Ortalama, medyan ve mod arasındaki ampirik ilişki

Orta derecede çarpık olan tek biçimli bir dağılım için, ortalama, medyan ve mod arasında şu ampirik ilişkiye sahibiz: Bu ilişki nasıl ortaya çıktı?

$$\text{(Mean - Mode)}\sim 3\,\text{(Mean - Median)}$$

Karl Pearson bu sonuca varmadan önce bu ilişkilerin binlerce yerini çizdi mi, yoksa bu ilişkinin mantıklı bir mantık çizgisi var mı?

ortalama ( ≠ ortalama), medyan m , σ standart sapma ve M modunu belirtin . Son olarak, X örnek olsun, ilk iki anın olduğu sürekli bir tek-modal dağılımın F gerçekleştirilmesi .$\mu$$\neq$$m$$\sigma$$M$$X$$F$

İyi bilinen

$$|\mu-m|\leq\sigma\label{d}\tag{1}$$

Bu sık sık bir ders kitabı alıştırmasıdır:

ortalama tanımından ilk eşitlik türeten, üçüncü medyan (bütün arasında benzersiz minimiser çünkü yaklaşık geliyorc's)E| X-c| ve dördüncü, Jensen eşitsizliğinden (yani dışbükey bir fonksiyonun tanımı). Aslında bu eşitsizlik daha da zorlaştırılabilir. Aslında,yukarıdaki koşulları sağlayanherhangi birF için, [3]

$$\begin{eqnarray} |\mu-m| &=& |E(X-m)| \\ &\leq& E|X-m| \\ &\leq& E|X-\mu| \\ &=& E\sqrt{(X-\mu)^2} \\ &\leq& \sqrt{E(X-\mu)^2} \\ &=& \sigma \end{eqnarray}$$ $c$$E|X-c|$$F$

$$|m-\mu|\leq \sqrt{0.6}\sigma\label{f}\tag{2}$$

Genel değil gerçek (içinde olsa Abadir 2005 herhangi tek modlu dağılım ya biri sağlaması gereken) hala eşitsizlik olduğu gösterilebilir

$$M\leq m\leq\mu\textit{ or }M\geq m\geq \mu$$

$$|\mu-M|\leq\sqrt{3}\sigma\label{e}\tag{3}$$

herhangi bir tek biçimli, kare tümleşik dağıtım için geçerlidir (eğriltmeden bağımsız olarak). Bunun resmi olarak Johnson ve Rogers'ta (1951) kanıtlanmış olmasına rağmen, ispat buraya sığması zor birçok yardımcı lemaya dayanmaktadır. Git orijinal belgeyi gör.

---

[2] 'de dağılımının μ ≤ m ≤ M değerini karşılaması için yeterli bir koşul verilmiştir. Eğer F :$F$$\mu\leq m\leq M$$F$

$$F(m−x)+F(m+x)\geq 1 \text{ for all }x\label{g}\tag{4}$$

$\mu\leq m\leq M$$\mu\neq m$$(4)$$(4)$

$(4)$$\sigma=1$

$$3(m-\mu)\in(0,3\sqrt{0.6}] \mbox{ and } M-\mu\in(m-\mu,\sqrt{3}]$$

$0<m-\mu<\frac{\sqrt{3}}{3}<\sigma=1$$(4)$

• [0]: Unimodal Dağılımların Moment Sorunu. NL Johnson ve CA Rogers. Matematiksel İstatistiklerin Annals, Vol. 22, No. 3 (Eylül 1951), sayfa 433-439
• [1]: Ortalama-Medyan-Modu Eşitsizliği: Karşı Örnekler Karim M. Abadir Econometric Theory, Vol. 21, No. 2 (Nisan, 2005), sayfa 477-482
• [2]: WR van Zwet, Ortalama, medyan, mod II, Statist. Neerlandica, 33 (1979), sayfa 1-5.
• [3]: Ortalama, Ortalama ve Unimodal Dağılım Modları: Bir Karakterizasyon. S. Basu ve A. DasGupta (1997). Teori Probab. Appl., 41 (2), 210-222.
• [4]: Ortalama, Medyan, Mod ve Eğiklik Üzerine Bazı Notlar. Michikazu Sato. Avustralya İstatistik Dergisi. Cilt 39, Sayı 2, sayfa 219-224, Haziran 1997
• [5]: PT von Hippel (2005). Ortalama, Medyan ve Skew: Bir Ders Kitabı Kuralını Düzeltme. İstatistik Eğitimi Dergisi, Cilt 13, Sayı 2.

