UMVUE /

Let $(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ yoğunluktan gelişigüzel bir örnek olması
$f_{θ} (x) = θ x^{θ - 1} 1_{0 < x < 1}, θ > 0$ $f_{\theta}(x)=\theta x^{\theta-1}\mathbf1_{0<x<1}\quad,\,\theta>0$

UMVUE'yu bulmaya çalışıyorum $\frac{\theta}{1+\theta}$ .

Ortak yoğunluk $(X_1,\ldots,X_n)$ olduğu

\begin{aligned} f_{θ} (x_{1}, \dots, x_{n}) & = θ^{n} {(\prod_{i = 1}^{n} x_{i})}^{θ - 1} 1_{0 < x_{1}, \dots, x_{n} < 1} \\ = \exp [(θ - 1) \sum_{i = 1}^{n} \ln x_{i} + n \ln θ + \ln (1_{0 < x_{1}, \dots, x_{n} < 1})], θ > 0 \end{aligned}

$\begin{align} f_{\theta}(x_1,\cdots,x_n)&=\theta^n\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\theta-1}\mathbf1_{0<x_1,\ldots,x_n<1} \\&=\exp\left[(\theta-1)\sum_{i=1}^n\ln x_i+n\ln\theta+\ln (\mathbf1_{0<x_1,\ldots,x_n<1})\right],\,\theta>0 \end{align}$

Nüfus PDF olarak $f_{\theta}$ bir parametreli üstel familyasına aittir için tam yeterli istatistiği ki bu da $\theta$ olan

T (X_{1}, \dots, X_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} \ln X_{i}

$T(X_1,\ldots,X_n)=\sum_{i=1}^n\ln X_i$

Yana $E(X_1)=\frac{\theta}{1+\theta}$ , ilk düşünce, $E(X_1\mid T)$ Bana UMVUE verecekti $\frac{\theta}{1+\theta}$ Lehmann-Scheffe teoremi ile . Bu koşullu beklentinin doğrudan bulunup bulunmadığından ya da koşullu dağılımın bulunup bulunmadığından emin değilim $X_1\mid \sum_{i=1}^n\ln X_i$ .

Öte yandan, aşağıdaki yaklaşımı ele aldım:

var $X_i\stackrel{\text{i.i.d}}{\sim}\text{Beta}(\theta,1)\implies -2\theta\ln X_i\stackrel{\text{i.i.d}}{\sim}\chi^2_2$ , böylece $-2\theta\, T\sim\chi^2_{2n}$ .

Yani $r$ Sipariş ham anı $-2\theta\,T$ ki-kare pdf kullanılarak hesaplanır sıfır ilgili olduğu

E (- 2 θ T)^{r} = 2^{r} \frac{Γ (n + r)}{Γ (n)}, n + r > 0

$E(-2\theta\,T)^r=2^r\frac{\Gamma\left(n+r\right)}{\Gamma\left(n\right)}\qquad ,\,n+r>0$

Bu yüzden farklı tamsayı seçimler için görünüyor $r$ , ben farklı tamsayı güçlerin yansız tahminler (ve UMVUEs) alacağı $\theta$ . Örneğin, $E\left(-\frac{T}{n}\right)=\frac{1}{\theta}$ ve $E\left(\frac{1-n}{T}\right)=\theta$ doğrudan bana UMVUE'leri verin $\frac{1}{\theta}$ ve $\theta$ .

Şimdi, ne zaman $\theta>1$ Elimizdeki $\frac{\theta}{1+\theta}=\left(1+\frac{1}{\theta}\right)^{-1}=1-\frac{1}{\theta}+\frac{1}{\theta^2}-\frac{1}{\theta^3}+\cdots$ .

Kesinlikle UMVUE en alabilirsiniz $\frac{1}{\theta},\frac{1}{\theta^2},\frac{1}{\theta^3}$ vb. Birleştirerek Yani bu UMVUE ben gerekli UMVUE alabilirsiniz bulunuyor $\frac{\theta}{1+\theta}$ . Bu yöntem geçerli mi veya ilk yönteme geçmem gerekir mi? UMVUE mevcut olduğunda benzersiz olduğundan, her ikisi de bana aynı cevabı vermelidir.

