İki rv arasındaki farkın tekdüze PDF'si

İki iid rv'nin farkının PDF'sinin bir dikdörtgen gibi görünmesi mümkün mü (rv'ler üniform dağılımdan alındığında elde ettiğimiz üçgen yerine).

yani jk'nin PDF f'sinin (bazı dağıtımlardan alınan iki iid rv için) tüm -1 <x <1 için f (x) = 0.5 olması mümkün mü?

Minimum -1 ve maksimum 1 olması dışında j ve k olarak aldığımız dağılımda herhangi bir kısıtlama yoktur.

Bazı deneylerden sonra, bunun imkansız olabileceğini düşünüyorum.

Teorem: Dağıtım yok$\text{Dist}$ hangisi için $A-B \sim \text{U}(-1,1)$ ne zaman $A, B \sim \text{IID Dist}$.

---

İspat: İki rastgele değişken düşünün$A, B \sim \text{IID Dist}$ ortak karakteristik fonksiyonu ile $\varphi$. Farklarını belirtmek$D=A-B$. Farkın karakteristik işlevi:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(i t D)) &= \mathbb{E}(\exp(i t (A-B))) \\[6pt] &= \mathbb{E}(\exp(i t A)) \mathbb{E}(\exp(-i t B)) \\[6pt] &= \varphi(t) \varphi(-t) \\[6pt] &= \varphi(t) \overline{\varphi(t)} \\[6pt] &= |\varphi(t)|^2. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

(Bu çalışmanın dördüncü çizgisi, karakteristik fonksiyonun Hermitiyen olmasından kaynaklanmaktadır .) Şimdi,$D \sim \text{U}(-1,1)$ için belirli bir form verir $\varphi_D$, hangisi:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(itD)) &= \int \limits_{\mathbb{R}} \exp(itr) f_D(r) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \int \limits_{-1}^1 \exp(itr) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ \frac{\exp(itr)}{it} \Bigg]_{r=-1}^{r=1} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{\exp(it)-\exp(-it)}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(-t) + i \sin(-t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(t) - i \sin(t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{2i \sin(t)}{it} \\[6pt] &= \frac{\sin(t)}{t} = \text{sinc}(t). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

burada ikincisi (normal olmayan) iç işlevdir . Bu nedenle,$\text{Dist}$, karakteristik bir fonksiyona ihtiyacımız var $\varphi$ kare norm ile verilen:

$$|\varphi(t)|^2 = \varphi_D(t) = \text{sinc}(t).$$

Bu denklemin sol tarafı kare bir normdur ve bu nedenle negatif değildir, sağ taraf çeşitli yerlerde negatif olan bir işlevdir. Bu nedenle, bu denkleme bir çözüm yoktur ve bu nedenle dağıtım gereksinimlerini karşılayan karakteristik bir işlev yoktur. ( Bunu Matematik ile ilgili bir soruya işaret ettiği için Fabian'a şapka ucu ). $\blacksquare$

Bu bir elektrik mühendisinin, istatistiklerden ziyade dsp.SE için daha uygun bir bakış açısıyla konuyu ele almasıdır.

Farz et ki $X$ ve $Y$olan sürekli ortak pdf rastgele değişkenler$f(x)$. O zaman eğer$Z$ O anlamına gelir $X-Y$, bizde var

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^\infty f(x)f(x+z) \ \mathrm dx.$$ Cauchy-Schwarz eşitsizliği bize şunu söyler: $f_Z(z)$ maksimumda $z=0$. Aslında, beri$f_Z$ aslında "otokorelasyon" fonksiyonudur. $f$Bir "sinyal" olarak kabul, bir olması gerekir benzersiz maksimum de$z=0$ ve böylece $Z$ istendiği gibi düzgün dağıtılamaz. Alternatif olarak,$f_Z$ Gerçekten tekdüze bir yoğunluktu (aynı zamanda bir otokorelasyon fonksiyonu olduğunu unutmayın), sonra "güç spektral yoğunluğu" $f_Z$(sinyal olarak kabul edilir) samimi bir işlev olacaktır ve bu nedenle tüm güç spektral yoğunluklarının olması gerektiği gibi negatif olmayan bir işlev değildir. Ergo,$f_Z$ düzgün bir yoğunluk bir çelişkiye yol açar ve bu nedenle varsayım yanlış olmalıdır.

İddia $f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$ , $X$ ve $Y$atomları içerir, çünkü böyle bir durumda$Z$atom da içerecektir. Şüpheli ki$X$ ve $Y$Bir adres pdf çıkarılabilir ve bir saf şekilde ölçmek-teorik dayanıklı genel durumda olduğunda inşa$X$ ve $Y$ mutlaka bir pdf zevk (ama farkları).