Kağıt chl bazı önemli bilgiler verir - bunun genel bir kurala yakın olmadığını gösterir (Weibull gibi sürekli, pürüzsüz, "güzel davranış" değişkenleri için bile). Bu yüzden genellikle yaklaşık olarak doğru olsa da, çoğu zaman değildir.

Peki Pearson nereden geliyor? Bu yaklaşıma nasıl ulaştı?

Neyse ki, Pearson bize cevabı bize çok fazla anlatıyor.

Kullandığımız anlamda "çarpık" teriminin ilk kullanımı, 1895, Pearson [1] gibi görünüyor (tam başlıkta görünüyor). Bu makale aynı zamanda kip ( terim , p345) terimini tanıttığı yer gibi görünmektedir:

Maksimum frekansın koordinatına karşılık gelen apsis terimi için modu kullanmanın uygun olduğunu buldum . "Ortalama", "mod" ve "medyan", istatistikçiler için önemli olan ayrı karakterlere sahiptir.

Ayrıca , frekans eğrileri sisteminin ilk gerçek detayı olarak görünmektedir .

Dolayısıyla, Pearson Tip III dağılımındaki şekil parametresinin tahminini tartışırken (şimdi değişmiş - ve muhtemelen çevrilmiş - gamma dediğimiz şey) diyor: (p375):

$p$$^\dagger$

* bu, parametresi şeklindeki gama$>1$

$\dagger$$x$

Ve aslında, gama dağılımı için (ortalama mod) ile (ortalama-medyan) oranına bakarsak, şunu gözlemliyoruz:

(Mavi kısım, Pearson bölgesinin yakınlığın makul olduğunu söylediğini gösterir).

$\alpha$$\beta$

$\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha}=k$$\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha}$$\alpha$$\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha}$$\alpha$$\beta$$\sqrt{\beta}+\sqrt{\alpha}=c$$\sqrt{\beta}+\sqrt{\alpha}$$\alpha$$\beta$

$\alpha>10$

$e^{\mu-\sigma^2}, e^{\mu}$$e^{\mu+\sigma^2/2}$

$e^{\mu}$$\frac{e^{\sigma^2/2}-e^{-\sigma^2}}{e^{\sigma^2/2}-1}$$\sigma^2$$\frac{3}{2}\sigma^2$$\frac{1}{2}\sigma^2$$\sigma^2$

Çok sayıda iyi bilinen dağılımlar vardır - birçoğu Pearson'un aşina olduğu - bunun için çok çeşitli parametre değerleri için doğrudur; gama dağılımını fark etti, ancak düşünmesi muhtemel diğer dağıtımlara bakmaya başladığında fikri onaylamış olacaktı.

[1]: Pearson, K. (1895),
"Matematiksel Evrim Teorisine Katkılar, II: Homojen
Maddede Eğriltme Değişimi" , Kraliyet Cemiyetinin Felsefi İşlemleri, Seri A, 186, 343-414
[Telif hakkı. Burada serbestçe kullanılabilir ]

Bu ilişki türetilmedi. Yaklaşık ampirik olarak yaklaşık simetrik dağılımları tuttuğu fark edildi . Yule'nin istatistik teorisine giriş bölümünde (1922), s.121, Bölüm VII Bölüm 20'deki açıklamasına bakınız. Ampirik örneği sunar.