"Mekansal otokorelasyon", çeşitli insanlar için çeşitli şeyler anlamına gelir. Bununla birlikte, genel bir kavram, konumlarında gözlenen bir olgunun (a) eş değişkenler, (b) konum ve (c) yakın konumlardaki değerlerine belirli bir şekilde bağlı olabileceğidir . (Teknik tanımların değiştiği yerlerde, dikkate alınan verinin türüne, hangi "kesin yolun" önerildiğine ve "yakın" ın ne anlama geldiğine göre değişir: tüm bunların ilerleyebilmesi için kantitatif hale getirilmesi gerekir.)z
Neler olup bittiğini görmek için, bir bölgenin topografyasını tanımlamak için böyle bir mekansal modelin basit bir örneğini ele alalım. Bir noktasında ölçülen yükseklik olsun olmak . Bir olası bir model olduğunu koordinatları ile ilgili bazı kesin matematiksel bir şekilde bağlıdır ben yazacak, bu iki boyutlu bir durumda. Letting (varsayımsal bağımsız) gözlem ve (her zamanki gibi sıfır beklenti var varsayılır) model arasındaki sapmalar temsil biz yazabilirsiniz y ( Z ) y z ( z 1 , z 2 ) εzy(z)yz(z1,z2)ε
y(z)=β0+β1z1+β2z2+ε(z)
Bir için doğrusal eğilim modeli . Doğrusal eğilim ( ve katsayıları ile gösterilir), close için yakındaki ve değerlerinin yakın olduğu fikrini yakalamanın bir yoludur. için , birbirine yakın olmak eğiliminde olmalıdır. Bunu, ve , arasındaki farkın boyutunun beklenen değerini dikkate alarak hesaplayabiliriz. . Matematiğin çok olduğu ortaya çıktıβ 2 y ( z )β1β2y(z)y(z′)zz′y(z)y(z′)E[|y(z)−y(z′)|]biraz farklı bir fark ölçüsü kullanırsak daha basit: bunun yerine beklenen kareli farkı hesaplıyoruz :
E[(y(z)−y(z′))2]=E[(β0+β1z1+β2z2+ε(z)−(β0+β1z′1+β2z′2+ε(z′)))2]=E[(β1(z1−z′1)+β2(z2−z2)′+ε(z)−ε(z′))2]=E[(β1(z1−z′1)+β2(z2−z2)′)2+2(β1(z1−z′1)+β2(z2−z2)′)(ε(z)−ε(z′))+(ε(z)−ε(z′))2]=(β1(z1−z′1)+β2(z2−z2)′)2+E[(ε(z)−ε(z′))2]
Bu model hiçbir açık uzamsal oto-korelasyon içermez, çünkü içinde ile yakındaki değerlerini doğrudan ilişkilendiren bir terim yoktur .y(z)y(z′)
Alternatif, farklı bir model, lineer eğilimi görmezden gelir ve yalnızca otokorelasyon olduğunu varsayar. Bunu yapmanın bir yolu sapmalarının yapısıdır . Bunu pozlandırabiliriz.ε(z)
y(z)=β0+ε(z)
ve korelasyon beklentimizi açıklamak için, için bir çeşit "kovaryans yapısı" üstleneceğiz . Bu uzaysal anlamlı olması için sağlamak için, kovaryans üstlenecek ve , eşit , sıfır aracı olması nedeniyle, ve gittikçe azalma eğilimindedir . Detaylar önemli olmadığı için, bu kovaryansı . Bu mekansal otokorelasyondur.εε(z)ε(z′)E[ε(z)ε(z′)]εzz′C(z,z′) Aslında, ve arasındaki (olağan Pearson) korelasyon ,y(z)y(z′)
ρ(y(z),y(z′))=C(z,z′)C(z,z)C(z′,z′)−−−−−−−−−−−−√.
Bu gösterimde, ilk model için önceki beklenen kare farkı:y
E[(y(z)−y(z′))2]=(β1(z1−z′1)+β2(z2−z2)′)2+E[(ε(z)−ε(z′))2]=(β1(z1−z′1)+β2(z2−z2)′)2+C1(z,z)+C1(z′,z′)
( varsayımıyla ), çünkü farklı konumlardaki bağımsız olduğu varsayılmıştır. Bunun ilk model için kovaryans işlevi olduğunu belirtmek için yerine yazdım .z≠z′εC1C
kovaryansları bir konumdan diğerine dramatik bir şekilde değişmediğinde (aslında, genellikle sabit olduğu varsayılır), bu denklem, ' de beklenen kare farkının, arasındaki ayrımla çıktığını gösterir. ve . Gerçek artış miktarı, trend katsayıları ve .εyzz′β0β1
En beklenen karesi farklar bakalım 'nin yeni modeli için ise, model 2:y
E[(y(z)−y(z′))2]=E[(β0+ε(z)−(β0+ε(z′)))2]=E[(ε(z)−ε(z′))2]=E[ε(z)2−2ε(z)ε(z′)+ε(z′)2]=C2(z,z)−2C2(z,z′)+C2(z′,z′).
Yine bu doğru bir şekilde hareket eder: biz biçim için olmalıdır azaltmak olarak ve haline daha ayrılmış, beklenen kare fark olarak 'nin gerçekten gider kadar yerle ayrılmasını artan.C2(z,z′)zz′y
İki modeldeki iki ifadenin için karşılaştırılması bize ilk modelde matematiksel olarak ikinci modelde ile özdeş bir rol oynuyor . (Farklı anlamları gömülü orada gizlenen bir katkı sabit var, , ancak bu analizde önemli değildir.) Ergo , modele bağlı olarak, uzaysal ilişki tipik olarak rasgele hatalar üzerine bir eğilim ve öngörülen bir korelasyon yapısının bir kombinasyonu olarak temsil edilir.E[(y(z)−y(z′))2](β1(z1−z′1)+β2(z2−z2)′)2−2C2(z,z′)Ci(z,z)
Şimdi, umarım şu soruya açık bir cevap verdik: Tobler'ın Coğrafya Yasası'nın ("her şey her şeyle ilgilidir, ancak daha yakın şeyler daha fazla ilişkilidir") fikrini farklı şekillerde temsil edebilir. Bazı modellerde, Tobler Kanunu, boylam ve enlem gibi uzamsal koordinatların işlevleri olan trendler (veya "sapma" terimleri) dahil edilerek yeterince temsil edilir. Diğerlerinde, Tobler Yasası, ilave rasgele terimler arasında önemsiz bir kovaryans yapısıyla yakalanır (ε). Uygulamada, modeller her iki yöntemi de içermektedir. Hangisini seçeceğiniz, modelle neyi başarmak istediğinize ve mekansal otokorelasyonun nasıl ortaya çıktığına ilişkin görüşünüze bağlıdır - bunun temel eğilimler tarafından ima edilip edilmediği veya rastgele olarak değerlendirmek istediğiniz varyasyonları yansıttığı. İkisi de her zaman doğru değildir ve herhangi bir problemde, verileri analiz etmek, fenomeni anlamak ve diğer konumlardaki değerlerini tahmin etmek için her iki model türünü kullanmak genellikle mümkündür (enterpolasyon).