Halmos-vahşi teoremi söyleyen bir hakim istatistiksel modeli bir istatistik , tüm ( için (ancak eğer) Radon Nikodym türevinin ' ölçülebilir bir sürümü varsa yeterlidir, burada bir ayrıcalıklı ölçüsü öyle ki için ve .$(\Omega, \mathscr A, \mathscr P)$$T: (\Omega, \mathscr A, \mathscr P)\to(\Omega', \mathscr A')$$\{P \in \mathscr{P} \}$$T$$\frac{dP}{dP*}$$dP*$$P*=\sum_{i=1}^\infty P_i c_i$$c_i >0, \sum _{i=1}^\infty c_i =1$$P_i \in \mathscr P$

Teoremin neden doğru olduğunu sezgisel bir şekilde kavramaya çalıştım ama başaramadım, bu yüzden sorum teoremi anlamanın sezgisel bir yolu olup olmadığı.

Teknik Lemma

Bunun ne kadar sezgisel olduğundan emin değilim, ancak Halmos-Savage Teoremi ifadenizin altında yatan temel teknik sonuç şudur:

Lemma. Let bir olmak üzerinde -finite ölçer . üzerinde, her , için bir önlem koleksiyonu olduğunu varsayalım . Sonra negatif olmayan bir dizi ve , öğelerinden oluşan bir dizi var ve her .$\mu$$\sigma$$(S, \mathcal{A})$$\aleph$$(S, \mathcal{A})$$\nu \in \aleph$$\nu \ll \mu$$\{c_i\}_{i=1}^\infty$$\aleph$$\{\nu_i\}_{i=1}^\infty$$\sum_{i=1}^\infty c_i = 1$$\nu \ll \sum_{i=1}^\infty c_i \nu_i$$\nu \in \aleph$

Bu, Schervish'in İstatistik Teorisinde (1995) Teorem A.78'den kelimesi kelimesine alınmıştır . Burada Lehmann'ın Test İstatistiksel Hipotezlerine (1986) ( üçüncü baskıya bağlantı ) atfeder , burada sonuç Halmos ve Savage'a atfedilir (bakınız Lemma 7). Diğer bir iyi referans, ilgili sonuçların Lemma 2.1 ve Teorem 2.2 olduğu Shao'nun Matematik İstatistikleridir (ikinci baskı, 2003) .

Yukarıdaki lemma, bir sonlu önlemin egemen olduğu bir önlemler ailesiyle başlarsanız , aslında hakim önlemi ailenin içinden ölçülebilir bir dışbükey ölçüm kombinasyonu ile değiştirebileceğinizi belirtir. Schervish, Teorem A.78'i belirtmeden önce yazıyor,$\sigma$

"İstatistiksel uygulamalarda, genellikle her biri tek bir sonlu ölçüme göre kesinlikle sürekli olan bir sınıflar sınıfımız olacaktır. Tek hakim ölçünün orijinal sınıfta olması veya Aşağıdaki teorem bu sorunu ele almaktadır. "$\sigma$

Somut Bir Örnek

Bilinmeyen için aralığında eşit olarak dağıtıldığına inandığımız miktarının bir ölçümünü aldığımızı varsayalım . Bu istatistiksel problemde, formunun tüm aralıklarında tekdüze dağılımlardan oluşan üzerindeki Borel olasılık ölçümlerinin kümesini örtük olarak düşünüyoruz . Diğer bir deyişle, eğer O anlamına gelir Lebesgue ölçüm ve için , O anlamına gelir , yani dağıtım ( $X$$[0, \theta]$$\theta > 0$$\mathcal{P}$$\mathbb{R}$$[0, \theta]$$\lambda$$\theta > 0$$P_\theta$$\operatorname{Uniform}([0, \theta])$

$$P_\theta(A) = \frac{1}{\theta} \lambda(A \cap [0, \theta]) = \int_A \frac{1}{\theta} \mathbf{1}_{[0, \theta]}(x) \, dx$$ her Borel ) için ), sadece sahibiz Bu, ölçümümüz için aday dağılım kümesidir .$A \subseteq \mathbb{R}$ $$\mathcal{P} = \{P_\theta : \theta > 0\}.$$ $X$

ailesine Lebesgue ölçüsü ( -finite) açıkça hakimdir , bu nedenle yukarıdaki lemma ( ) bir dizinin varlığını garanti eder için toplanmasıyla negatif olmayan sayılar ve bir sekans üniform dağılımlarının şekilde Her için . Bu örnekte, bu dizileri açıkça oluşturabiliriz!$\mathcal{P}$$\lambda$$\sigma$$\aleph = \mathcal{P}$$\{c_i\}_{i=1}^\infty$$1$$\{Q_i\}_{i=1}^\infty$$\mathcal{P}$

