Moment üreten fonksiyonların olasılık dağılımlarını benzersiz olarak belirlediğinin kanıtı

Wackerly ark metin ve bildiren teoremi "olsun ve sırası ile, rastgele değişkenlerin, X ve Y momenti üreten fonksiyonlarını belirtir. Her iki moment üreten fonksiyonlar bulunur ve varsa tüm t değerleri için, X ve Y aynı olasılık dağılımına sahiptir. " metnin kapsamı dışında olduğunu söyleyen bir kanıt olmadan. Scheaffer Young'ın da aynı teoremi kanıt olmadan var. Casella'nın bir kopyası yok, ancak Google kitap araması teoremi bulamadı. $m_x(t)$ $m_y(t)$ $m_x(t) = m_y(t)$

Gut'un metninde bir kanıt taslağı vardır , ancak "iyi bilinen sonuçlara" atıfta bulunmaz ve ayrıca kanıtı da sağlanmayan başka bir sonucun bilinmesini gerektirir .

Kim bunu aslen kanıtladı biliyor ve kanıt online herhangi bir yerde kullanılabilir mi? Aksi takdirde bu kanıtın ayrıntılarını nasıl doldurabiliriz?

Hayır diye sorduğumda bu bir ev ödevi sorusu değil, ama bunun muhtemelen birinin ev ödevi olduğunu hayal edebiliyorum. Wackerly metnine dayanan bir kurs dizisi aldım ve bir süredir bu kanıtı merak ettim. Bu yüzden sormanın zamanının geldiğini düşündüm.

— Chris Simokat
kaynak

İlgili : (i) mgfs'nin ters çevrilmesi ve (ii) Moment üreten fonksiyon ve varyansın varlığı

— kardinal

Billingsley'in Olasılık ve Ölçü metnine erişiminiz varsa , bu, "Anların yöntemi" başlıklı bir bölümde tartışılmaktadır. (Şu anda elimde olmadığı için belirsizliğe özür dilerim.) Doğru hatırlıyorsam, kullandığı kanıt, tamamen tatmin edici olmayabilecek karakteristik işlevler için ilgili sonuçlara dayanır. Bu kesinlikle (iyi) Wackerly metninin beklenen arka planının kapsamı dışındadır.

— kardinal

Vay be @cardinal bu sorulara verdiğiniz cevapların üstün ve çok yardımcı oldu teşekkür ederim ve metin tavsiye için teşekkürler bir kopyasını almak gerekir.

— Chris Simokat

@cardinal Notunuzu görmeden Billigsley'e eriştim ve önceki cevabımın kanıtı için bir açıklama ekledim.

— Michael R.Chickick

Tarihle ilgili olarak ("bunu ilk olarak kim kanıtladı?"), Laplace 1785'te bu tür bir iş için karakteristik işlevi kullanıyor ve 1810'a kadar genel inversiyon formülünü (ispatın anahtarıdır) geliştirmiş gibi görünüyor. Bkz. Anders Hald ,

— 1750-1930

Yanıtlar:

Bunun genel kanıtı Feller'de (Olasılık Teorisine ve Uygulamalarına Giriş, Cilt 2) bulunabilir . Laplace dönüşüm teorisini içeren bir inversiyon problemidir. Mgf'nin Laplace dönüşümüne çarpıcı bir benzerlik gösterdiğini fark ettiniz mi? Laplace Dönüşümünün kullanımı için Widder'ı (Calcus Vol I) görebilirsiniz .

Özel bir durumun kanıtı:

X ve Y'nin her ikisi de yalnızca { } içindeki olası değerleri alan rastgele değişkenler olduğunu varsayalım . Ayrıca, X ve Y'nin tüm t için aynı mgf'ye sahip olduğunu varsayalım: Basitlik için, izin vereceğiz ve için de . $0, 1, 2,\dots, n$

Σ_{x = 0}^{n} e^{t x} f_{X} (x) = Σ_{y = 0}^{n} e^{t y} f_{Y} (y)

$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)=\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)$

s = e^{t}

$s = e^t$

c_{i} = f_{X} (i) - f_{Y} (i)

$c_i = f_X(i) − f_Y (i)$

i = 0, 1, \dots, n

$i = 0, 1,\dots,n$

Şimdi Yukarıdakiler sadece . Tüm s değerleri için sıfır olabilmesinin tek yolu, eğer , için .

Σ_{x = 0}^{n} e^{t x} f_{X} (x) - Σ_{y = 0}^{n} e^{t y} f_{Y} (y) = 0

$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)-\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)=0$

\Rightarrow Σ_{x = 0}^{n} s^{x} f_{X} (x) - Σ_{y = 0}^{n} s^{y} f_{Y} (y) = 0

$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{y=0}^ns^yf_Y(y)=0$

\Rightarrow Σ_{x = 0}^{n} s^{x} f_{X} (x) - Σ_{x = 0}^{n} s^{x} f_{Y} (x) = 0

$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{x=0}^ns^xf_Y(x)=0$

\Rightarrow Σ_{x = 0}^{n} s^{x} [f_{X} (x) - f_{Y} (x)] = 0

$\Rightarrow\sum_{x=0}^ns^x[f_X(x)-f_Y(x)]=0$

\Rightarrow Σ_{x = 0}^{n} s^{x} c_{x} = 0 \forall s > 0

$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xc_x=0~∀s>0$

c_{0}, c_{1}, \dots, c_{n}

$c_0, c_1,\dots,c_n$

c_{0} = c_{1} = \dots = c_{n} = 0

$c_0=c_1=\cdots= c_n=0$

0 = c_{i} = f_{X} (i) - f_{Y} (i)

