Nedensellik matematiksel olarak nasıl tanımlanır?

İki rasgele değişken arasındaki nedensel ilişkinin matematiksel tanımı nedir?

İki rastgele değişken $X$ ve $Y$ ortak dağılımından bir örnek verildiğinde , $X$ neden neden olduğunu söyleyebiliriz ?$Y$

Bağlam için nedensel keşif hakkındaki bu makaleyi okuyorum .

İki rasgele değişken arasındaki nedensel ilişkinin matematiksel tanımı nedir?

Matematiksel olarak, nedensel bir model değişkenler arasındaki fonksiyonel ilişkilerden oluşur . Örneğin, aşağıdaki yapısal denklemler sistemini düşünün:

Bu, $x$$y$ değerini işlevsel olarak belirlediği anlamına gelir ( $x$ müdahale ederseniz, bu $y$ değerlerini değiştirir ), ancak tersi olmaz. Grafiksel, bu genellikle ile temsil edilir $x \rightarrow y$ bu araçlar, $x$ , y yapısal devreye girer. Bir zeyilname olarak, fonksiyonel modellere matematiksel olarak eşdeğer olan karşı-olgusal değişkenlerin ortak dağılımları açısından da nedensel bir model ifade edebilirsiniz .

İki rastgele değişken X ve Y'nin ortak dağılımından bir örnek verildiğinde, X'in Y'ye neden neden olduğunu söyleyebiliriz?

Bazen (veya çoğu kez) Eğer yapısal denklem şekline hakkında bilgi yok $f_{x}$ , $f_y$ , ne de hatta olsun $x\rightarrow y$ veya $y \rightarrow x$ . Sahip olduğunuz tek bilgi ortak olasılık dağılımı $p(y,x)$ (veya bu dağılımdan örnekler).

Bu şu soruya yol açar: nedensellik yönünü sadece verilerden ne zaman kurtarabilirim? Ya da, daha kesin olarak, $x$$y$ ya da tam tersi yapısal denklemine girip girmediğini ne zaman kurtarabilirim ?

Tabii ki, nedensel model hakkında temel olarak test edilemeyen varsayımlar olmadan , bu imkansızdır . Sorun, birkaç farklı nedensel modelin, gözlemlenen değişkenlerin aynı ortak olasılık dağılımını gerektirebilmesidir. En yaygın örnek, gauss gürültüsü olan nedensel bir doğrusal sistemdir.

Ancak bazı nedensel varsayımlar altında bu mümkün olabilir --- ve nedensel keşif literatürünün üzerinde çalıştığı şey budur. Bu konuya önceden maruz kalmadıysanız, Peters, Janzing ve Scholkopf'un Nedensel Çıkarım Unsurları'nın yanı sıra Judea Pearl'den Nedensellik bölümünden başlamak isteyebilirsiniz . Biz nedensel keşif üzerine referanslar için CV burada bir konuyu , ama biz birçok referanslar henüz listelenen yok.

Bu nedenle, sorunuzun varsayımlarına bağlı olduğu için sorunuzun tek bir cevabı yoktur. Bahsettiğiniz makalede, gauss olmayan gürültülü doğrusal bir model varsaymak gibi bazı örnekler veriliyor . Bu durum LINGAN (doğrusal gauss olmayan asiklik modelin kısaltması) olarak bilinir , burada bir örnek R:

library(pcalg)
set.seed(1234)
n <- 500
eps1 <- sign(rnorm(n)) * sqrt(abs(rnorm(n)))
eps2 <- runif(n) - 0.5
x2 <- 3 + eps2
x1 <- 0.9*x2 + 7 + eps1

# runs lingam
X <- cbind(x1, x2)
res <- lingam(X)
as(res, "amat") 

# Adjacency Matrix 'amat' (2 x 2) of type ‘pag’:
#     [,1]  [,2]
# [1,] .     .   
# [2,]  TRUE .     

Burada dikkat edin, $x_2$ neden olduğu gauss olmayan gürültüye sahip doğrusal bir nedensel modelimiz var$x_1$ ve Lingam doğru nedensel yönünü kurtarır. Bununla birlikte,bunun LINGAM varsayımlarınakritikolarakbağlı olduğunadikkat edin.

