Standart sapma sonsuza büyüdüğünde normal dağılım muntazam bir dağılıma yaklaşır mı?

18

Standart sapma sınırsız büyürse normal dağılım belirli bir dağılıma yaklaşır mı? bana öyle geliyor ki pdf tarafından verilen sınırlarla düzgün bir dağılım gibi görünmeye başlıyor . Bu doğru mu? $[-2 \sigma, 2 \sigma]$

normal-distribution convergence

— Ramon Martinez
kaynak

2

Hayır, ancak sorunuzu doğru bir şekilde cevaplamak için yakınsama tanımınızın ne olduğunu bilmemiz gerekir. Resmi tartışmanın yalnızca sağ tarafın değişmediği durumlarda mümkün olduğunu unutmayın. Yani, Unifrom yakınsama kuramıyor [ ] senin yüzünden değişiyor. Ne demek istediğimi görmek için CLT formülasyonuna bakın

- σ, σ

$-\sigma,\sigma$

σ

$\sigma$

— Aksakal

sadece

şeye sararsanız veya keserseniz

o (σ)

$o(\sigma)$ .

— enthdegree

4

Gauss karavanlar bağlı olmadan varyans arttıkça şey yakınsama yok neden diğer cevaplar zaten burada anlatan harika bir iş yapmak ama Gauss'ların böyle bir koleksiyon olduğunu görünüşte düzgün özelliğini işaret etmek istiyorum yapar ben kudretini düşünüyorum İşine birilerinin üniforma olduklarını tahmin etmeleri için yeterli olmak, ancak bunun sonuca varacak kadar güçlü olmadığı ortaya çıkıyor. $\newcommand{\len}{\text{len}}$

rasgele değişkenlerin bir koleksiyonunu düşünün; burada . Let sonlu uzunlukta sabit bir aralık olması ve bazı tanımlayan , yani bir ama sadece tarafından üzerinde kaydırılır . aralığı için değerini uzunluğu olarak tanımlayın ve olduğuna dikkat edin . $\{X_1,X_2,\dots\}$ $X_n \sim \mathcal N(0, n^2)$ $A = [a_1,a_2]$ $c \in \mathbb R$ $B = A +c$ $B$ $A$ $c$ $I = [i_1,i_2]$ $\len (I) = i_2-i_1$ $I$ $\len(A) = \len(B)$

Şimdi aşağıdaki sonucu kanıtlayacağım:

Sonuç : olarak . $\vert P(X_n \in A) - P(x_n\in B)\vert \to 0$ $n \to \infty$

Buna tekdüze benzer diyorum çünkü dağılımının, birbirlerinden ne kadar uzak olursa olsun, eşit olasılıkta eşit uzunlukta iki sabit aralığa sahip olduğunu söylüyor. Bu kesinlikle çok düzgün bir özelliktir, ancak göreceğimiz gibi, tekdüze olanın gerçek dağılımı hakkında hiçbir şey söylemez . $X_n$ $X_n$

Pf: burada yani almak için sınırını (çok kaba) kullanabilirim $X_n = n X_1$ $X_1 \sim \mathcal N(0, 1)$

P (X_{n} \in bir) = P ({bir}_{1} \leq n X_{1} \leq {bir}_{2}) = P (\frac{{bir}_{1}}{n} \leq X_{1} \leq \frac{{bir}_{2}}{n})

$P(X_n \in A) = P(a_1 \leq n X_1 \leq a_2) = P\left(\frac{a_1}{n} \leq X_1 \leq \frac{a_2}n\right)$

= \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{{bir}_{1} / n}^{{bir}_{2} / n} e^{- x^{2} / 2} d x .

$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} e^{-x^2/2}\,\text dx.$

e^{- x^{2} / 2} \leq 1

$e^{-x^2/2} \leq 1$

\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{{bir}_{1} / n}^{{bir}_{2} / n} e^{- x^{2} / 2} d x \leq \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{{bir}_{1} / n}^{{bir}_{2} / n} 1 d x

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} e^{-x^2/2}\,\text dx \leq \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} 1\,\text dx$

= \frac{len (bir)}{n \sqrt{2 π}} .

$= \frac{\text{len}(A)}{n\sqrt{2\pi}}.$

Aynı şeyi almak için de yapabilirim $B$

P (X_{n} \in B) \leq \frac{len (B)}{n \sqrt{2 π}} .

$P(X_n \in B) \leq \frac{\text{len}(B)}{n\sqrt{2\pi}}.$

Bunları bir araya getirdiğimde

| P (X_{n} \in bir) - P (X_{n} \in B) | \leq \frac{\sqrt{2} len (bir)}{n \sqrt{π}} \to 0

$\left\vert P(X_n \in A) - P(X_n \in B)\right\vert \leq \frac{\sqrt 2 \text{len}(A) }{n\sqrt{\pi}} \to 0$ olarak

n \to \infty

$n\to\infty$ (Burada üçgen eşitsizliğini kullanıyorum).

$\square$

Bu , tekdüze bir dağılımda $X_n$ yakınsamasından nasıl farklıdır ? Aynı sonlu uzunluktaki herhangi iki sabit aralığa verilen olasılıkların daha da yakınlaştığını ve sezgisel olarak bu yoğunlukların $A$ ve $B$ perspektiflerinden "düzleştiğini" anlam ifade ediyordum .

