Olasılık simpleksi üzerinde bazı dağılımlar nelerdir?

Let boyuta olasılığı simpleks olan , yani gibi olduğu ve \ sum_i x_i = 1 . K - 1 x ∈ Δ K x i ≥ 0 ∑ i x i = $\Delta_{K}$$K-1$$x \in \Delta_{K}$$x_i \ge 0$$\sum_i x_i = 1$

\ Delta_ {K} üzerinden sık (veya iyi bilinen veya geçmişte tanımlanan) hangi dağıtımlar$\Delta_{K}$ var?

Açıkçası, Dirichlet ve Logit-Normal dağılımları vardır. Bu bağlamda doğal olarak ortaya çıkan başka dağıtımlar var mı?

Bu kompozisyon veri analizinde incelenmiştir, Aitchison'un bir kitabı vardır: Kompozisyon Verilerinin İstatistiksel Analizi .

$$S^n =\{(x_1, \dots,x_{n+1}) \in {\mathbb R}^{n+1} \colon x_1>0,\dots, x_{n+1}>0, \sum_{i=1}^{n+1} x_i=1\}.$$ tanımlayın }> 0, \ sum_ {i = 1} ^ {n + 1} x_i = 1 \}. Boyutu belirtmek için $n$ dizinini kullandığımızı unutmayın ! Tek taraflı bir öğenin geometrik ortalamasını $x$ , $\tilde{x}$ olarak tanımlayın . Sonra logratio dönüşümünü (Aitchison tarafından tanıtıldı) $x=(x_1, \dots, x_{n+1}) \mapsto (\log(x_1/\tilde{x}), \dots, \log(x_n/\tilde{x})$ .Bu dönüşüm ${\mathbb R}^n$ , bu yüzden hesaplamak için size bıraktığım bir tersi var (Bu dönüşümün kullanılabileceği, belki de daha iyi matematiksel olan diğer sürümleri de var özellikleri, daha sonra bunun hakkında daha fazla bilgi).

Şimdi üzerinde tanımlanan normal (veya her ne olursa olsun) bir dağılım alabilir ve simpleks üzerinde bir dağılım tanımlamak için bu ters dönüşümü kullanabilirsiniz. Olasılıklar sınırsızdır, üzerindeki her çok değişkenli dağılım için tek taraflı bir dağılım elde ederiz.${\mathbb R}^n$${\mathbb R}^n$

Bu yazıyı daha sonra bazı örneklerle ve günlük oranı dönüşümleri hakkında daha fazla ayrıntıyla artıracağım.