Asgari varyans teorisi tahmini, yüksekokulda aşırı vurgulanmış mı?

Son zamanlarda, tamamen yanlış olan tekdüze bir dağılımın parametreleri için minimum varyans tarafsız tahminleri hakkında kelepçe cevabı verdiğimde çok utandım. Neyse ki , OP için doğru cevapları veren derhal kardinal ve Henry tarafından düzeltildi .

Bu beni düşündürdü. 37 yıl kadar önce Stanford'daki yüksek lisans matematik stat dersimdeki en iyi tarafsız tahmin ediciler teorisini öğrendim. Rao-Blackwell teoremini, Cramer - Rao alt sınırını ve Lehmann-Scheffe Teoremini hatırlıyorum. Fakat uygulamalı bir istatistikçi olarak günlük hayatımdaki UMVUE'ları fazla düşünmüyorum, oysa azami olasılık tahmini çok fazla.

Neden? Lisansüstü okulda UMVUE teorisini fazla vurgulıyor muyuz? Bence de. Her şeyden önce tarafsızlık önemli bir özellik değildir. Pek çok mükemmel MLE önyargılıdır. Stein büzülme tahmin edicileri önyargılıdır, ancak ortalama kare hata kaybı açısından tarafsız MLE'ye hakimdir. Bu çok güzel bir teoridir (UMVUE tahmini), ama çok eksik ve bence çok kullanışlı değil. Diğerleri ne düşünüyor?

Biz biliyoruz ki

Eğer , rasgele bir numune olduğu P o ı s s O N ( λ ) daha sonra herhangi a ∈ ( 0 , 1 ) , T α = α ˉ x + ( 1 - α ) S 2 λ bir UE$X_1,X_2, \dots X_n$$Poisson(\lambda)$$\alpha \in (0,1),~T_\alpha =\alpha \bar X+(1-\alpha)S^2$$\lambda$

Bu nedenle sonsuz sayıda UE'si vardır . Şimdi bunlardan hangisini seçmeliyiz? yani UMVUE diyoruz. Tarafsızlık iyi bir özellik değil ama UMVUE iyi bir özelliktir. Ama son derece iyi değil.$\lambda$

Eğer , rasgele bir numune olduğu N ( u , σ 2 ) şekli, daha sonra en az MSE tahmin T α = α S 2 ile, ( n - 1 ) S 2 = Σ n i = 1 Σ 2 parametresi için ( X i - ˉ X ) 2 , n - $X_1,X_2, \dots X_n$$N(\mu, \sigma^2)$$T_\alpha =\alpha S^2$$(n-1)S^2=\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2$$\sigma^2$ Ama bastırılmaktadırolduğunuo en az MSE açısından en iyi olsa UMVUE değildir.$\frac{n-1}{n+1}S^2=\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2$

O Not Rao-Blackwell Teoremi biz sadece yeterli istatistik fonksiyonu olan bu UE konsantre olabilir UMVUE bulmak için diyor olduğunu UMVUE yeterli istatistik fonksiyonu olan tüm UE'ler arasında asgari varyansa sahip tahmincisi olduğunu. Dolayısıyla UMVUE zorunlu olarak yeterli bir istatistiğin bir fonksiyonudur.

MLE ve UMVUE her ikisi de bir açıdan iyi. Ama asla bir tanesinin diğerinden daha iyi olduğunu söyleyemeyiz. İstatistiklerde belirsiz ve rastgele verilerle ilgileniyoruz. Yani her zaman iyileştirme alanı vardır. MLE ve UMVUE'dan daha iyi bir tahminci alabiliriz.

Sanırım UMVUE teorisini lisansüstü okulda fazla vurgulamıyoruz.Tamamen benim kişisel görüşüm. Mezuniyet aşamasının bir öğrenme aşaması olduğunu düşünüyorum. Bu nedenle, mezun bir öğrencinin UMVUE ve diğer tahminciler hakkında iyi bir temel taşıması gerekir,

Belki Brad Efron'un "Maksimum Olabilirlik ve Karar Teorisi" adlı makalesi bunu açıklığa kavuşturmaya yardımcı olabilir. Brad, UMVUE ile ilgili bir ana zorluktan, genel olarak hesaplamanın zor olduğunu ve birçok durumda mevcut olmadığını belirtti.