Açık olmak gerekirse,

E (1 + \frac{T}{n} + \frac{T^{2}}{n (n + 1)} + \frac{T^{3}}{n (n + 1) (n + 2)} + \dots) = 1 - \frac{1}{θ} + \frac{1}{θ^{2}} - \frac{1}{θ^{3}} + \dots

$E\left(1+\frac{T}{n}+\frac{T^2}{n(n+1)}+\frac{T^3}{n(n+1)(n+2)}+\cdots\right)=1-\frac{1}{\theta}+\frac{1}{\theta^2}-\frac{1}{\theta^3}+\cdots$

Yani,

E (\sum_{r = 0}^{\infty} \frac{T^{r}}{n (n + 1) . . . (n + r - 1)}) = \frac{θ}{1 + θ}

$E\left(\sum_{r=0}^\infty \frac{T^r}{n(n+1)...(n+r-1)}\right)=\frac{\theta}{1+\theta}$

Gerekli UMVUE'm $\displaystyle\sum_{r=0}^\infty \frac{T^r}{n(n+1)...(n+r-1)}$ $\theta>1$ olduğunda?

İçin $0<\theta<1$ , Elde olur $g(\theta)=\theta(1+\theta+\theta^2+\cdots)$ ve UMVUE farklılık bu yüzden.

İlk yaklaşımdaki koşullu beklentinin doğrudan bulunamadığına ikna olmuş ve $E(X_1\mid \sum\ln X_i=t)=E(X_1\mid \prod X_i=e^t)$ , bulmaya devam etmiştim. koşullu dağılım $X_1\mid \prod X_i$ . Bunun için $(X_1,\prod X_i)$ eklem yoğunluğuna ihtiyacım vardı .

DeÄŸiÅŸkene değişimi kullanılır $(X_1,\cdots,X_n)\to (Y_1,\cdots,Y_n)$ öyle ki $Y_i=\prod_{j=1}^i X_j$ tüm $i=1,2,\cdots,n$ . Ortak destek Bu yol açar $(Y_1,\cdots,Y_n)$ olan $S=\{(y_1,\cdots,y_n): 0<y_1<1, 0<y_j<y_{j-1} \text{ for } j=2,3,\cdots,n\}$ .

Jacobian determinantının $J=\left(\prod_{i=1}^{n-1}y_i\right)^{-1}$ .

I ortak yoğunluğu var yüzden $(Y_1,\cdots,Y_n)$ olarak

f_{Y} (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}) = \frac{θ^{n} y_{n}^{θ - 1}}{\prod_{i = 1}^{n - 1} y_{i}} 1_{S}

$f_Y(y_1,y_2,\cdots,y_n)=\frac{\theta^n\, y_n^{\theta-1}}{\prod_{i=1}^{n-1}y_i}\mathbf1_S$

$(Y_1,Y_n)$ nin ortak yoğunluğu

f_{Y_{1}, Y_{n}} (y_{1}, y_{n}) = \frac{θ^{n} y_{n}^{θ - 1}}{y_{1}} \int_{0}^{y_{n - 2}} \int_{0}^{y_{n - 3}} \dots \int_{0}^{y_{1}} \frac{1}{y_{3} y_{4} . . . y_{n - 1}} \frac{d y_{2}}{y_{2}} \dots d y_{n - 2} d y_{n - 1}

$f_{Y_1,Y_n}(y_1,y_n)=\frac{\theta^n\,y_n^{\theta-1}}{y_1}\int_0^{y_{n-2}}\int_0^{y_{n-3}}\cdots\int_0^{y_1}\frac{1}{y_3y_4...y_{n-1}}\frac{\mathrm{d}y_2}{y_2}\cdots\mathrm{d}y_{n-2}\,\mathrm{d}y_{n-1}$

Burada, eklem yoğunluğunun türetilmesini daha az hantal hale getirecek farklı bir dönüşüm var mı? Burada doğru dönüşümü yapıp yapmadığımdan emin değilim.

Yorum bölümündeki bazı mükemmel önerilere dayanarak , eklem yoğunluğu yerine $(U,U+V)$ eklem yoğunluğunu buldum, burada ve . $(X_1,\prod X_i)$ $U=-\ln X_1$ $V=-\sum_{i=2}^n\ln X_i$

Hemen $U\sim\text{Exp}(\theta)$ ve $V\sim\text{Gamma}(n-1,\theta)$ nin bağımsız olduğu görülür.

Ve gerçekten de, $U+V\sim\text{Gamma}(n,\theta)$ .