$$P_\theta \ll \sum_{i=1}^\infty c_i Q_i$$ $\theta > 0$

İlk olarak, pozitif rasyonel sayıların bir numaralandırması olsun ( bu açıkça yapılabilir ) ve her için . Daha sonra, izin , bu nedenle bu . Bu ve kombinasyonunun çalıştığını iddia ediyorum .$(\theta_i)_{i=1}^\infty$ Q i = P θ i i c i = 2 - i ∑ ∞ i = 1 c i = 1 { c i } ∞ i = 1 { Q i } ∞ i = 1$Q_i = P_{\theta_i}$$i$$c_i = 2^{-i}$$\sum_{i=1}^\infty c_i = 1$$\{c_i\}_{i=1}^\infty$$\{Q_i\}_{i=1}^\infty$

Bu düzeltme için, bkz ve izin bir Borel alt kümesi , öyle ki . olduğunu göstermemiz gerekiyor . Yana ve her bir toplam kısmı negatif olmayan, bu aşağıda sunulmuştur her . Ayrıca, her pozitif olduğu için, her için olduğunu takip eder . Yani, tüm için Her bir$\theta > 0$$A$$\mathbb{R}$$\sum_{i=1}^\infty c_i Q_i(A) = 0$$P_\theta(A) = 0$$\sum_{i=1}^\infty c_i Q_i(A) = 0$$c_i Q_i(A) = 0$$i$$c_i$$Q_i(A) = 0$$i$$i$

$$Q_i(A) = P_{\theta_i}(A) = \frac{1}{\theta_i} \lambda(A \cap [0, \theta_i]) = 0.$$ $\theta_i$pozitifse, her bir için .$\lambda(A \cap [0, \theta_i]) = 0$$i$

Şimdi içinde bir sonuç seçmek ait yakınsak için yukarıdan (bu yapılabilir çünkü olan yoğun olarak ). Daha sonra yı , bu nedenle ölçüm sürekliliği ile ve böylece . Bu iddiayı kanıtlıyor.$\{\theta_{i_k}\}_{k=1}^\infty$$\{\theta_i\}_{i=1}^\infty$$\theta$$\mathbb{Q}$$\mathbb{R}$$A \cap [0, \theta_{\theta_{i_k}}] \downarrow A \cap [0, \theta]$$k \to \infty$

$$\lambda(A \cap [0, \theta]) = \lim_{k \to \infty} \lambda(A \cap [0, \theta_{i_k}]) = 0,$$ $P_\theta(A) = 0$

Böylece, bu örnekte, hâlâ tüm aileye hâkim olan hakim ailemizden olasılık ölçülerinin sayılabilir bir dışbükey kombinasyonu oluşturabildik. Yukarıdaki Lemma , bunun herhangi bir hakim aile için yapılabileceğini garanti eder (en azından hakim önlem -finite olduğu sürece ).$\sigma$

Halmos-Savage Teoremi

Şimdi Halmos-Savage Teoremine (kişisel tercih nedeniyle sorudan biraz farklı gösterim kullanacağım). Halmos-Savage Teoremi göz önüne alındığında, Fisher-Neyman çarpanlara ayırma teoremi, Doob-Dynkin lemmasının sadece bir uygulaması ve Radon-Nikodym türevleri için zincir kuralıdır!

Halmos-Savage Teoremi. Let , yani bir hakim istatistiksel modeli (olmak olasılık önlemlerin bir dizi ve orada -finite ölçü üzerinde , öyle ki tüm ). Let olmak ölçülebilir fonksiyonu, standart bir Borel Uzay. Sonra aşağıdakiler eşdeğerdir:$(\mathcal{X}, \mathcal{B}, \mathcal{P})$$\mathcal{P}$$\mathcal{B}$$\sigma$$\mu$$\mathcal{B}$$P \ll \mu$$P \in \mathcal{P}$$T : (\mathcal{X}, \mathcal{B}) \to (\mathcal{T}, \mathcal{C})$$(T, \mathcal{C})$

1. $T$ için yeterlidir olasılık çekirdek olduğu anlamına gelir ( bu şekilde bir versiyonu tüm ve ) için.$\mathcal{P}$$r : \mathcal{B} \times \mathcal{T} \to [0, 1]$$r(B, T)$$P(B \mid T)$$B \in \mathcal{B}$$P \in \mathcal{P}$
2. ve gibi bir dizi negatif olmayan numaralar dizisi var de olasılık ölçüsü , böylece tüm için , burada ve her biri için bir vardır arasında -measurable versiyonu .$\{c_i\}_{i=1}^\infty$$\sum_{i=1}^\infty c_i = 1$$\{P_i\}_{i=1}^\infty$$\mathcal{P}$$P \ll P^*$$P \in \mathcal{P}$$P^* = \sum_{i=1}^\infty c_i P_i$$P \in \mathcal{P}$$T$$dP/dP^*$

