'B'ye A verilme olasılığı daha yüksekse,' A'ya B verme olasılığı daha yüksektir '

Ben daha net sezgi arkasında almaya çalışıyorum: "Eğer hale getirir B daha muhtemel ardından B kılan bir daha muhtemel" yani$A$$B$$B$$A$

Let $n(S)$ içinde boşluğun boyutunu belirtir $A$ ve $B$ , daha sonra olan

İstem: $P(B|A)>P(B)$ yani $n(AB)/n(A) > n(B)/n(S)$

yani $n(AB)/n(B) > n(A)/n(S)$

hangi $P(A|B)>P(A)$

Matematiği anlıyorum, ama bu neden sezgisel bir anlam ifade ediyor?

Sezgisel olarak, Peter Flom gibi gerçek dünya örnekleri bazı insanlar için en faydalıdır. İnsanlara yaygın olarak yardımcı olan bir diğer şey de resimler. Bu yüzden, çoğu üssü örtmek için, bazı resimlerimiz var.

Burada sahip olduğumuz, olasılıkları gösteren iki temel diyagram. Birincisi, Kırmızı ve Düz diyeceğim iki bağımsız öngörü gösterir. Bağımsız oldukları açıktır çünkü çizgiler sıralanmıştır. Kırmızı olan düz alanın oranı kırmızı olan çizgili alanın oranı ile aynıdır ve aynı zamanda kırmızı olan toplam oranla aynıdır.

İkinci resimde, bağımsız olmayan dağılımlarımız var. Özellikle, düz kırmızı alanın bir kısmını kırmızı olduğu gerçeğini değiştirmeden çizgili alana genişlettik. Açıkçası, kırmızı olmak düz olmayı daha olası hale getirir.

Bu arada, bu görüntünün düz tarafına bir göz atın. Açıkça görüldüğü gibi, düz bölgenin kırmızı olan oranı, tüm görüntünün kırmızı olan oranından daha fazladır. Çünkü sade bölgeye daha fazla alan verildi ve hepsi kırmızı.

Yani, kırmızı düzdür ve düz kırmızı yapar.

Aslında burada neler oluyor? A, hem A hem de B'yi içeren alan bağımsız olmaları durumunda tahmin edilenden daha büyük olduğunda B'nin (yani A'nın B'yi daha olası hale getirdiği) kanıtıdır. A ve B arasındaki kavşak, B ve A arasındaki kavşakla aynı olduğundan, bu da B'nin A'nın kanıtı olduğunu gösterir.

Dikkat edilmesi gereken bir nokta: yukarıdaki argüman çok simetrik görünse de, her iki yönde kanıtların gücünün eşit olması söz konusu olmayabilir. Örneğin, bu üçüncü resmi ele alalım. Burada da aynı şey oldu: düz kırmızı daha önce çizgili kırmızıya ait toprakları yemiş. Aslında, işi tamamen bitirdi!

Kırmızı renkli noktanın düzlüğü garanti ettiğine dikkat edin, çünkü çizgili kırmızı bölgeler kalmamıştır. Bununla birlikte, düz bir nokta kızarıklığı garanti etmez, çünkü hala yeşil bölgeler kalmıştır. Bununla birlikte, kutudaki bir noktanın düz olması kırmızı olma şansını arttırır ve kırmızı olan bir nokta düz olma şansını arttırır. Her iki yön de aynı miktarda değil, daha muhtemeldir.

Bence başka bir matematiksel anlatım da yardımcı olabilir. Bayes kuralı bağlamında iddiayı düşünün:

İddia: eğer daha sonra$P(B|A)>P(B)$$P(A|B) > P(A)$

Bayes kuralı:

sıfır dışında olduğu varsayılır . Böylece$P(B)$

Eğer , daha sonra .$P(B|A)>P(B)$$\frac{P(B|A)}{P(B)} > 1$

Sonra ve böylece .$\frac{P(A|B)}{P(A)} > 1$$P(A|B) > P(A)$

Bu, iddiaların ve olasılıkların oranlarının eşit olması gerektiği iddiasını ve daha da güçlü bir sonucunu kanıtlamaktadır.

Soruda "yapar" kelimesini sevmiyorum. Bu, bir tür nedensellik ve nedensellik genellikle tersine dönmez.

Ama sen sezgi istedin. Yani, bazı örnekler düşünürdüm, çünkü bu sezgiyi ateşliyor gibi görünüyor. Beğendiğiniz birini seçin:

Bir kişi kadınsa, bu kişinin Demokrat için oy kullanması daha olasıdır.
Bir kişi Demokrat için oy kullandıysa, o kişinin bir kadın olması daha olasıdır.