Ancak tekdüze bir dağılımda birleşmesi için, herhangi bir aralık için ile orantılı olmak için ye ihtiyacım var ve bu çok farklı bir şey çünkü bunun , önceden sabitlenmiş olan herhangi bir için geçerli olmaması gerekir (ve başka bir yerde belirtildiği gibi, bu sınırsız desteğe sahip bir dağıtım için bile mümkün değildir). $X_n$ $P(X_n \in I)$ $\text{len}(I)$ $I$ $I$

— JLD
kaynak

Doğru, neredeyse yakınsamada bir araya geldiklerini söyleyebilirsiniz, ancak yakınlaştıkları şeyin sınırı uygun olmayan bir dağılımdır. İyi tanımlanmış olacağını yakınlaşma türlerinden biri sana Wasserstein metrik olarak sıfıra yaklaşacaktır gösterebilirim tahmin ediyorum olduğu ?

σ \to \infty

$\sigma \rightarrow \infty$

— Cliff AB

36

Olasılıktaki yaygın bir hata, bir dağılımın tek tip olduğunu düşünmektir, çünkü tüm değerleri sıfıra yakın olduğunda görsel olarak düz görünür. Çünkü ve yine de , yani çevresindeki küçük bir aralığın 1000 kat daha fazla olduğunu görme eğilimindeyiz çevresinde küçük bir aralıktan daha muhtemeldir . $f(x)=0.001 \approx 0.000001=f(y)$ $f(x)/f(y)=0.001/0.000001=1000$ $x$ $y$

üzerinde eşit dağılım olmadığı için, tüm gerçek çizgi üzerinde kesinlikle tekdüze değildir . Ayrıca üzerinde yaklaşık olarak eşit değildir . $(-\infty,\infty)$ $[-2\sigma,2\sigma]$

İkincisini, bildiğiniz 68-95-99.7 kuralından görebilirsiniz. üzerinde yaklaşık olarak eşit olsaydı , iki aralık aynı olduğundan, ve olma olasılığı aynı olmalıdır. uzunluğu. Ancak durum böyle değil: , yine de . $[-2\sigma,2\sigma]$ $[0,\sigma]$ $[\sigma,2\sigma]$ $P([0,\sigma])\approx 0.68/2= 0.34$ $P([\sigma,2\sigma])\approx (0.95-0.68)/2 = 0.135$

Tüm gerçek çizgi üzerinden bakıldığında, bu normal dağılım dizisi herhangi bir olasılık dağılımına yaklaşmaz. Bunu görmenin birkaç yolu var. Bir örnek olarak, standart sapma ile normal CDF olan ve tüm ait cdf değil, herhangi bir hiç rastgele değişkenin. aslında, bu olmayan bir ED. $\sigma$ $F_\sigma(x) = (1/2)(1+\mbox{erf}(x/\sqrt{2}\sigma)$ $\lim_{\sigma\rightarrow\infty} F_\sigma(x) = 1/2$ $x$

Bu yakınsaklığın "kütle kaybı" na kaymasının nedeni sınırdır. Normal dağılımın sınırlayıcı işlevi aslında "kaybetme" olasılığına sahiptir (yani sonsuza kaçmıştır ). Bu, bir dizi rastgele değişkenin başka bir rastgele değişkenle birleşmesi için gerekli koşulları sağlayan önlemlerin sıkılığı kavramı ile ilgilidir .

— Alex R.
kaynak

1

Yanlış "it", "tüm değerleri sıfıra yakın" idi. "Bu yaygın bir hatadır" içindeki "It's" doğruydu.

— Birikim

15

İfadende tarafından verilen sınırları ile muntazam bir dağılım gibi bakarak pdf başlar $[−2σ,2σ]$ ayarlamak eğer doğru değil daha geniş standart sapmayı eşleşecek. $\sigma$

Sıfır merkezli iki normal yoğunluğun bu grafiğini düşünün. Kırmızı eğri standart sapmaya ve mavi eğri standart sapmaya karşılık gelir ve aslında mavi eğrinin hemen hemen düz olması $1$ $10$ $[-2,2]$

ancak içeren mavi eğri için, aslında şekline . Her iki Rescaling -Axis ve katları ile -Axis sonraki arsa verir ve önceki çizimde kırmızı yoğunluk olarak bu sonradan arsa mavi yoğunluğu için tam olarak aynı şekil olsun $\sigma=10$ $[-20,20]$ $x$ $y$ $10$

— Henry
kaynak

2

Sorunuz temelde kusurlu. Standart normal dağılım ölçeklenen olduğu . Diğer Gauss dağılımı ( ) için sınırları arasındaki eğri , standart normal dağılımla aynı şekle sahiptir. Tek fark ölçeklendirme faktörüdür. Bu yüzden Gaussian'ı bölerek yeniden ölçeklendirirseniz , standart normal dağılım elde edersiniz. $\sigma = 1$ $\mu = 0, \sigma = \sigma^*$ $[-2\sigma^*, 2\sigma^*]$ $\sigma^*$

Şimdi bir Gauss dağılımınız varsa ( ) o zaman evet $\mu = 0, \sigma = \sigma^*$ $\sigma^* \rightarrow \infty$ $[-2, 2]$

— maxw
kaynak