İz fonksiyonunun beklenen değeri ve varyansı

Rasgele değişkenler için ve pozitif yarı tanımlı bir matris : Beklenen değer, ve varyans için basitleştirilmiş bir ifade var mı? , ? rastgele bir değişken olmadığını lütfen unutmayın . $X \in \mathbb{R}^h$ $A$ $\mathop {\mathbb E}[Tr(X^TAX)]$ $Var[Tr(X^TAX)]$ $A$

— cenaze arabası
kaynak

Yana skaler olduğu ve böylece . $X^TAX$

Tr (X^{T} A X) = X^{T} A X = Tr (A X X^{T})

$\text{Tr}(X^TAX)= X^TAX = \text{Tr}(AXX^T)$

E (X^{T} A X) = E (Tr (A X X^{T})) = Tr (E (A X X^{T})) = Tr (A E (X X^{T}))

$\text{E}(X^TAX) = \text{E}(\text{Tr}(AXX^T)) = \text{Tr}(\text{E} (A XX^T)) = \text{Tr}(A\text{E}(XX^T))$

Burada, bir ürünün izinin, faktörlerin döngüsel permütasyonları altında değişmez olduğunu ve izin doğrusal bir operatör olduğunu kullandık, bu yüzden beklenti ile yola çıkar. Varyans, daha yüksek anlarına da ihtiyaç duyan çok daha karmaşık bir hesaplamadır . Bu hesaplama Seber'de bulunabilir: "Doğrusal Regresyon Analizi" (Wiley) $X$

— kjetil b halvorsen
kaynak

Neden ?

T r (X^{T} A X) = X^{T} A X

$Tr(X^T AX) = X^T AX$

— Aqqqq

Çünkü bir sayıdır

X^{T} A X

$X^TAX$

— Halvorsen Kjetil b