42

Kafam karıştı. Bir ARMA ve bir GARCH süreci arasındaki farkı anlamıyorum. Bana göre aynı hayır var mı?

İşte (G) ARCH (p, q) süreci

σ_{t}^{2} = \underset{G A R C H}{\underset{⏟}{\underset{A R C H}{\underset{⏟}{α_{0} + \sum_{i = 1}^{q} α_{i} r_{t - i}^{2}}} + \sum_{i = 1}^{p} β_{i} σ_{t - i}^{2}}}

$\sigma_t^2 = \underbrace{ \underbrace{ \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_ir_{t-i}^2} _{ARCH} + \sum_{i=1}^p\beta_i\sigma_{t-i}^2} _{GARCH}$

Ve işte ARMA ( ): $p, q$

X_{t} = c + ε_{t} + \sum_{i = 1}^{p} φ_{i} X_{t - i} + \sum_{i = 1}^{q} θ_{i} ε_{t - i} .

$X_t = c + \varepsilon_t + \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i} + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}.\,$

ARMA GARCH basitçe bir uzantısı var, GARCH sadece döner için varsayım ile kullanılan burada güçlü beyaz bir süreç takip? $r = \sigma\varepsilon$ $\varepsilon$

arima garch finance

— John
kaynak

1

Fg nu'nun cevabına ek olarak, GARCH'taki varyans süreci de zamanla değişkendir. Bununla birlikte, burada bir hile var; SP500’e ait bir günlük kütük getirisi verildiğinde, oynaklık sürecini elde etmek için ne yapmalıyız? Bazı insanlar artık serileri geri çekmek için ARMA modelini kullanmamız gerektiğini söylüyor, sonra koşullu varyans sürecini elde etmek için bu serilerden birini GARCH modeline takmamız gerektiğini söylüyor? Veya doğrudan koşullu varyansı elde etmek için log-return fişini SP500 log-return işlemini doğrudan GARCH modeline takın

48

Bir sürecin özelliklerini temsili ile birleştiriyorsunuz. (Return) işlemini düşünün . $(Y_t)_{t=0}^\infty$

Bir ARMA (p, q) modeli , işlemin koşullu ortalamasını şu şekilde belirtir:

\begin{aligned} E (Y_{t} ∣ I_{t}) & = α_{0} + \sum_{j = 1}^{p} α_{j} Y_{t - j} + \sum_{k = 1}^{q} β_{k} ϵ_{t - k} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{E}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j}+ \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k}\\ \end{align}$ Burada, süre içinde bilgi kümesi olan, cebiri sonuç işleminin gecikmeli değerleri tarafından üretilen .

I_{t}

$\mathcal{I}_t$

t

$t$

σ

$\sigma$

(Y_{t})

$(Y_t)$

GARCH (r, s) modeli, işleminin koşullu varyansını belirtir. $\begin{aligned} V (Y_{t} ∣ I_{t}) & = & V (ϵ_{t} ∣ I_{t}) \\ \equiv & σ_{t}^{2} & = & δ_{0} + \sum_{l = 1}^{r} δ_{j} σ_{t - l}^{2} + \sum_{m = 1}^{s} γ_{k} ϵ_{t - m}^{2} \end{aligned}$ $\begin{alignat}{2} & \mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &{}={}& \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) \\ \equiv \,& \sigma^2_t&{}={}& \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_j \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_k \epsilon^2_{t-m} \end{alignat}$

Özellikle, birinci denkliğin . $\mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t)= \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t)$

Bir yana : Bu gösterime dayanarak, , burada güçlü bir beyaz gürültü işlemidir, ancak bu işlemin tanımlanma şeklinden kaynaklanır.

ϵ_{t} \equiv σ_{t} Z_{t}

$\epsilon_t \equiv \sigma_t Z_t$

Z_{t}

$Z_t$

İki model (koşullu ortalama ve varyans için) birbiriyle mükemmel bir şekilde uyumludur, çünkü işlemin ortalaması ARMA ve varyasyonları GARCH olarak modellenebilir. Bu, aşağıdaki temsilde gösterildiği gibi işlem için bir ARMA (p, q) -GARCH (r, s) modelinin tam belirtimine yol açar $\begin{aligned} Y_{t} & = α_{0} + \sum_{j = 1}^{p} α_{j} Y_{t - j} + \sum_{k = 1}^{q} β_{k} ϵ_{t - k} + ϵ_{t} \\ E (ϵ_{t} ∣ I_{t}) & = 0, \forall t \\ V (ϵ_{t} ∣ I_{t}) & = δ_{0} + \sum_{l = 1}^{r} δ_{l} σ_{t - l}^{2} + \sum_{m = 1}^{s} γ_{m} ϵ_{t - m}^{2} \forall t \end{aligned}$ $\begin{align} Y_t &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j} + \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k} +\epsilon_t\\ \mathbb{E}(\epsilon_t\mid \mathcal{I}_t) &=0,\, \forall t \\ \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) &= \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_l \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_m \epsilon^2_{t-m}\, \forall t \end{align}$

— tchakravarty
kaynak

Tüm regresörler gecikmeli ise, zamanında bilgi üzerinde koşullandırmıyor olmanız gerekmez mi?

t - 1

$t-1$

— Jase

@Jase tanımına dikkat edin, "Burada, , işleminin gecikmiş değerleri tarafından oluşturulan olan zamanında ayarlanan bilgilerdir ." Bu, . Bazı yazarlar bunu olarak yazarlar ancak bu, zamanında ayarlanan bir bilgi kavramına .

