İki değişkenin toplamının varyansı için formülün arkasındaki sezgi

10

Önceki çalışmalardan biliyorum ki

$Var(A+B) = Var(A) + Var(B) + 2 Cov (A,B)$

Ancak bunun neden olduğunu anlamıyorum. Etkinin, A ve B yüksek oranda değiştiğinde varyansı 'yükseltmek' olacağını görebiliyorum. Yüksek derecede korelasyonlu iki değişkenten bir kompozit oluşturduğunuzda, A'dan yüksek gözlemler ile B'den yüksek gözlemler ve A'dan düşük gözlemler ile B'den düşük gözlemler ekleme eğiliminde olacağınız mantıklıdır. kompozit değişkeninde aşırı yüksek ve düşük değerler yaratarak kompozitin varyansını arttırır.

Ama neden kovaryansı tam olarak 2 ile çarpmak işe yarıyor ?

variance covariance intuition

— user1205901 - Monica'yı eski durumuna döndür
kaynak

1

Eğer ve , mükemmel pozitif sonra ilişkilidir ve tam negatif sonra korelasyon halinde . Kovaryans, bu aralık boyunca ilişkilerinin ne kadar uzak olduğunu ölçer

A

$A$

B

$B$

V a r (A + B) = V a r (A) + V a r (B) + 2 \sqrt{V a r (A) V a r (B)}

$Var(A+B)= Var(A) + Var(B)+ 2\sqrt{ Var(A) Var(B)}$

V a r (A + B) = V a r (A) + V a r (B) - 2 \sqrt{V a r (A) V a r (B)}

$Var(A+B)= Var(A) + Var(B)- 2\sqrt{ Var(A) Var(B)}$

— Henry

21

Basit cevap:

Varyans bir kare içerir:

V a r (X) = E [(X - E [X])^{2}]

$Var(X) = E[(X - E[X])^2]$

Yani, sorunuz kare kimliğindeki faktör 2'ye kadar kayıyor:

(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b

$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$

Tarafının bir kare alanı bir ayrışma olarak görsel olarak anlaşılabilir hangi iki küçük kareler alanına ve ek olarak, iki tarafın da dikdörtgen ve : $(a+b)$ $a$ $b$ $a$ $b$

Daha katılımlı cevap:

Matematiksel olarak daha ilgili bir cevap istiyorsanız, kovaryans bilinear bir formdur, yani hem birinci hem de ikinci argümanlarında doğrusal olduğu anlamına gelir:

\begin{aligned} V bir r (bir + B) & = C Ö v (bir + B, bir + B) \\ = C Ö v (bir, bir + B) + C Ö v (B, bir + B) \\ = C Ö v (bir, bir) + C Ö v (bir, B) + C Ö v (B, bir) + C Ö v (B, B) \\ = V bir r (bir) + 2 C Ö v (bir, B) + V bir r (B) \end{aligned}

$\begin{aligned} Var(A+B) &= Cov(A+B, A+B) \\ &= Cov(A, A+B) + Cov(B, A+B) \\ &= Cov(A,A) + Cov(A,B) + Cov(B,A) + Cov(B,B) \\ &= Var(A) + 2 Cov(A,B) + Var(B) \end{aligned}$

Son satırda, kovaryansın simetrik olduğu gerçeğini kullandım:

C Ö v (bir, B) = C Ö v (B, bir)

$Cov(A,B) = Cov(B,A)$

Sonuç olarak:

Bu iki çünkü hem hem de yı hesaba . $cov(A,B)$ $cov(B,A)$

— byouness
kaynak

5

Rastgele değişkenler kümesi bir vektör uzayıdır ve Öklid uzayının birçok özelliği bunlara analoglaştırılabilir. Standart sapma bir uzunluk gibi davranır ve uzunluk gibi varyans karesi alınır. Bağımsızlık dikey olmakla, mükemmel korelasyon ise skaler çarpımla karşılık gelir. Böylece, bağımsız değişkenlerin varyansı Pisagor Teoremini takip eder: .
$var(A+B) = var(A)+var(B)$

Mükemmel bir şekilde korelasyonları varsa,
$std(A+B) = std(A)+std(B)$

Bunun ile eşdeğer olduğunu unutmayın.
$var(A+B) = var(A)+var(B)+2\sqrt{var(A)var(B)}$

Bağımsız değilse, kosinüs yasasına benzer bir yasa izlerler:
$var(A+B) = var(A)+var(B)+2cov(A,B)$

Genel davanın tam bağımsızlık ile mükemmel korelasyon arasında olduğuna dikkat edin. Eğer ve bağımsız olarak, daha sonra sıfırdır. Yani genel durum, her zaman terimi ve terimi olması ve ardından teriminde bazı varyasyonların olmasıdır. ; değişkenler ne kadar ilişkili ise, bu üçüncü terim de o kadar büyük olacaktır. Ve bu tam olarak ne olduğunu şudur: var kere arasında ve . $A$ $B$ $cov(A,B)$ $var(A,B)$ $var(A)$ $var(B)$ $2\sqrt{var(A)var(B)}$ $2cov(A,B)$ $2\sqrt{var(A)var(B)}$ $r^2$ $A$ $B$

$var(A+B) = var(A)+var(B)+MeasureOfCorrelation*PerfectCorrelationTerm$

burada ve $MeasureOfCorrelation = r^2$ $PerfectCorrelationTerm=2\sqrt{var(A)var(B)}$

Başka bir ifadeyle, ise $r = correl(A,B)$

$\sigma_{A+B} = \sigma_A^2+\sigma_B^2+ 2(r\sigma_A)(r\sigma_B)$

Bu durumda, benzerdir Cosines Kanununda. $r^2$ $cos$

— Acccumulation
kaynak

2

Ben ne atıf olmadığını eklemek istiyorum tanımı içinde , daha ziyade bir sonucu tanımlarından ve . Bu denklemin neden bulunduğuna cevap, yalnızlık tarafından yapılan hesaplamadır . Sorunuz gerçekten bunun mantıklı olmasının nedeni olabilir; gayri: $Var(A+B)$ $Var$ $Cov$

ne kadar "değişeceği" dört faktöre bağlıdır: $A+B$

kendi başına ne kadar değişeceği. $A$
kendi başına ne kadar değişeceği. $B$
hareket ettikçe (veya değiştikçe) ne kadar değişecektir . $A$ $B$
hareket ettikçe ne kadar değişecektir . $B$ $A$

Bu da bizi çünkü simetrik bir operatördür.

V bir r (bir + B) = V bir r (bir) + V bir r (B) + C Ö v (bir, B) + C Ö v (B, bir)

$Var(A+B)=Var(A)+Var(B)+Cov(A,B)+Cov(B,A)$

= V bir r (bir) + V bir r (B) + 2 C Ö v (bir, B)

$=Var(A)+Var(B)+2Cov(A,B)$

C o v

$Cov$

— Bananin
kaynak