle çarpma gerekiyor ve çok az değer kümesi o kadar farklı ihtimali gerektiğini bir alan olmaya, ama sanmıyorum sahip tamamen sipariş veya tam edilecek. Kompleks değerli ölçütler birincinin bir örneğidir ve hiperreal değerli ölçütler ikincinin bir örneğidir. Bunların hepsi olsa metrik uzaylardır (veya olabilir)

x

$x$

y

$y$

x < y

$x<y$

x > y

$x>y$

x = y

$x=y$

N

$\mathbb N$

R

$\mathbb R$

C

$\mathbb C$

P

$P$

— jld

6

Eminim iyi cevaplar alırsınız, ancak size burada biraz farklı bir bakış açısı sunar.

Fiziğin hemen hemen matematik olduğunu söyleyen matematikçiler duymuş olabilirsiniz veya doğanın en temel yasalarına göre sadece bir matematik uygulaması. Bazı matematikçiler (çoğu?) Aslında bunun böyle olduğuna inanıyor. Bunu üniversitede defalarca duydum. Bu bağlamda, benzer bir soru soruyorsunuz, bunun kadar geniş olmasa da.

Fizikçi genellikle bu ifadeye cevap bile vermez: onların doğru olmadığı çok açıktır. Ancak, cevap vermeye çalışırsanız, inandırıcı hale getirmek istiyorsanız, cevabın çok önemsiz olmadığı açıkça anlaşılır.

Cevabım, fiziğin sadece bir grup model ve denklem ve teori değil. Kendi yaklaşımları ve araçları ile sezgiselliği ve düşünme biçimleri olan bir alan. Poincare'in Einstein'dan önce görelilik teorisi geliştirmesine rağmen, tüm sonuçları anlamadığı ve herkesi uçurmaya devam etmemesinin bir nedeni budur. Einstein yaptı, çünkü fizikçi idi ve hemen ne anlama geldiğini aldı. Ben bir adamın hayranı değilim, ama Brownian hareketi üzerine yaptığı çalışma, bir fizikçinin matematiksel bir model oluşturma şeklinin bir başka örneği. Bu makale şaşırtıcı ve açıkça fizik-ey olan sezgi ve düşünce izleri ile doludur.

Bu yüzden, benim cevabım, sizin tarif ettiğiniz fonksiyonlarla ilgili olasılıklarla ilgileniyor olsa bile, yine de bu fonksiyonun çalışması olmayacaktı. Ayrıca, bazı alt sınıflara uygulanan bir ölçü teorisi değildir. Olasılık teorisi olasılıkları inceleyen ve radyoaktif bozunma ve kuantum mekaniği ve gazlar vb. İle doğal bir dünyayla bağlantılı olan farklı bir alandır. Bazı fonksiyonların olasılıkları modellemek için uygun göründüğü durumlarda, bunları kullanacağız ve çalışacağız. mülkler de öyle, ancak bunu yaparken de ana ödüle göz atacağız - olasılıklar.

— Aksakal
kaynak

1

Gerçekliği bir matematik savaşına

— sokmak

@Chaconne Bugün indirgemecilik konusunda yararlı bir kelime öğrendim , bu kelimeyi kelime hazinemize dahil edecek :)

— Aksakal

+1, cevabımla söylemeye çalıştığım şey buydu, ama düşündüğümden daha az etkili olduğunu söyledim.

— Nathaniel

4

Kısmen doğru, ikinci bir koşuldan yoksundur. Olumsuz olasılıklar anlam ifade etmiyor. Bu nedenle, bu işlevler iki koşulu yerine getirmek zorundadır:

Sürekli dağılımlar:
$\int_{D} f (x) d x = 1 and f (x) > 0 \forall x \in D$ $\int_{\mathcal{D}}f(x) dx = 1 \quad \text{and} \quad f(x)>0 \; \forall x \in \mathcal{D}$
Ayrık dağılımlar:
$\sum_{x \in D} P (x) = 1 and 0 < P (x) \leq 1 \forall x \in D$ $\sum_{x \in \mathcal{D}}P(x) = 1 \quad \text{and} \quad 0<P(x) \leq 1 \; \forall x \in \mathcal{D}$

Burada olasılık dağılımının tanımlandığı alandır. $\mathcal{D}$

— Carlos Campos
kaynak

Cevabınız için çok teşekkür ederim Carlos, aslında olumsuz olmayan durumun eklenip eklenmediğini bilmek istiyorum.

