Mercer teoremi tersine çalışır mı?

Bir meslektaşım bir işlev vardır ve bizim için bir kara-kutu. Fonksiyon iki nesnenin benzerliğini ölçer .$s$$s(a,b)$

Biz biliyoruz emin bu özelliklere sahiptir:$s$

1. Benzerlik puanları, 0 ile 1 arasında, gerçek sayılardır.
2. Yalnızca özdeş olan nesnelerin puanları 1'dir. Bu nedenle, , anlamına gelir ve bunun tersi de geçerlidir.$s(a,b)=1$$a=b$
3. olduğu garanti edilir .$s(a,b) = s(b,a)$

Şimdi, mesafe olarak girdi gerektiren mesafeler gerektiren ve mesafe aksiyomlarını sağlayan girdilere bağlı algoritmalarla çalışmak istiyor.

Benim düşüncem, benzerlik skorlarını RBF çekirdeğinin bir sonucu gibi sanki bir mesafeyle (Öklid normu veya başka bir mesafe olabilir) tedavi edebileceğimizdi, yani sadece cebirle yeniden düzenleyebilir ve benzerlik puanlarının atıfta bulunduğunu varsayabiliriz . bazı (bilinmeyen) koordinat sistemindeki bir çift nokta için RBF çekirdeği.

Burada bilinmeyen bir vektör ve ilgilenilen nesnedir ve bir mesafedir.$m_\alpha \in \mathbb{R}^n$$x_\alpha$$d$

Belirgin özellikler, mesafe aksiyomlarına saygı açısından çalışır. Sonuçlar negatif olmamalıdır ve mesafeler aynı nesneler için sadece 0'dır. Ancak, bu oldukça genel koşulların, üçgen eşitsizliğine saygı duyulduğunu ima etmek için yeterli olduğu açık değildir.

Öte yandan, bu biraz çılgınca geliyor.

Sorularıma Yani "bir orada mevcut mu olduğunu öyle ki için metrik biraz mesafe üzerinde bu özellikleri verilen ve o nedir ?"$f$$f(s(a,b))=d(a,b)$$d$$s$$f$

Eğer üzerinde bu genel şartlar mevcut değildir , hangi gereksinimleri bir dizi ek var var?$f$$s$$f$

Mercer teoremi tersine çalışır mı?

Her durumda değil.

Ara "matematik, özellikle fonksiyonel bir analizde, Mercer teoremi a, temsili a simetrik pozitif tanımlı bir fonksiyonu ürün fonksiyonları bir yakınsak dizisinin toplamı olarak bir kare (1909 Mercer), sunulan bu teoremi, biridir. James Mercer'in çalışmasının en dikkate değer sonuçları, integral denklemler teorisinde önemli bir teorik araçtır; stokastik süreçlerin, örneğin Karhunen-Loève teoreminin Hilbert uzay teorisinde kullanılır ve karakterize etmek için de kullanılır. simetrik pozitif yarı tanımlı bir çekirdek.

Bu bir 'var birçok kimse haritalama bir üzerinde' Hilbert uzay . - brüt aşırı basitleştirme, bunu kimlik belirlemek veya belirlememek için bir dosyaya karşı test edebileceğiniz bir karma veya sağlama toplamı olarak tanımlamak olacaktır.

Daha teknik açıklama: Parçalanma teoremi

"Matematikte, parçalanma teoremi, ölçüm teorisi ve olasılık teorisinin bir sonucudur. Söz konusu ölçüm alanının sıfır alt kümesini ölçmek için bir ölçünün önemsiz olmayan bir " kısıtlaması " fikrini titizlikle tanımlar . koşullu olasılık ölçülerinin varlığı Bir anlamda, "parçalanma" bir ürün ölçüsünün inşası için tersi bir süreçtir. "

Ayrıca bakınız: Nathan Srebro, “ Fubini – Tonelli teoremi ”, “ Menteşe Kaybı ”, “ Kayıp İşlevi ” ve “ Çekirdek Benzerlik Ölçüsü Olarak Kullanıldığında Ne Kadar İyi? ” (Haziran 2007):