İçin $n>1$ , ortak yoğunluğu $(U,V)$ olduğu

f_{U, V} (u, v) = θ e^{- θ u} 1_{u > 0} \frac{θ^{n - 1}}{Γ (n - 1)} e^{- θ v} v^{n - 2} 1_{v > 0}

$f_{U,V}(u,v)=\theta e^{-\theta u}\mathbf1_{u>0}\frac{\theta^{n-1}}{\Gamma(n-1)}e^{-\theta v}v^{n-2}\mathbf1_{v>0}$

Değişkenleri değiştirme, bir ortak yoğunluğu var $(U,U+V)$ olarak

f_{U, U + V} (u, z) = \frac{θ^{n}}{Γ (n - 1)} e^{- θ z} (z - u)^{n - 2} 1_{0 < u < z}

$f_{U,U+V}(u,z)=\frac{\theta^n}{\Gamma(n-1)}e^{-\theta z}(z-u)^{n-2}\mathbf1_{0<u<z}$

Yani, koşullu yoğunluk $U\mid U+V=z$ olduğunu

f_{U ∣ U + V} (u ∣ z) = \frac{(n - 1) (z - u)^{n - 2}}{z^{n - 1}} 1_{0 < u < z}

$f_{U\mid U+V}(u\mid z)=\frac{(n-1)(z-u)^{n-2}}{z^{n-1}}\mathbf1_{0<u<z}$

Şimdi, UMVUE'm tam olarak $E(e^{-U}\mid U+V=z)=E(X_1\mid \sum_{i=1}^n\ln X_i=-z)$ , bu yazının başında da belirttiğim gibi.

Tek yapmanız gereken bulmak

E (e^{- U} ∣ U + V = z) = \frac{n - 1}{z^{n - 1}} \int_{0}^{z} e^{- u} (z - u)^{n - 2} d u

$E(e^{-U}\mid U+V=z)=\frac{n-1}{z^{n-1}}\int_0^z e^{-u}(z-u)^{n-2}\,\mathrm{d}u$

Ancak bu son integralin Mathematica'ya göre eksik gama fonksiyonu açısından kapalı bir formu var ve şimdi ne yapacağımı merak ediyorum.

— StubbornAtom
kaynak

koşullu dağılımını bularak ilk yönteme devam etmelisiniz

, yeterli istatistiği ve meydana, bu başvuruda ile çalışmak için daha kolay olabilir.

X_{[1]} | \prod X_{i}

$X_{[1]} | \prod X_i$

— jbowman

tanıttığınız noktada (erken) ,

değişkenleri açısından çalışmanız gerekir

Onların orantılı olduğunu neredeyse anında gerçekleşiyor

hızla ortak dağılımını dikkate derdini azaltır dağılımları,

T

$T$

Y_{i} = - \log X_{i} .

$Y_i=-\log X_i.$

Γ (1)

$\Gamma(1)$

(U, U + V)

$(U,U+V)$

U \sim Γ (1)

$U\sim\Gamma(1)$

V \sim Γ (n - 1) .

$V\sim\Gamma(n-1).$ Bu, matematiğin kalan iki sayfasını kısaltacak ve size hızlı bir çözüm yolu sağlayacaktır.

— whuber

@whuber Net olmak gerekirse, önce

yoğunluğunu

ve bundan sonra

? Ben

'nin

oranına sahip üstel değişkenler olduğunu fark

(ki aynı zamanda söylediğiniz gibi bir Gamma değişkeni), ama bununla çalışmayı düşünmemiştim.

(- \ln X_{1}, - \ln X_{1} - \sum_{i = 2}^{n} \ln X_{i})

$(-\ln X_1,-\ln X_1-\sum_{i=2}^n\ln X_i)$

(X_{1}, \prod X_{i})

$(X_1,\prod X_i)$

- \ln X_{i}

$-\ln X_i$

θ

$\theta$

— İnatçıAtom

E (X_{1} ∣ . . .)

$E(X_1\mid ...)$

E (\ln X_{1} ∣ . . .)

$E(\ln X_1\mid ...)$

@whuber Lütfen düzenlememe bir göz atın. Neredeyse yaptım ama bu integrale ne yapacağımdan emin değilim. Hesaplamalarımın doğru olduğundan oldukça eminim.

— StubbornAtom

Yanıtlar:

Orijinal yazımdaki her iki yaklaşımın da (ilk denemem ve yorum bölümündeki önerilere dayanan başka bir yaklaşım) aynı cevabı verdiği ortaya çıkıyor. Soruya tam bir cevap için her iki yöntemi de burada anlatacağım.