Bir adam profesyonel bir basketbol merkeziyse, 2 metreden uzun olması daha olasıdır.
Bir erkek 2 metreden uzunsa, basketbol merkezi olması daha olasıdır.

40 santigrat derecenin üzerindeyse, elektrik kesintisi olması daha olasıdır.
Bir karartma varsa, 40 derecenin üzerinde olması daha olasıdır.

Ve bunun gibi.

@Dasherman'ın cevabına eklemek için: İki olayın birbiriyle ilişkili , belki de ilişkili ya da ilişkili olduğunu söylemek ne anlama gelir ? Belki bir tanım için ortak olasılığı karşılaştırabiliriz ( ): yani birden büyükse, ve bağımsızlıktan daha sık birlikte ortaya çıkar. O zaman ve pozitif olarak ilişkili olduğunu söyleyebiliriz .$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \P(A)>0, \P(B)>0$

Ancak şimdi, koşullu olasılık tanımını kullanarak nın kolay bir sonucudur . Ancak tamamen simetriktir ve (sembol tüm oluşumlarını alışverişi ile tersi ve yardımcısı) aynı formülleri bırakır , ile de eşdeğerdir . Sonuç verir. İstediğiniz sezgi nin ve simetrik olmasıdır .$\frac{\P(A \cap B)}{\P(A) \P(B)}>1$$\P(B \mid A) > \P(B)$$\frac{\P(A \cap B)}{\P(A) \P(B)}$$A$$B$$A$$B$$\P(A \mid B) > \P(A)$$\eta(A,B)$$A$$B$

@Gunes'un cevabı pratik bir örnek verdi ve başkalarını aynı şekilde yapmak kolaydır.

A'nın B'yi daha muhtemel hale getirmesi, olayların bir şekilde ilişkili olduğu anlamına gelir. Bu ilişki her iki şekilde de çalışır.

A'nın B'yi daha muhtemel hale getirmesi, A ve B'nin birlikte olma eğiliminde olduğu anlamına gelir. Bu, B'nin A'yı daha muhtemel hale getirdiği anlamına gelir.

A'nın B'yi daha muhtemel hale getirmesi halinde A'nın B'nin kendisi hakkında çıkarımda bulunabileceği çok önemli bilgileri vardır. Aynı miktarda katkıda bulunmayabileceği gerçeğine rağmen, bu bilgi başka şekilde kaybolmaz. Sonunda, olaylarının birbirini desteklediği iki olaya sahibiz. A oluşumunun B olasılığını arttırdığı ve B oluşumunun A olasılığını azalttığı bir senaryo hayal edemiyorum. Örneğin, yağmur yağarsa, zemin yüksek olasılıkla ıslak olacak ve zemin yağmur yağdığı anlamına gelmez, ancak şansı azaltmaz.

Bir acil durum tablosu hayal ederek matematiği daha sezgisel yapabilirsiniz.

$\begin{array}{cc} \begin{array}{cc|cc} && A & \lnot A & \\ &a+b+c+d & a+c & b+d \\\hline B& a+b& a & b \\ \lnot B & c+d& c & d \\ \end{array} \end{array}$

• ve bağımsız olduğunda , ortak olasılıklar marjinal olasılıkların ürünleridir Bu durumda benzer marjinal ve koşullu olasılıklara sahip olursunuz, örneğin ve .$A$$B$

  $$\begin{array}{cc} \begin{array}{cc|cc} && A & \lnot A & \\ &1 & x & 1-x \\\hline B& y& a=xy & b=(1-x)y \\ \lnot B & 1-y& c=x (1-y) & d=(1-x)(1-y)\\ \end{array} \end{array}$$ $P (A) = P (A|B)$$P (B)=P (B|A)$

• Bağımsızlık olmadığında bunu parametrelerini aynı (kenar boşluklarının ürünleri olarak) bırakmak olarak görebilirsiniz ancak sadece$a,b,c,d$$\pm z$

  $$\begin{array}{cc} \begin{array}{cc|cc} && A & \lnot A & \\ &1 & x & 1-x \\\hline B& y& a+z & b-z \\ \lnot B & 1-y& c-z & d+z\\ \end{array} \end{array}$$

  Bu marjinal ve koşullu olasılıkların eşitliğini kırmak ya da ortak olasılıkların marjinal olasılıkların ürünü olması arasındaki ilişkiyi koparmak olarak görebilirsiniz.$z$