— dontloo

1

Olasılık yoğunluğu / kütle fonksiyonlarını (üst özellikleri yerine getirmek için) araştırmak için olasılık alanının azaltılmasının çok çıplak olduğunu söyleyebilirim. Ayrıca, @AdamO tarafından belirtildiği gibi, iyi tanımlanmış bir cdf'ye sahip olmalarına rağmen olasılık yoğunluk fonksiyonu olmayan bazı rastgele değişken vakaları vardır.

— Carlos Campos

@CloslosCampos: Olumsuz olasılıklar hakkında: Aslında bazı bağlamlarda, örneğin yarım paralar anlamlıdır. Biraz daha fazla bilgi için bkz. En.wikipedia.org/wiki/Negative_probability .

— İnkane

3

Hayır derdim, olasılık teorisinin temelde bu değil, ama diğer cevaplardan farklı nedenlerle olduğunu söyleyebilirim.

Temel olarak, şunu söyleyebilirim ki, olasılık teorisi iki şeyin incelenmesidir:

Stokastik süreçler ve
Bayesci çıkarım.

Stokastik süreçler, zar atma, çömleğin toplarını çekme vb. Gibi şeylerin yanı sıra fizik ve matematikte bulunan daha sofistike modelleri içerir. Bayesci çıkarım, belirsizliğin altındaki nedeni, bilinmeyen büyüklüklerin değerini temsil etmek için olasılık kullanarak.

Bu iki şey ilk başta göründüklerinden daha yakından ilgilidir. Onları aynı çatı altında inceleyebilmemizin bir nedeni, her ikisinin de önemli yönlerinin birine ekleyen / bütünleşen negatif olmayan işlevler olarak gösterilebilmesidir. Ancak olasılık sadece bu fonksiyonların incelenmesi değildir - rastgele süreçler ve çıkarımlar açısından yorumlanmaları da bunun önemli bir parçasıdır.

Örneğin, olasılık teorisi, koşullu olasılıklar ve rastgele değişkenler gibi kavramları ve entropi, karşılıklı bilgi ve rastgele değişkenlerin beklenti ve varyansı gibi miktarları içerir. Biri olsa olabilir normalize negatif olmayan işlevleri açısından tamamen bunları tanımlamak, bunun için motivasyon rasgele süreçler ve çıkarım açısından yorumlanması olmadan oldukça garip görünüyor.

Üstelik, bazen olasılık teorisindeki kavramlarla, özellikle de bire normalize olan negatif olmayan bir fonksiyon olarak ifade edilemeyen çıkarım tarafında ortaya çıkar. Burada "uygun olmayan öncelikler" olarak adlandırılanlar aklıma geldi ve AdamO Cantor dağıtımını başka bir örnek olarak verdi.

Bahsettiğim iki uygulama alanının önemli olmadığı, ana ilginin normalize edilmiş negatif olmayan fonksiyonların matematiksel özelliklerine sahip olduğu bazı olasılık teorisi alanları vardır. Böyle bir durumda, genellikle olasılık teorisi yerine ölçü teorisi olarak adlandırıyoruz. Ancak, olasılık teorisi de - aslında, daha çok söyleyeceğim - uygulamalı bir alan ve olasılık dağılımlarının uygulamaları kendileri için alanın önemsiz bir bileşenidir.

— Nathaniel
kaynak

2

Olasılık teorisindeki konuların alanını oldukça daralttın ...

— Tim

@Benim bilerek değil - iki alana böldüm ama her birinin çok geniş bir şekilde yorumlanmasını istedim. Her iki başlık altında da uymayan başka konular verebilir misin?

— Nathaniel