UMVUE değerini bul

İzin Vermek $X_1, X_2, . . . , X_n$ pdf'ye sahip rastgele değişkenlerin olması

$f_{X} (x ∣ θ) = θ (1 + x)^{- (1 + θ)} I_{(0, \infty)} (x)$ $f_X(x\mid\theta) =\theta(1 +x)^{−(1+\theta)}I_{(0,\infty)}(x)$

nerede $\theta >0$ . UMVUE değerini verin $\frac{1}{\theta}$ ve varyansını hesaplayın

Elde edilen UMVUE'lara yönelik iki yöntem öğrendim:

Cramer-Rao Alt Sınırı (CRLB)
Lehmann-Scheffe Thereom

Ben ikisinin ilkini kullanarak bunu deneyeceğim. Burada neler olup bittiğini tam olarak anlamadığımı itiraf etmeliyim ve denenmiş çözümümü örnek bir problemden yola çıkıyorum. Bende var $f_X(x\mid\theta)$ , tam tek parametreli üstel bir ailedir

$h(x)=I_{(0,\infty)}$ , $c(\theta)=\theta$ , $w(\theta)=-(1+\theta)$ , $t(x)=\text{log}(1+x)$

Dan beri $w'(\theta)=1$ sıfır dışında $\Theta$ , CRLB sonucu geçerlidir. Sahibiz

log f_{X} (x ∣ θ) = log (θ) - (1 + θ) \cdot log (1 + x)

$\text{log }f_X(x\mid\theta)=\text{log}(\theta)-(1+\theta)\cdot\text{log}(1+x)$

\frac{\partial}{\partial θ} log f_{X} (x ∣ θ) = \frac{1}{θ} - log (1 + x)

$\frac{\partial}{\partial \theta}\text{log }f_X(x\mid\theta)=\frac{1}{\theta}-\text{log}(1+x)$

\frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}} log f_{X} (x ∣ θ) = - \frac{1}{θ^{2}}

$\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}\text{log }f_X(x\mid\theta)=-\frac{1}{\theta^2}$

yani

I_{1} (θ) = - E (- \frac{1}{θ^{2}}) = \frac{1}{θ^{2}}

$I_1(\theta)=-\mathsf E\left(-\frac{1}{\theta^2}\right)=\frac{1}{\theta^2}$

ve tarafsız tahmin edicileri için CRLB $\tau(\theta)$ dır-dir

\frac{[τ^{'} (θ)]^{2}}{n \cdot I_{1} (θ)} = \frac{θ^{2}}{n} [τ^{'} (θ)]^{2}

$\frac{[\tau'(\theta)]^2}{n\cdot I _1(\theta)} = \frac{\theta^2}{n}[\tau'(\theta)]^2$

Dan beri

\sum_{i = 1}^{n} t (X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} log (1 + X_{i})

$\sum_{i=1}^n t(X_i)=\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i)$

sonra herhangi bir doğrusal işlevi $\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i)$ veya eşdeğer olarak, $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i)$ , CRLB'ye beklentisinden ulaşacak ve böylece beklentisinin bir UMVUE'su olacaktır. Dan beri $\mathsf E(\text{log}(1+X))=\frac{1}{\theta}$ sahip olduğumuz UMVUE $\frac{1}{\theta}$ dır-dir $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i)$

Doğal bir parametrelendirme için $\eta=-(1+\theta)\Rightarrow \theta=-(\eta+1)$

Sonra

V a r (log (1 + X)) = \frac{d}{d η} (- \frac{1}{η + 1}) = \frac{1}{(η + 1)^{2}} = \frac{1}{θ^{2}}

$\mathsf{Var}(\text{log}(1+X))=\frac{d}{d\eta}\left(-\frac{1}{\eta+1}\right)=\frac{1}{(\eta+1)^2}=\frac{1}{\theta^2}$

Bu geçerli bir çözüm müdür? Daha basit bir yaklaşım var mı? Bu yöntem yalnızca $\mathsf E(t(x))$ tahmin etmeye çalıştığınız şeye eşittir?

— Remy
kaynak

Pdf'nin tek parametreli üstel ailenin bir üyesi olduğunu gösterdiğiniz noktada, ailenin tam bir istatistiği olduğu hemen anlaşılmaktadır.

T (X_{1}, \dots, X_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + X_{i})

$T(X_1,\ldots,X_n)=\sum_{i=1}^n\ln(1+X_i)$ Dediğin gibi,

E (T / n) = \frac{1}{θ}

$E(T/n)=\frac{1}{\theta}$ ,

T / n

$T/n$ UMVUE

1 / θ

$1/\theta$ Lehmann-Scheffe teoremi ile.

— StubbornAtom

Yani sahip olduğum kısım

w^{'} (θ) = 1

$w'(\theta)=1$ sıfırdan farklı .....

\frac{θ^{2}}{n} [τ^{'} (θ)]^{2}

$\frac{\theta^2}{n}[\tau'(\theta)]^2$ "alakasız mı?

— Remy

Pek sayılmaz; varyansı

T

$T$ CRLB kullanarak bulmak daha kolaydır. Bu nedenle, her iki soruyu bir anda çözmek için argümanınız yeterlidir.

— StubbornAtom

Varyansı bu şekilde bulmak için,

\frac{θ^{2}}{n} [τ^{'} (θ)]^{2} = \frac{θ^{2}}{n} {(- \frac{1}{θ^{2}})}^{2} = \frac{1}{n θ^{2}}

$\frac{\theta^2}{n}[\tau'(\theta)]^2=\frac{\theta^2}{n}\left(-\frac{1}{\theta^2}\right)^2=\frac{1}{n\theta^2}$ ? Peki, daha önce yanlış yaptım?