  Şimdi, bu bakış açısından (bu eşitlikleri kırmak), bu kopmanın hem hem de için iki şekilde gerçekleştiğini görebilirsiniz. . Ve eşitsizlik iki durumda olacak zaman pozitif ve zaman negatiftir.$P(A|B) \neq P(A)$$P(B|A) \neq P(B)$$>$$z$$<$$z$

Böylece sonra bağlantısını birleşme olasılığı üzerinden görebilirsiniz .$P(A|B) > P(A)$$P(B|A) > P(B)$$P(B,A) > P (A) P (B)$

A ve B sıklıkla birlikte meydana gelirse (eklem olasılığı marjinal olasılıkların ürününden daha yüksektir), birinin gözlenmesi diğerinin (koşullu) olasılığını yükseltir.

Bir olayın posterior-önceki olasılık oranını şu şekilde ifade ettiğimizi varsayalım:

Daha sonra Bayes teoreminin alternatif bir ifadesi (bu ilgili gönderiye bakın ):

Poster-önceki olasılık oranı, argüman olayının koşullandırma olayının ortaya çıkmasıyla (veya ne kadar veya daha az olası) daha fazla veya daha az olası olup olmadığını gösterir. Bayes teoreminin yukarıdaki formu, posterior-önceki olasılık oranının değişkenlerde simetrik olduğunu göstermektedir. gözlemleyerek, örneğin, yapar daha muhtemel olduğundan daha önsel , gözlemleyerek hale getirir daha muhtemel olduğundan daha önsel .$^\dagger$$B$$A$$A$$B$

$^\dagger$ Bunun bir olasılık kuralı olduğunu ve bu nedenle nedensel olarak yorumlanmaması gerektiğini unutmayın . Bu simetri, pasif gözlem için olasılıklı bir anlamda doğrudur --- ancak, sisteme veya değiştirmek için müdahale ederseniz doğru değildir . İkinci durumda , koşullama değişkenindeki değişikliğin etkisini bulmak için nedensel işlemleri (ör. operatörü) kullanmanız gerekir.$A$$B$$\text{do}$

Sam'in bir kadın ve Kim'in bir erkek olduğu söylenir ve ikisinden biri makyaj yapar, diğeri değildir. Bunlardan kimi makyaj yapar?

Sam'in makyaj giydiği ve Kim'in giymediği söylenir ve ikisinden biri erkek, diğeri kadındır. Kadın kim?

Görünüşe göre nedensellik ve korelasyon arasında bir karışıklık var. Aslında, soru ifadesi, aşağıdaki gibi bir örnekte görülebileceği gibi nedensellik için yanlıştır:

• Bir köpek bir eşarp takıyorsa, evcilleştirilmiş bir hayvandır.

Aşağıdakiler doğru değildir:

• Evcil bir hayvanın bir fular taktığını görmek onun bir köpek olduğunu ima eder.
• Evcilleştirilmiş bir köpeği görmek onun bir fular taktığını ima eder.

Ancak, olasılıkları (korelasyon) düşünüyorsanız o zaman doğrudur:

• Atkı takan köpeklerin evcil hayvan olması, atkı takmayan köpeklerden (veya bu konuda genel olarak hayvanlardan) daha fazladır.

Aşağıdakiler doğrudur:

• Eşarp takmış evcilleştirilmiş bir hayvanın bir köpek olması daha olasıdır.
• Evcilleştirilmiş bir köpeğin evcilleştirilmemiş bir köpeğe göre bir eşarp takması daha olasıdır.

Bu sezgisel değilse, karıncalar, köpekler ve kediler dahil bir hayvan havuzunu düşünün. Köpekler ve kediler evcilleştirilebilir ve eşarp takabilir, karıncalar da olamaz.

1. Havuzunuzdaki evcil hayvanların olasılığını artırırsanız, aynı zamanda bir hayvanın fular takma şansını artıracağınız anlamına gelir.
2. Kedilerin veya köpeklerin olasılığını artırırsanız, bir hayvanın fular takma olasılığını da artıracaksınız.

Evcilleştirmek, hayvan ve bir eşarp takmak arasındaki "gizli" bağlantıdır ve bu "gizli" bağlantı her iki yönde de etkisini gösterecektir.

Düzenleme: Yorumlarınızda sorunuza bir örnek verme:

Hayvanların Kediler veya Köpekler olduğu bir dünya düşünün. Evcilleştirilebilir ya da evcilleştirilemez. Eşarp takıp takabilirler. Toplam 100 hayvan, 50 Köpek ve 50 Kedi olduğunu hayal edin.

