Sürekli düzgün dağılımdaki olasılıkların toplamı neden sonsuz değil?

Birörnek dağılımın (sürekli) olasılık yoğunluk fonksiyonu yukarıda gösterilmiştir. Eğrinin altındaki alan 1 - olasılık dağılımındaki tüm olasılıkların toplamı 1 olduğundan mantıklıdır.

Resmi olarak, yukarıdaki olasılık fonksiyonu (f (x)) şu şekilde tanımlanabilir:

1 / (ba) x için [a, b]

ve 0 aksi takdirde

Bir (diyelim, 2) ve b (diyelim, 6) arasında gerçek bir sayı seçmem gerektiğini düşünün. Bu, tekdüze olasılığı = 0.25 yapar. Ancak, bu aralıkta sonsuz sayıda sayı olduğundan, tüm olasılıkların toplamı sonsuza kadar toplamalı mıdır? Neye bakıyorum?

F (x) x sayısının olma olasılığı değil mi?

$f(x)$örneğinizdeki bir olasılık kütlesi yerine olasılık yoğunluğunu açıklar . Genelde, için sürekli dağılımlar olaylar vardır için-biz olasılıkları olsun şeyleri acizlikleri aralıkları böyle eğrinin altındaki alandan gelince değerlerin,$a$ için $a+.1$veya $a$ için $b$(ancak bu tür aralıkların bitişik olmasına gerek yoktur). Sürekli dağılımlar için, herhangi bir tek değerin meydana gelme olasılığı genellikle 0'dır.

Çünkü toplamdaki her terim sonsuz d$x$. Bunun önemi muhtemelen çok basit bir örnekle dikkatlice yürüterek anlaşılabilir.

Aşağıdaki dikdörtgen bölgenin altındaki alanı hesaplamak için Riemann toplamını kullanmayı düşünün (burada odak olmayan Riemann toplamının yaklaşık yönünü kaldırmak için bir dikdörtgen seçildi): ] Alanı 2 alt bölge kullanarak veya 4 alt bölge kullanarak hesaplayabiliriz . 2 alt bölge olması durumunda ($A_i$), alanlar tarafından verilir

$$A_1=A_2=5\times 2 = 10$$ oysa 4 alt bölge ( $B_i$), alanlar tarafından verilir $$B_1=B_2=B_3=B_4=5\times 1 = 5$$ Her iki durumda da toplam alan $$\sum_{i=1}^2 A_i = \sum_{i=1}^4B_i = 20$$ Şimdi, bunların hepsi oldukça açık, ama önemli bir soruyu gündeme getiriyor: Bu iki cevap neden aynı fikirde ? Sezgisel olarak bunun açık olduğu açık olmalı, çünkü ikinci alt bölge kümesinin genişliğini azalttık. Aynı şeyi her biri genişliğinde 8 alt bölge ile yapmayı düşünebiliriz$0.5$ve yine 16 ile ... ve her biri küçük bir d genişliğine sahip sonsuz sayıda alt bölgeye sahip olana kadar bu sürece devam edebiliriz.$x$. Her şey her zaman doğru bir şekilde ağırlıklandırıldığı sürece, cevaplar her zaman hemfikir olmalıdır. Doğru ağırlık olmadan, toplama gerçekten de$\infty$.

Bu yüzden her zaman öğrencilere bir integralin sadece sembol olmadığını belirtmek isterim $\int$, ancak sembol çifti$\int \text dx$.

Olasılık dağılımını yanlış şekilde yorumluyorsunuz - bu sonsuz sayıda bölünmüş olasılıktır, bu nedenle "0,5 (1, 1) eşit dağılımından 0,5 çizimini çekme olasılığı" diyemezsiniz, çünkü bu olasılık sıfır - alabileceğiniz sonsuz sayıda olası değer vardır ve bunların hepsi eşit derecede olasıdır, bu yüzden herhangi bir bireysel sonucun olasılığı açıkça$\frac{1}{\infty} = 0$^[1] .

Bunun yerine, bir dizi sonuç için olasılığa bakabilir ve alanları (ve dolayısıyla integralleri) kullanarak ölçebilirsiniz. Örneğin, (0, 1) aynı dağılımdan (pdf ile)$f(x) = 1$ için $x \in \left[0, 1\right]$ ve $f(x) = 0$ Aksi takdirde), sonucunuzun arasında olma olasılığı $0.2$ ve $0.3$ dır-dir

$\int_{0.2}^{0.3} f(x)\ dx = \int_{0.2}^{0.3} 1\ dx = \left[x \right]_{0.2}^{0.3} = 0.3 - 0.2 = 0.1$

yani bu aralıkta sonuç alma şansınız% 10'dur.

^[1] Hesaplamanın aşırı basitleştirilmesinde kalp krizi geçiren herkes için üzgünüm.

Genel olarak mantığınız bu varsayımda başarısız olur:

Ancak, bu aralıkta sonsuz sayıda sayı olduğundan, tüm olasılıkların toplamı sonsuza kadar toplamalı mıdır?

Bu , Elea Paradokslarının Zeno'sundan beri bilinen bir matematik problemidir .

İddialarından iki tanesi

1. Bir ok asla hedefine ulaşamaz
2. Aşil asla bir kaplumbağayı geçemez

Her ikisi de sonsuz bir pozitif sayı dizisi oluşturabileceğiniz iddiasına dayanıyordu (eski durumda, bir okun hedefin kalan yolunun yarısını sonsuz kez uçması gerektiğini söyleyerek, ikincisinde Aşil'in kaplumbağanın önceden bulunduğu konuma ulaşmak ve bu arada kaplumbağa bir sonraki referans taban noktamız haline gelen yeni bir konuma hareket eder).

Hızlı ileri, bu sonsuz meblağların keşfedilmesine yol açtı.

Bu yüzden genel olarak sonsuzun toplamının birçok pozitif sayının mutlaka sonsuz olması gerekmez ; ancak, sıradaki sayıların neredeyse tamamı 0'a çok yakınsa, ne kadar sıfıra yakın olmalarını istediğinize bağlı olmaksızın, sadece (aşırı aşırı basitleştirme, bunun için üzgünüm) sonsuz olmayabilir.

Sonsuzluk daha fazla hile yapar. Sipariş Eğer dizinin elemanlarını eklemek hangi çok önemlidir ve yeniden sıralama farklı sonuçlar verdiği bir duruma yol açabilir!

Sonsuzluk paradoksları hakkında biraz daha fazlasını keşfedin . Şaşırmış olabilirsiniz.

$f(x)$ olasılık yoğunluğunu açıklar ve $\frac{p}{x}$. Dolayısıyla verilen bir x için$f(x) = \frac{1}{b-a}$ içinde $\frac{p}{x}$birimleri değil, p değil. P istiyorsanız, belirli bir aralık için dağıtım işlevine ihtiyacınız vardır, yani x'in a ve b içinde olma olasılığı.

Umarım bu mantıklıdır.