Alıntı yaptığınız makale söz konusu olduğunda, bu özel varsayımı yaparlar (bkz. "Önermeleri"):

Eğer $x\rightarrow y$ X mekanizması eşleme Y az açıklama uzunluğu Y'nin değerine bağlıdır, oysa Y mekanizması eşleme X az açıklama uzunluğu, X değerinin bağımsızdır

Bu bir varsayımdır. Biz buna “tanımlama koşulu” diyoruz. Esasen postüla, $p(x,y)$ eklem dağılımına kısıtlamalar getirir . Yani, önermede $x \rightarrow y$ belirli verilerde bazı kısıtlamalar varsa ve $y \rightarrow x$ diğer kısıtlamalar geçerli ise diyor . Test edilebilir çıkarımları olan bu tür kısıtlamalar ( $p(y,x)$ üzerine kısıtlamalar getirme ) gözlemsel verilerden yönelimli bir şekilde iyileşmeyi sağlayan şeydir.

Son bir açıklama olarak, nedensel keşif sonuçları hala çok sınırlıdır ve güçlü varsayımlara bağlıdır, bunları gerçek dünya bağlamında uygularken dikkatli olun.

Nedenselliğin resmileştirilmesine yönelik çeşitli yaklaşımlar vardır (bu, yüzyıllardır süren nedensellik hakkında önemli felsefi anlaşmazlıklara uygundur). Popüler olan potansiyel sonuçlar açısından. Rubin nedensel modeli adı verilen potansiyel sonuçlar yaklaşımı, her nedensel durum için farklı bir rastgele değişken olduğunu varsayar. Yani, $Y_1$ konu çalışma ilacını alır ve eğer bir klinik çalışmanın olası sonuçların rastgele değişken olabileceğini $Y_2$ o plasebo alırsa rastgele değişken olabilir. Nedensel etkisi arasındaki farktır $Y_1$ ve $Y_2$ . Aslında $Y_1 = Y_2$ , tedavinin bir etkisi olmadığını söyleyebiliriz. Aksi takdirde, tedavi durumunun sonuca neden olduğunu söyleyebiliriz.

Değişkenler arasındaki nedensel ilişkiler, , çok farklı bir tada sahip olan ancak matematiksel olarak Rubin modeline eşdeğer olduğu ortaya çıkan yönlü asil grafikler edilebilir (Wasserman, 2004, bölüm 17.8).

Wasserman, L. (2004). Tüm istatistikler: İstatistiksel çıkarımda kısa bir kurs . New York, NY: Springer. ISBN 978-0-387-40272-7.

$X$$Y$ nedeni olup olmadığını belirlemenin iki yolu vardır . Birincisi standart, ikincisi kendi iddiam.

1. Üzerinde bir müdahale var Varlığından $X$ böyle değeri, bu $Y$ değiştirilir

Bir müdahale, bağımlı olduğu değişkenleri etkilemeyen bir değişkende yapılan cerrahi bir değişikliktir. Müdahaleler yapısal denklemlerde ve nedensel grafik modellerinde titizlikle resmileştirilmiştir, ancak bildiğim kadarıyla belirli bir model sınıfından bağımsız bir tanım yoktur.

2. $Y$$X$

Bunu titiz hale getirmek için bir modeli üzerinde resmileştirmek gerekir$X$$Y$ ve özellikle nasıl simüle edildiğini tanımlayan anlambilim gerekir.

Modern nedensellik yaklaşımlarında, müdahale nedensel ilişkileri tanımlayan ilkel nesne olarak kabul edilir (tanım 1). Ancak benim görüşüme göre, müdahale simülasyon dinamiklerinin bir yansımasıdır ve zorunlu olarak tutarlıdır.