Şimdi A ifadesini şöyle düşünün: " Fular takan köpekler, fular takmayan köpeklerden evcilleştirilmiş bir hayvan olma olasılığı üç kat daha fazladır ".

A doğru değilse, dünyanın 25'i evcilleştirilmiş (10'u atkı), 25'i vahşi (10'u atkı) olan 50 Köpek'ten yapılabileceğini hayal edebilirsiniz. Kediler için aynı istatistikler.

O zaman, bu dünyada evcilleştirilmiş bir hayvan görürseniz, köpek olma şansı% 50 (25/50, 50 evcil hayvandan 25 köpek) ve eşarp alma şansı % 20 (20/50, 10 Köpek) ve evcilleştirilen 50 hayvandan 10'u).

Bununla birlikte, A doğruysa, 25'i evcilleştirilmiş ( 15'i fular takan ), 25'i vahşi ( 5'i fular takan ) 50 Köpek bulunan bir dünyaya sahipsiniz . Kediler eski istatistikleri korurlar: 25'i evcilleştirilmiş (10'u eşarp) olan 50 kedi, 25'i vahşi (10'u eşarp) olan 50 kedi.

Eğer bu dünyada evcilleştirilmiş bir hayvan görürseniz, köpek olma şansı% 50 olacaktır (25 evcil hayvandan 25/50, 25 köpek), ancak % 50 (25/50, 15 Köpek ve Evcilleştirilmiş 50 hayvandan 10'u).

Gördüğünüz gibi, A'nın doğru olduğunu söylerseniz, o zaman dünyada bir eşarp takmış evcilleştirilmiş bir hayvan görürseniz, diğer hayvanlardan daha fazla bir Köpek (% 60 veya 15/25) olurdu (bu durumda) Cat,% 40 veya 10/25).

Burada nedensellik ve korelasyon arasında bir karışıklık var. Bu yüzden size tam tersinin gerçekleştiği bir örnek vereceğim.

Bazı insanlar zengin, bazıları fakir. Bazı fakir insanlara fayda sağlanır, bu da onları daha az fakir yapar. Ancak, sosyal yardım alan kişilerin, sosyal yardımlarda bile yoksul olmaları daha olasıdır.

Size avantajlar verilirse, sinema biletlerini karşılayabilmeniz daha olası hale gelir. ("Daha muhtemel kılar" nedensellik anlamına gelir). Ancak sinema biletlerini karşılayabiliyorsanız, avantaj elde etmek için yeterince fakir olan insanlar arasında olmanız daha az olasıdır, bu nedenle sinema biletlerini karşılayabiliyorsanız, avantaj elde etme olasılığınız daha düşüktür.

Daha güçlü ifadeye bakarsanız sezgi netleşir:

A'nın B'yi ima etmesi halinde, B daha olasıdır.

Implication:
  A true  -> B true
  A false -> B true or false
Reverse implication:
  B true  -> A true or false
  B false -> A false

Açıkçası, B'nin de doğru olduğu biliniyorsa A'nın doğru olması daha olasıdır, çünkü B yanlışsa, A da böyle olur. Aynı mantık daha zayıf ifade için de geçerlidir:

A B'yi daha olası hale getirirse, B A'yı daha olası hale getirir.

Weak implication:
  A true  -> B true or (unlikely) false
  A false -> B true or false
Reverse weak implication:
  B true  -> A true or false
  B false -> A false or (unlikely) true

Alice'in serbest atış oranının ortalamadan daha yüksek olduğunu varsayalım. Daha sonra Alice tarafından denendiğinde, bir vuruşun başarılı olma olasılığı, genel olarak bir vuruşun başarılı olma olasılığından daha büyüktür.$P(successful|Alice)>P(successful)$. Ayrıca Alice'in başarılı çekim payının, genel çekim payından daha büyük olduğu sonucuna varabiliriz:$P(Alice|successful)>P(Alice)$.

Ya da okul bölgesinde öğrencilerin% 10'unu, ancak düz A öğrencilerinin% 15'ini içeren bir okul olduğunu varsayalım. O zaman açıkça, o okulda düz A öğrencisi olan öğrencilerin yüzdesi ilçe yüzdesinden daha yüksektir.

Bakmanın başka bir yolu: A, B'ye göre daha olasıdır. $P(A\&B)>P(A)P(B)$ve bu tamamen simetriktir. $A$ ve $B$.