İlişkili rastgele değişkenlerin ağırlıklı toplamı için “merkezi limit teoremi”

İddia eden bir makale okuyorum

{\hat{X}}_{k} = \frac{1}{\sqrt{N-}} Σ_{j = 0}^{N- - 1} X_{j} e^{- ben 2 π k j / N-},

$\hat{X}_k=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{j=0}^{N-1}X_je^{-i2\pi kj/N},$ (ör. Ayrık Fourier Dönüşümü , DFT) CLT tarafından (karmaşık) bir gauss rastgele değişkene eğilim gösterir. Ancak, bunun genel olarak doğru olmadığını biliyorum. Bu (yanlış) argümanı okuduktan sonra, internette arama yaptım ve bu 2010 belgesini Peligrad & Wu tarafından buldum , burada bazı sabit süreçler için bir "CLT teoremi" bulabildiklerini kanıtladılar .

Sorum şu: Belirli bir indekslenmiş dizinin (hem simülasyon hem de teori ile) DFT'sinin sınır dağılımını bulma sorununu çözmeye çalışan başka referanslarınız var mı? Özellikle zaman serisi analizi veya sabit olmayan serilere türevler / uygulamalar bağlamında için bazı kovaryans yapısı verilen yakınsama oranı (yani ne kadar hızlı DFT yakınsama) . $X_j$

time-series central-limit-theorem fourier-transform

— Néstor
kaynak

David Brillinger'ın "Zaman Serisi Veri Analizi ve Teorisi" 1975 Holt, Rinehart ve Winston Publishers sayfa 94 Theroem 4.4.1, belirli koşullar altında λ (N) frekanslarında r vektör değerli bir seri için ayrı fourier dönüşümünün asimptotik olarak bağımsız olduğunu belirtir. boyutlu kompleks normal, λ (N) = 2π s (N) / N olan ortalama vektör 0 ile . Bu, sabit zaman serilerinin spektral yoğunluğu için tahminlerin geliştirilmesinde çok önemli bir teoremdir. $_j$ $_j$ $_j$

— Michael R. Chernick
kaynak

Bu koşullar neler? Ve teoremi alıntıladığım makaleden nasıl farklı?

— Néstor

Muhtemelen alıntı yaptığınız kağıttaki sonuca çok benzer. Baktım çünkü mezuniyet günlerimde öğrendiğim bir sonuç gibi geliyordu. Varsayımları okuyamayacağım. Xj için otokorelasyon fonksiyonunda bir kısıtlama içerir ve λjs çiftler halinde 2π katları toplamaz.

— Michael R.Chickick