Bayes Yeterliliği Sıklık Yeterliliği ile nasıl ilişkilidir?

9

Sıklıklı bir bakış açısından yeterli bir istatistiğin en basit tanımı burada Wikipedia'da verilmiştir . Ancak, yakın zamanda Bayesli bir kitapta tanımıyla karşılaştım . Bağlantıda her ikisinin de eşdeğer olduğu belirtiliyor, ancak nasıl olduğunu göremiyorum. Ayrıca, aynı sayfada, «Diğer Yeterlilik Türleri» bölümünde, her iki tanımın da sonsuz boyutlu alanlarda eşdeğer olmadığı belirtilmektedir ... $P(\theta|x,t)=P(\theta|t)$

Ayrıca, öngörücü yeterlilik ile klasik yeterlilik arasındaki ilişki nedir?

bayesian mathematical-statistics sufficient-statistics

— Denizde yaşlı bir adam.
kaynak

4

Eğer bir istatistik sık kullanılan bir şekilde yeterliyse, , bu yüzden $T$ $p(\mathbf{x} \mid \theta, t) = p(\mathbf{x} \mid t)$

\begin{aligned} p (θ ∣ x, t) & = \frac{p (x ∣ t, θ) p (t ∣ θ) p (θ)}{p (x ∣ t) p (t)} \\ (freq. suff.) & = \frac{p (t ∣ θ) p (θ)}{p (t)} \\ = p (θ ∣ t) . \end{aligned}

$\begin{align*} p(\theta \mid \mathbf{x}, t) &= \frac{p(\mathbf{x}\mid t,\theta)p(t \mid \theta) p(\theta)}{p(\mathbf{x}\mid t)p(t)} \\ &= \frac{p(t \mid \theta) p(\theta)}{p(t)} \tag{freq. suff.}\\ &= p(\theta \mid t). \end{align*}$

Öte yandan, Bayes yolunda yeterliyse, $T$

\begin{aligned} p (x ∣ θ, t) & = \frac{p (x, θ, t)}{p (θ, t)} \\ = \frac{p (θ ∣ x, t) p (x, t)}{p (θ ∣ t) p (t)} \\ (Bayesian suff.) & = \frac{p (x, t)}{p (t)} \\ = p (x ∣ t) . \end{aligned}

$\begin{align*} p(\mathbf{x} \mid \theta, t) &= \frac{p(\mathbf{x}, \theta,t)}{p(\theta,t)}\\ &= \frac{p(\theta \mid \mathbf{x},t) p(\mathbf{x},t)}{p(\theta\mid t)p(t)}\\ &= \frac{p(\mathbf{x},t)}{p(t)} \tag{Bayesian suff.}\\ &= p(\mathbf{x} \mid t). \end{align*}$

"Tahmini yeterlilik" ile ilgili olarak, bu nedir?

Düzenleme: Bayesian yeterliliğiniz varsa, öngörülü yeterliliğiniz vardır:

\begin{aligned} p (x^{'} ∣ x) & = \int p (x^{'} ∣ θ) p (θ ∣ x) d θ \\ (Bayesian suff.) & = \int p (x^{'} ∣ θ) p (θ ∣ t) d θ \\ = p (x^{'} ∣ t) . \end{aligned}

$\begin{align*} p(\mathbf{x}' \mid \mathbf{x}) &= \int p(\mathbf{x}' \mid \theta)p(\theta \mid \mathbf{x}) d\theta\\ &= \int p(\mathbf{x}' \mid \theta) p(\theta \mid t)d\theta \tag{Bayesian suff.}\\ &= p(\mathbf{x}' \mid t). \end{align*}$

— Taylor
kaynak

1

Taylor, aynı linkte, aşağıda Bayes Yeterliliği bölümünde tanımlanmıştır.

— Denizde yaşlı bir adam.

3

Biz rastladı ilginç fenomenler birkaç yıl önce ABC ile Bayes modeli seçimi araştırılırken,. Bence bu soru ile ilgili. Gerçekten de Bayesci model seçimi için Bayesci yaklaşımın dışında özellikle anlamlı görünmeyen bir yeterlilik kavramı vardır.

Verilen iki model

M_{1} = {f_{θ} (\cdot); θ \in Θ}

$\mathfrak{M}_1=\{f_\theta(\cdot); \theta\in\Theta\}$ ve

M_{2} = {g_{ξ} (\cdot); ξ \in Ξ}

$\mathfrak{M}_2=\{g_\xi(\cdot); \xi\in\Xi\}$ ve bir örnek

x = (x_{1}, \dots, x_{n})

$\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)$ bu iki modelden birinden, bir istatistik

S

$S$ model seçimi için veya modelin dağılımı

X

$\mathbf{X}$ şartlı

S (X)

$S(\mathbf{X})$ model dizinine (1 veya 2) veya model içindeki parametre değerine bağlı değildir.

Böyle yeterli istatistikler mevcut olduğunda, $\mathbf{X}$ dayalı bir Bayes faktörü ile aynıdır. $S(\mathbf{X})$ . Bu kendi başına Bayesian olmayan bir tanım olsa da, Bayesci model seçimi dışında doğrudan bir uygulama görmüyorum.

— Xi'an
kaynak