$0=c_i=f_X(i)−f_Y(i)$

i = 0, 1, \dots, n

$i=0, 1,\dots,n$

Bu nedenle, için . $f_X(i)=f_Y(i)$ $i=0,1,\dots,n$

Başka bir deyişle, ve için yoğunluk fonksiyonları tamamen aynıdır. Başka bir deyişle, ve aynı dağılımlara sahiptir. $X$ $Y$ $X$ $Y$

— Argha
kaynak

Esas olarak Moment Üretme Fonksiyonu Dağılımı Eşsiz Olarak Belirliyor

— Argha

Tartıştığınız teorem olasılık / ölçü teorisinde temel bir sonuçtur. Kanıtlar büyük olasılıkla olasılık veya istatistik teorisi kitaplarında bulunur. Hoel Port ve Stone'da verilen karakteristik fonksiyonlar için benzer sonucu buldum s 205-208

Tucker sf 51-53

ve Chung ss 151-155 Bu Üçüncü Basım. İkinci baskıya sahibim ve 1974'te yayınlanan ikinci baskıdaki sayfa numaralarına atıfta bulunuyorum.

Ben mgf için kanıt bulmak daha zor bulundu ama Billingley "Olasılık ve Ölçü" kitabında bulabilirsiniz s. 342-345. 342 Sayfasında Teorem 30.1 moment sorununu yanıtlayan teoremi sağlar. 345 Sayfasında Billingsley, bir olasılık ölçeğinin 0'ı çevreleyen bir aralıkta tanımlanan bir moment üretme fonksiyonu M (ler) e sahipse, Teorem 30.1 için hipotezin karşılandığını ve dolayısıyla ölçünün momentleri tarafından belirlendiğini belirtir. Ancak bu momentler M (ler) tarafından belirlenir. Bu nedenle önlem, M (ler) in 0 mahallesinde mevcut olması halinde, moment üreten fonksiyonu ile belirlenir. Bu nedenle, bu mantık, Teorem30.1 için verdiği kanıtla birlikte sonucu kanıtlar. Billingsley de egzersiz için çözüm 26 yorum.

— Michael R. Chernick
kaynak

Chung'da bu nerede? Şunu mu demek istediniz: sayfa 161-165 Buna rağmen , OP tarafından istendiği gibi moment üreten fonksiyonlarla değil, karakteristik fonksiyonlarla ilgilenir .

— kardinal

@cardinal Evet biliyorum. Karakteristik fonksiyonların sonucundan bahsettim çünkü şimdiye kadar bulduğum şey bu. Dediğim gibi Chung sayfa numaraları sahip ikinci baskı dayanmaktadır. Üçüncü baskıda nerede göründüğünü bilmiyorum. Bence mgfs için sonuç verecek bazı kaynaklar olmalı.

— Michael R.Chernick

Kaldırdım, çünkü cevabınızı da takdir ediyorum, bu yüzden zaman ayırdığınız için teşekkür ederim.

— Chris Simokat

Ifade momenti üreten fonksiyonu $X$ tarafından . $M_X(t)=Ee^{tX}$

Teklik Teoremi. Var ise öyle ki Tüm , daha sonra için tüm . $\delta>0$ $M_X(t) = M_Y(t) < \infty$ $t \in (-\delta,\delta)$ $F_X(t) = F_Y(t)$ $t \in \mathbb{R}$

Moment üreten fonksiyonun dağılımı belirlediğini kanıtlamak için en az iki yaklaşım vardır:

O sonluluğunu göstermek için üzerinde anlar ima böylece, çok hızlı artış yok tarafından belirlenir , hangi sırayla tarafından belirlenir . Bu kanıt Billingsley, P. Olasılık ve Tedbir Bölüm 30'da bulunabilir . $M_X$ $(-\delta,\delta)$ $X$ $F_X$ $(EX^k)_{k\in\mathbb{N}}$ $M_X$
Olduğunu göstermek için analitik ve uzatılabilir , bu nedenle bu öylesine, özellikle tüm , ve daha sonra bu gerçeği kullanmak belirler . Bu yaklaşım için bakınız Curtiss, JH Ann. Matematik. İstatistik 13: 430-433 ve referansları. $M_X$ $(-\delta,\delta)\times i\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$ $M_X(z)=Ee^{zX}$ $M_X(it)=\varphi_X(t)$ $t\in\mathbb{R}$ $\varphi_X$ $F_X$

Lisans düzeyinde, hemen hemen her ders kitabı anı üreten işlevle çalışır ve yukarıdaki teoremi kanıtlamadan ifade eder. Bu mantıklı, çünkü kanıt, lisans seviyesinin izin verdiğinden çok daha ileri matematik gerektiriyor.

Öğrencilerin gereken tüm araçlara sahip oldukları noktada, bunun yerine karakteristik işleviyle çalışma olgunluğu da vardır . Hemen hemen her lisansüstü ders kitabı bu yolu izler, karakteristik fonksiyonun dağılımı belirlediğini ve temelde moment üreten fonksiyonları tamamen göz ardı ettiğini kanıtlarlar. $\varphi_X(t)=Ee^{itX}$

— user334639
kaynak

Bugün, karakteristik fonksiyondan çok daha yararlı olduğu için mgfs göz ardı

— edilmemelidir

Aslında! Yine de sayısal yöntemleri vurgulayan, ancak Teklik Teoreminin bir kanıtı verecek kadar derin matematik içeren bir ders kitabı görmedim.

— user334639