Kanıt. Yukarıdaki lemması ile, hemen yerini alabilir tarafından bir sekans için negatif olmayan sayılar öyle ki ve de bir olasılık ölçüsü .$\mu$$P^* = \sum_{i=1}^\infty c_i P_i$$\{c_i\}_{i=1}^\infty$$\sum_{i=1}^\infty c_i = 1$$\{P_i\}_{i=1}^\infty$$\mathcal{P}$

(1. 2. anlamına gelir) varsayalım . O zaman tüm için ölçülebilir sürümleri olduğunu göstermeliyiz . Izin vermek teorem ifadesinde olasılık çekirdeği olmak. Her ve için Böylece , tüm için nin bir sürümüdür .$T$$T$$dP/dP^*$$P \in \mathcal{P}$$r$$A \in \sigma(T)$$B \in \mathcal{B}$

$$\begin{aligned} P^*(A \cap B) &= \sum_{i=1}^\infty c_i P_i(A \cap B) \\ &= \sum_{i=1}^\infty c_i \int_A P_i(B \mid T) \, dP_i \\ &= \sum_{i=1}^\infty c_i \int_A r(B, T) \, dP_i \\ &= \int_A r(B, T) \, dP^*. \end{aligned}$$ $r(B, T)$$P^*(B \mid T)$$B \in \mathcal{B}$

Her biri için , izin bir versiyonunu ifade Radon Nikodym türevi ölçülebilir alanı (bu nedenle özellikle olan ölçülebilir). Sonra tüm ve için Yani aslında bir$P \in \mathcal{P}$$f_P$$dP/dP^*$$(\mathcal{X}, \sigma(T))$$f_P$$T$$B \in \mathcal{B}$$P \in \mathcal{P}$

$$\begin{aligned} P(B) &= \int_{\mathcal{X}} P(B \mid T) \, dP \\ &= \int_{\mathcal{X}} r(B, T) \, dP \\ &= \int_{\mathcal{X}} r(B, T) f_P \, dP^* \\ &= \int_{\mathcal{X}} P^*(B \mid T) f_P \, dP^* \\ &= \int_{\mathcal{X}} E_{P^*}[\mathbf{1}_B f_P \mid T] \, dP^* \\ &= \int_B f_P \, dP^*. \end{aligned}$$ $f_P$$T$dP/dP∗(X,B)- üzerindeki ' ölçülebilir versiyonu . Bu, teoremin ilk koşulunun ikincisini ima ettiğini kanıtlar.$dP/dP^*$$(\mathcal{X}, \mathcal{B})$

Biri seçebilir varsayalım (2. 1. belirtir) -measurable versiyonu arasında her biri için . Her bir , belirli bir sürümünü (örneğin, nin , ) ' nin bir versiyonudur . Yana standart bir Borel alandır, biz tercih edebilir bir olasılık çekirdek kılan bir şekilde (bakınız, örneğin, Schervish en Teorem B.32 İstatistik Teorisi (1995)). O gösterir$T$$f_P$$dP/dP^*$$P \in \mathcal{P}$$B \in \mathcal{B}$$r(B, t)$$P^*(B \mid T = t)$$r(B, t)$$r(B, T)$$P^*(B \mid T)$$(T, \mathcal{C})$$r$r ( B , T )$r(B, T)$herhangi bir ve herhangi bir için sürümüdür . Böylece, ve verilsin. Sonra tüm için Bu, nin herhangi bir ve herhangi bir için nin bir sürümü olduğunu ve kanıtın yapılır.$P(B \mid T)$$P \in \mathcal{P}$$B \in \mathcal{B}$$A \in \sigma(T)$$B \in \mathcal{B}$$P \in \mathcal{P}$

$$\begin{aligned} P(A \cap B) &= \int_A \mathbf{1}_B f_P \, dP^* \\ &= \int_A E_{P^*}[\mathbf{1}_B f_P \mid T] \, dP^* \\ &= \int_A P^*(B \mid T) f_P \, dP^* \\ &= \int_A r(B, T) f_P \, dP^* \\ &= \int_A r(B, T) \, dP. \end{aligned}$$ $r(B, T)$$P(B \mid T)$$P \in \mathcal{P}$$B \in \mathcal{B}$

Özet. Burada sunulduğu haliyle Halmos-Savage teoreminin altında yatan önemli teknik sonuç, hâkim bir olasılık ölçümleri ailesinin aslında o aileden gelen sayılabilir dışbükey bir olasılık birleşimi tarafından domine edilmesi gerçeğidir. Bu sonuç göz önüne alındığında, Halmos-Savage teoreminin geri kalanı çoğunlukla Radon-Nikodym türevlerinin temel özelliklerine ve koşullu beklentilere sahip manipülasyonlardır.