$\text{Gamma}(n,\theta)$ $f(y)=\frac{\theta^n}{\Gamma(n)}e^{-\theta y}y^{n-1}\mathbf1_{y>0}$ $\theta,n>0$ $\text{Exp}(\theta)$ $1/\theta$ $\theta>0$ $\text{Exp}(\theta)\equiv\text{Gamma}(1,\theta)$

$T=\sum_{i=1}^n\ln X_i$ $\theta$ $\mathbb E(X_1)=\frac{\theta}{1+\theta}$ $\mathbb E(X_1\mid T)$ $\frac{\theta}{1+\theta}$

$X_i\stackrel{\text{i.i.d}}{\sim}\text{Beta}(\theta,1)\implies-\ln X_i\stackrel{\text{i.i.d}}{\sim}\text{Exp}(\theta)\implies-T\sim\text{Gamma}(n,\theta)$

Yöntem I:

$U=-\ln X_1$ $V=-\sum_{i=2}^n\ln X_i$ $U$ $V$ $U\sim\text{Exp}(\theta)$ $V\sim\text{Gamma}(n-1,\theta)$ $U+V\sim\text{Gamma}(n,\theta)$

$\mathbb E(X_1\mid \sum_{i=1}^n\ln X_i=t)=\mathbb E(e^{-U}\mid U+V=-t)$

$U\mid U+V$

$n>1$ $\theta>0$ $(U,V)$

\begin{aligned} f_{U, V} (u, v) & = θ e^{- θ u} 1_{u > 0} \frac{θ^{n - 1}}{Γ (n - 1)} e^{- θ v} v^{n - 2} 1_{v > 0} \\ = \frac{θ^{n}}{Γ (n - 1)} e^{- θ (u + v)} v^{n - 2} 1_{u, v > 0} \end{aligned}

$\begin{align}f_{U,V}(u,v)&=\theta e^{-\theta u}\mathbf1_{u>0}\frac{\theta^{n-1}}{\Gamma(n-1)}e^{-\theta v}v^{n-2}\mathbf1_{v>0}\\&=\frac{\theta^n}{\Gamma(n-1)}e^{-\theta(u+v)}v^{n-2}\mathbf1_{u,v>0}\end{align}$

$(U,U+V)$

f_{U, U + V} (u, z) = \frac{θ^{n}}{Γ (n - 1)} e^{- θ z} (z - u)^{n - 2} 1_{0 < u < z}

$f_{U,U+V}(u,z)=\frac{\theta^n}{\Gamma(n-1)}e^{-\theta z}(z-u)^{n-2}\mathbf1_{0<u<z}$

$f_{U+V}(\cdot)$ $U+V$ $U\mid U+V=z$

\begin{aligned} f_{U ∣ U + V} (u ∣ z) & = \frac{f_{U, U + V} (u, z)}{f_{U + V} (z)} \\ = \frac{(n - 1) (z - u)^{n - 2}}{z^{n - 1}} 1_{0 < u < z} \end{aligned}

$\begin{align}f_{U\mid U+V}(u\mid z)&=\frac{f_{U,U+V}(u,z)}{f_{U+V}(z)}\\&=\frac{(n-1)(z-u)^{n-2}}{z^{n-1}}\mathbf1_{0<u<z}\end{align}$

$\displaystyle\mathbb E(e^{-U}\mid U+V=z)=\frac{n-1}{z^{n-1}}\int_0^z e^{-u}(z-u)^{n-2}\,\mathrm{d}u$

Yani, UMVUE $\frac{\theta}{1+\theta}$ $\displaystyle\mathbb E(X_1\mid T)=\frac{n-1}{(-T)^{n-1}}\int_0^{-T} e^{-u}(-T-u)^{n-2}\,\mathrm{d}u\tag{1}$

Yöntem II:

$T$ $\theta$ $\frac{\theta}{1+\theta}$ $T$ $\frac{\theta}{1+\theta}$ $-T$

E (- T)^{r} = \int_{0}^{\infty} y^{r} θ^{n} \frac{e^{- θ y} y^{n - 1}}{Γ (n)} d y = \frac{Γ (n + r)}{θ^{r} Γ (n)}, n + r > 0

$\mathbb E(-T)^r=\int_0^\infty y^r\theta^n\frac{e^{-\theta y}y^{n-1}}{\Gamma(n)}\,\mathrm{d}y=\frac{\Gamma(n+r)}{\theta^r\,\Gamma(n)},\qquad n+r>0$

