Mevsimsel değil döngüsel olan bir zaman serisini modellemeye ve tahmin etmeye çalışıyorum (yani mevsime benzer desenler var, ancak sabit bir dönemle değil). Bu, Öngörme Kısım 8.5'te belirtildiği gibi bir ARIMA modeli kullanılarak mümkün olmalıdır : ilkeler ve uygulama :

Veriler döngü gösteriyorsa , değeri önemlidir. Döngüsel tahminler elde etmek için, parametreler üzerinde bazı ek koşullarla birlikte sahip olmak gerekir . Bir AR (2) modeli için, ise döngüsel davranış oluşur .$p$$p\geq 2$$\phi^2_1+4\phi_2<0$

Genel ARIMA (p, d, q) durumunda parametreler üzerinde bu ek koşullar nelerdir ? Onları hiçbir yerde bulamadım.

Bazı grafik sezgi

Olarak AR modelleri , siklik davranış karakteristik bir polinoma karmaşık eşlenik köklerinden gelir. İlk önce sezgi vermek için, aşağıdaki dürtü tepki fonksiyonlarını iki örnek AR (2) modeline çizdim.

1. Karmaşık köklere sahip kalıcı bir süreç.
2. Gerçek kökleri olan kalıcı bir süreç.

İçin , karakteristik polinom köklerdir ve özdeğerler aşağıda tanımlar matris. Karmaşık bir eşdeğer özdeğerlerle ve ile sönümlemeyi kontrol eder (burada ) ve kosinüs dalgasının frekansını kontrol eder.$j=1\,\ldots, p$$\frac{1}{\lambda_j}$$\lambda_1, \ldots, \lambda_p$$A$$\lambda = r e^{i \omega t}$$\bar{\lambda}= r e^{-i \omega t}$$r$$r \in [0, 1)$$\omega$

Ayrıntılı AR (2) örneği

Varsayalım ki AR (2):

$$y_t = \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \epsilon_t$$

Herhangi bir AR (p) 'yi VAR (1) olarak yazabilirsiniz . Bu durumda, VAR (1) temsili:

$$\underbrace{\begin{bmatrix} y_t \\ y_{t-1} \end{bmatrix} }_{X_t} = \underbrace{\begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix} y_{t-1} \\ y_{t-2} \end{bmatrix}}_{X_{t-1}} + \underbrace{\begin{bmatrix}\epsilon_t \\ 0 \end{bmatrix}}_{U_t}$$ Matris , ve dolayısıyla dinamiklerini yönetir . Matris karakteristik denklemi olduğu: özdeğer gibidir: özvektörleri : $A$$X_t$$y_t$$A$ $$\lambda^2 - \phi_1 \lambda - \phi_2 = 0$$ $A$ $$\lambda_1 = \frac{\phi_1 + \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2} \quad \quad \lambda_2 = \frac{\phi_1 - \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2}$$ $A$ $$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ 1 \end{bmatrix} \quad \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} \lambda_2 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Not bu . Özdeğer ayrışma Şekillendirme ve yetiştirme için inci gücü. $\operatorname{E}[X_{t+k} \mid X_t, X_{t-1}, \ldots] = A^kX_t$$A$$k$

$$A^k = \begin{bmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1^k & 0 \\ 0 & \lambda_2^k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\lambda_1 - \lambda_2} & \frac{-\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}\\ \frac{-1}{\lambda_1 - \lambda_2}& \frac{\lambda_1}{\lambda_1 - \lambda_2} \end{bmatrix}$$

değerini yükselttiğinizde gerçek bir özdeğer çürümeye yol açar . Sıfır olmayan hayali bileşenlerle özdeğerler döngüsel davranışa yol açar.$\lambda$$\lambda^k$

Hayali bileşen sahip özdeğerler:$\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$

AR (2) bağlamında, ise karmaşık özdeğerlere . Yana gerçek, bunlar çiftler halinde gelmelidir kompleks eşlenikler birbirinden.$\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$$A$

Prado ve Batı'nın (2010) 2. Bölümünün ardından,

$$c_t = \frac{\lambda}{\lambda - \bar{\lambda}} y_t - \frac{\lambda \bar{\lambda}}{\lambda - \bar{\lambda}} y_{t-1}$$

tarafından verilen tahmini şöyle gösterebilirsiniz :$\operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots]$

$$\begin{align*} \operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots] &= c_t \lambda ^k + \bar{c}_t \bar{\lambda}^k \\ &= a_t r^k \cos(\omega k + \theta_t) \end{align*}$$

Gevşek bir şekilde konuşmak gerekirse, karmaşık konjugatları eklemek, hayali bileşenlerini iptal eder ve sizi gerçek sayılar alanında tek bir sönümlü kosinüs dalgası ile bırakır. ( için olmalıdır .)$0 \leq r < 1$

Eğer bulmak istiyorsanız , , , kullanarak başlamak Euler formülünü o , biz yazabiliriz:$r$$\omega$$a_t$$\theta_t$$re^{i \theta} = r \cos \theta + r \sin \theta$

$$\lambda = re^{i\omega} \quad \bar{\lambda} = re^{-i\omega} \quad r = |\lambda| = \sqrt{ -\phi_2}$$ $$\omega = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} \lambda, \operatorname{real} \lambda \right) = \operatorname{atan2}\left( \frac{1}{2} \sqrt{-\phi_1^2-4\phi_2}, \frac{1}{2} \phi_1\right)$$

$$a_t = 2 |c_t| \quad \quad \theta_t = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} c_t, \operatorname{real} c_t \right)$$

apandis

Not Kafa karıştırıcı terminoloji uyarısı! A'nın karakteristik polinomunu AR (p) nin karakteristik polinomuna göre

Başka bir zaman serisi hilesi, AR (p) 'yi yazmak için gecikme operatörünü kullanmaktır :

$$\left(1 - \phi_1 L - \phi_2L^2 - \ldots - \phi_pL^p \right)y_t = \epsilon_t$$

Gecikme operatörü bazı değişken ile değiştirin ve insanlar genellikle AR (p) modelinin karakteristik polinomu olarak . Olarak bu yanıt tartışıyor , tam olarak karakteristik polinom . Kökler , özdeğerlerin karşılıklılarıdır. (Not: modelin sabit olması için , yani birim daire içinde veya eşdeğerde , birim dairenin dışında olmasını istiyorsunuz .)$L$$z$$1 - \phi_1 z - \ldots - \phi_pz^p$$A$$z = \frac{1}{\lambda}$$z$$|\lambda| < 1$$|z|>1$

Referanslar

Prado, Raquel ve Mike West, Zaman Serileri: Modelleme, Hesaplama ve Çıkarım , 2010