— Remy

Evet, bu varyans

T

$T$ . Tam.

— StubbornAtom

Akıl yürütmeniz çoğunlukla doğrudur.

Numunenin eklem yoğunluğu $(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ dır-dir

\begin{aligned} f_{θ} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) & = \frac{θ^{n}}{{(\prod_{i = 1}^{n} (1 + x_{i}))}^{1 + θ}} 1_{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} > 0}, θ > 0 \\ ⟹ \ln f_{θ} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) & = n \ln (θ) - (1 + θ) \sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + x_{i}) + \ln (1_{min_{1 \leq i \leq n} x_{i} > 0}) \\ ⟹ \frac{\partial}{\partial θ} \ln f_{θ} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) & = \frac{n}{θ} - \sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + x_{i}) \\ = - n (\frac{\sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + x_{i})}{n} - \frac{1}{θ}) \end{aligned}

$\begin{align} f_{\theta}(x_1,x_2,\ldots,x_n)&=\frac{\theta^n}{\left(\prod_{i=1}^n (1+x_i)\right)^{1+\theta}}\mathbf1_{x_1,x_2,\ldots,x_n>0}\qquad,\,\theta>0 \\\\\implies \ln f_{\theta}(x_1,x_2,\ldots,x_n)&=n\ln(\theta)-(1+\theta)\sum_{i=1}^n\ln(1+x_i)+\ln(\mathbf1_{\min_{1\le i\le n} x_i>0}) \\\\\implies\frac{\partial}{\partial \theta}\ln f_{\theta}(x_1,x_2,\ldots,x_n)&=\frac{n}{\theta}-\sum_{i=1}^n\ln(1+x_i) \\\\&=-n\left(\frac{\sum_{i=1}^n\ln(1+x_i)}{n}-\frac{1}{\theta}\right) \end{align}$

Böylece skor fonksiyonunu formda ifade ettik.

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial}{\partial θ} \ln f_{θ} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = k (θ) (T (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) - \frac{1}{θ}) \end{matrix}

$\frac{\partial}{\partial \theta}\ln f_{\theta}(x_1,x_2,\ldots,x_n)=k(\theta)\left(T(x_1,x_2,\ldots,x_n)-\frac{1}{\theta}\right)\tag{1}$

Cramér-Rao eşitsizliğinde eşitlik şartıdır.

Bunu doğrulamak zor değil

\begin{matrix} (2) & E (T) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \underset{= 1 / θ}{\underset{⏟}{E (\ln (1 + X_{i}))}} = \frac{1}{θ} \end{matrix}

$E(T)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\underbrace{E(\ln(1+X_i))}_{=1/\theta}=\frac{1}{\theta}\tag{2}$

itibaren $(1)$ ve $(2)$ bunu sonuçlandırabiliriz

İstatistik $T(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ tarafsız bir tahmin edicisidir $1/\theta$ .
$T$ Cramér-Rao eşitsizliğinin eşitlik koşulunu yerine getirir.

Bu iki gerçek birlikte $T$ UMVUE $1/\theta$ .

İkinci mermi aslında bize bu varyansın $T$ için Cramér-Rao alt sınırına ulaşır $1/\theta$ .

Gerçekten de, gösterdiğiniz gibi,

E_{θ} [\frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}} \ln f_{θ} (X_{1})] = - \frac{1}{θ^{2}}

$E_{\theta}\left[\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}\ln f_{\theta}(X_1)\right]=-\frac{1}{\theta^2}$

Bu, tüm örnek için bilgi fonksiyonunun

I (θ) = - n E_{θ} [\frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}} \ln f_{θ} (X_{1})] = \frac{n}{θ^{2}}

$I(\theta)=-nE_{\theta}\left[\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}\ln f_{\theta}(X_1)\right]=\frac{n}{\theta^2}$

Böylece Cramér-Rao alt sınırı $1/\theta$ ve dolayısıyla UMVUE'nun varyansı

Var (T) = \frac{{[\frac{d}{d θ} (\frac{1}{θ})]}^{2}}{I (θ)} = \frac{1}{n θ^{2}}

$\operatorname{Var}(T)=\frac{\left[\frac{d}{d\theta}\left(\frac{1}{\theta}\right)\right]^2}{I(\theta)}=\frac{1}{n\theta^2}$

Burada, bir dağılım ailesi için şunu söyleyen Cramér-Rao eşitsizliğinin bir sonucunu kullandık $f$ parametreleyen $\theta$ (eğer CR eşitsizliğinin düzenlilik koşullarının geçerli olduğunu varsayarak) $T$ tarafsız $g(\theta)$ bazı işlevler için $g$ ve eğer CR eşitsizliğinde eşitlik koşulunu sağlıyorsa, yani

\frac{\partial}{\partial θ} \ln f_{θ} (x) = k (θ) (T (x) - g (θ))

$\frac{\partial}{\partial\theta}\ln f_{\theta}(x)=k(\theta)\left(T(x)-g(\theta)\right)$ , sonra

T

$T$ UMVUE olmalı

g (θ)

$g(\theta)$ . Yani bu argüman her problemde işe yaramıyor.

Alternatif olarak, Lehmann-Scheffe teoremini kullanarak şunu söyleyebilirsiniz: $T=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \ln(1+X_i)$ UMVUE $1/\theta$ tarafsız olduğu için $1/\theta$ ve dağıtım ailesi için tam bir istatistiktir. o $T$ tek parametreli üstel bir aile açısından numunenin eklem yoğunluğunun yapısından yeterince açık rekabet eder. Ancak varyansı $T$ doğrudan bulmak biraz zor olabilir.

— StubbornAtom
kaynak

Ayrıca bir

T

$T$ ortalamasını bulmak için, varyans.

— StubbornAtom