$1/\theta^r$ $r\ge1$

$\theta>1$ $\displaystyle\frac{\theta}{1+\theta}=\left(1+\frac{1}{\theta}\right)^{-1}=1-\frac{1}{\theta}+\frac{1}{\theta^2}-\frac{1}{\theta^3}+\cdots$

$1/\theta^r$

E (1 + \frac{T}{n} + \frac{T^{2}}{n (n + 1)} + \frac{T^{3}}{n (n + 1) (n + 2)} + \dots) = 1 - \frac{1}{θ} + \frac{1}{θ^{2}} - \frac{1}{θ^{3}} + \dots

$\mathbb E\left(1+\frac{T}{n}+\frac{T^2}{n(n+1)}+\frac{T^3}{n(n+1)(n+2)}+\cdots\right)=1-\frac{1}{\theta}+\frac{1}{\theta^2}-\frac{1}{\theta^3}+\cdots$

Yani, E ( ∞ ∑ r = 0 T

E (\sum_{r = 0}^{\infty} \frac{T^{r}}{n (n + 1) . . . (n + r - 1)}) = \frac{θ}{1 + θ}

$\mathbb E\left(\sum_{r=0}^\infty \frac{T^r}{n(n+1)...(n+r-1)}\right)=\frac{\theta}{1+\theta}$

$\theta>1$ $\frac{\theta}{1+\theta}$ $g(T)=\displaystyle\sum_{r=0}^\infty \frac{T^r}{n(n+1)...(n+r-1)}\tag{2}$

$0<\theta<1$

$(1)$ $(2)$ $n(n+1)(n+2)...(n+r-1)$ $n(n+1)(n+2)...(n+r-1)=\frac{\Gamma(n+r)}{\Gamma(n)}$ $(1)$ $(2)$

$(1)$ $(2)$

— StubbornAtom
kaynak

(1)

$(1)$

(2)

$(2)$

e^{- u}

$e^{-u}$

(2)

$(2)$

Bence tamamlanmamış gama fonksiyonu ile ilgili daha kompakt bir cevaba ulaşabiliriz. İlk yöntemi kullanarak ifadeyi buldum

E [X_{1} | X_{1} X_{2} \dots X_{n} = e^{T}] = (n - 1) \int_{0}^{1} z^{r} {(1 - r)}^{n - z} d r,

$E \left[ X_1 | X_1X_2 \cdots X_n=e^T \right]=\left( n - 1 \right) \int_0^1 z^r \left( 1 - r \right)^{n-z}dr,$

z = e^{T} .

$z=e^T.$

E [X_{1} | X_{1} X_{2} \dots X_{n} = e^{T}] = \frac{e^{T} (n - 1)}{T^{n - 1}} [(n - 2)! - Γ (n - 1, T)]

$E \left[ X_1 | X_1X_2 \cdots X_n=e^T \right] = \frac{e^T \left( n-1 \right)}{T^{n-1} } \left[ \left( n-2 \right) !-\Gamma \left(n-1,T \right) \right]$

$n$

Γ (n - 1, T) = \frac{Γ (n - 1)}{e^{T}} \sum_{j = 0}^{n - 2} \frac{T^{j}}{j!}

$\Gamma \left(n-1,T \right)=\frac{\Gamma \left(n-1 \right)}{e^T} \sum_{j=0}^{n-2} \frac{T^j}{j!}$

Beklentiyi yeniden yazmak ve basitleştirmek,

E [X_{1} | X_{1} X_{2} \dots X_{n} = e^{T}] = \frac{Γ (n)}{T^{n - 1}} [e^{T} - \sum_{j = 0}^{n - 2} \frac{T^{j}}{j!}]

$E \left[ X_1 | X_1X_2 \cdots X_n=e^T \right] = \frac{\Gamma \left( n \right)}{T^{n-1}} \left[ e^T-\sum_{j=0}^{n-2} \frac{T^j}{j!} \right]$

$(1)$ $(2)$ $n=2$ $n=3$ $(1)$

— soakley
kaynak

E [X_{1} ∣ x_{1} x_{2} \dots x_{n} = e^{T}],

$\operatorname E\left[ X_1\mid x_1x_2\cdots x_n=e^T \right],$

E [X_{1} ∣ X_{1} X_{2} \dots X_{n} = e^{T}] .

$\operatorname E\left[ X_1\mid X_1X_2\cdots X_n=e^T \right]. \qquad$

— Michael Hardy