" Özet. Balcan ve Blum son zamanlarda pozitif yarı-tanımlı çekirdekler yerine genel benzerlik fonksiyonlarına dayalı bir öğrenme teorisi önermişlerdir. Çekirdek tabanlı öğrenmeye dayalı öğrenme garantileri ile elde edilebilecekler arasındaki boşluğu inceliyoruz. Çekirdek, Balcan ve Blum tarafından açık bırakılan bir benzerlik işlevi olarak, bir benzerlik işlevi olarak kullanıldığında bir çekirdek işlevinin ne kadar iyi olduğuna ilişkin önemli ölçüde iyileştirilmiş bir bağ sağlar ve sonucu daha pratik ilgili menteşe kaybına da genişletiriz. Dahası, bu bağın sıkı olduğunu gösteriyoruz ve bu nedenle aslında geleneksel çekirdek tabanlı marj kavramı ile daha yeni benzerlik temelli kavramı arasında gerçek bir boşluk olduğunu tespit ediyoruz. "

Bir meslektaşım bir işlev vardır ve bizim için bir kara-kutu.$s$

Bakınız: çekirdekler ve benzerlik (R cinsinden)

Bu kara bir kutudur, bu yüzden çekirdek tabanlıysa hangi çekirdeğin kullanıldığını bilmiyorsunuz ve hangisinin olduğunu düşündüğünüzde çekirdeğin uygulanmasının ayrıntılarını bilmiyorsunuz. Bakınız: Çekirdek içindeki rbfKernel denklemi standarttan farklı mı? .

Öte yandan, bu biraz çılgınca geliyor.

Kısıtlı koşullar altında hızlı ve etkilidir. Bir çekiç gibi, eğer bir çekiç taşıyorsan, insanlar sana deli diyecekler mi?

" Çekirdek yöntemleri , adlarını, bu alandaki verilerin koordinatlarını hiç hesaplamadan, daha ziyade görüntüler arasındaki iç ürünleri hesaplayarak, yüksek boyutlu, örtük bir özellik alanında çalışmasını sağlayan çekirdek işlevlerinin kullanımına borçludur. özelliği uzayda tüm veri çiftlerinin. Bu operasyon genellikle hesaplama ucuzdur koordinatların net hesaplaması daha. Bu yaklaşım "çekirdek hile" denir. çekirdek fonksiyonları dizisi veriler, grafikler, metin, görüntüler için tanıtılmıştır gibi vektörler. "

Ders: (Bazen) sizin için ne ödeme olsun.

Sorularıma Yani "mu bir orada mevcut olduğunu böyle için bazı bu özellikler verilen metrik mesafe ve ne olduğunu ?"$f$$f(s(a,b))=d(a,b)$$d$$s$$f$

Çoğu, yukarıdaki bağlantılara bakınız, " Popüler Çekirdek İşlevleri ", RBF ve işte bir (pahalı) örnek: " Zaman Serisi Fourier Dönüşümü Arasındaki Benzerlik için Bir Olasılık Oranı Mesafe Ölçümü " (2005), Janacek, Bagnall ve Powell.

Eğer üzerinde bu genel şartlar mevcut değildir , hangi gereksinimleri bir dizi ek var var?$f$$s$$f$

Farklı uzaylar ve yöntemler, spesifik problemlerin karşılaştırılmasını (ve parçalanmasını) daha iyi hedefleyebilir, sadece Hilbert alanı için birçok yöntem vardır .

Evet, liste büyük, yukarıdaki bağlantılara bakın ve (bir örnek için): Hilbert çekirdeği alanını çoğaltma .

Ancak, bu oldukça genel koşulların, üçgen eşitsizliğine saygı duyulduğunu ima etmek için yeterli olduğu açık değildir.

Aslında yeterli değil. ile çalışalım . Üç noktası varsa ile , ve ise üçgen eşitsizliği başarısız olur, çünkü .$d(a, b) = 1 - s(a, b)$$x, y, z$$d(x, y) = \frac{1}{3}$$d(y, z) = \frac{1}{3}$$d(x, z) = 1$$d(x, z) > d(x, y) + d(y, z)$