I_{t}

$\mathcal{I}_t$

t

$t$

σ

$\sigma$

(Y_{t})

$(Y_t)$

I_{t} = σ (Y_{t - 1}, Y_{t - 2} \dots,)

$\mathcal{I}_t = \sigma(Y_{t-1}, Y_{t-2}\ldots,)$

I_{t - 1}

$\mathcal{I}_{t-1}$ $t$

— tchakravarty

Güzel! Sigma-cebirini neden kullandığımızı biliyor musun, filtreleme değil mi?

— Jase

1

@Jase, bilgi setleri dizisi teşkil bir filtrasyon .

(I_{t})_{t = 0}^{\infty}

$(\mathcal{I}_t)_{t=0}^\infty$

— tchakravarty

15

Düzenleme: Cevabın eksik olduğunu ve bu nedenle daha kesin bir cevap verdiğini fark ettim (aşağıya - ya da belki yukarıya bakın). Bunu gerçek hatalar için düzenledim ve kayıt için bırakıyorum.

Farklı odak parametreleri:

ARMA, işlemin koşullu ortalamasının belirli bir yapısını empoze eden stokastik bir sürecin gerçekleşmesi için bir modeldir .
GARCH, işlemin koşullu varyansının belirli bir yapısını empoze eden stokastik bir sürecin gerçekleşmesi için bir modeldir .

~~Stokastik ve deterministik model:~~

ARMA a, stokastik model stokastik sürecin gerçekleştirilmesi - - gecikmeli bağımlı değişken ve gecikmeli modeli hatası (koşullu ortalama) 'in bir belirleyici fonksiyonun bir toplamı olarak belirtilir bağımlı değişken anlamda ve bir stokastik hata terimi.
~~GARCH, bağımlı değişkenin - işlemin koşullu varyansı - değişken değişkenlerin tamamen belirleyici bir işlevi olduğu anlamında belirleyici bir modeldir .~~

— Richard Hardy
kaynak

1

GARCH işleminin koşullu varyansı sizin tanımınıza göre belirleyicidir, ancak GARCH işlemi değildir, çünkü ve , değişkenlerinden bağımsızdır .

r_{t} = σ_{t} ε_{t}

$r_t=\sigma_t\varepsilon_t$

ε_{t}

$\varepsilon_t$

t

$t$

— mpiktas

1

@mpiktas, Doğru. GARCH modeli, biri koşullu ortalama (yukarıda yazdığın bir örnek) ve diğeri koşullu varyans için (sezgisel, matematiksel olmasa da, modelin "ana denklemi") iki denklem içeriyorsa, benim argümanım geçerlidir. ikinci denklemde.

— Richard Hardy,

10

ARMA

Bir ARMA ( ) işlemini takip eden düşünün . Sadelik için sıfır ortalama ve sabit varyansa sahip olduğunu varsayalım. Koşullu bilgileri , bilinen (önceden tespit edilmiş bir) parçası haline bölümlenmiş olabilir (koşullu yolu olan verilen ve rasgele parça) : $y_t$ $p,q$ $I_{t-1}$ $y_t$ $\mu_t$ $y_t$ $I_{t-1}$ $u_t$

\begin{aligned} y_{t} & = μ_{t} + u_{t}; \\ μ_{t} & = φ_{1} y_{t - 1} + \dots + φ_{p} y_{t - p} + θ_{1} u_{t - 1} + \dots + θ_{q} u_{t - q} (known, predetermined); \\ u_{t} | I_{t - 1} & \sim D (0, σ^{2}) (random) \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &= \mu_t + u_t; \\ \mu_t &= \varphi_1 y_{t-1} + \dotsc + \varphi_p y_{t-p} + \theta_1 u_{t-1} + \dotsc + \theta_q u_{t-q} \ \ \text{(known, predetermined)}; \\ u_t | I_{t-1} &~\sim D(0,\sigma^2) \ \ \text{(random)} \\ \end{aligned}$

burada bir yoğunluktur. $D$

Koşullu ortalama kendisi ARMA (benzer bir işlem aşağıdaki ), fakat olmayan rastgele eşzamanlı hata terimi: burada ; için ; ve için . Bu işlemin gibi ( ) yerine ( ) düzenine sahip olduğunu . $\mu_t$ $p,q$

μ_{t} = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m},

$\mu_t = \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m},$

m := max (p, q)

$m:=\max(p,q)$

φ_{i} = 0

$\varphi_i=0$

i > p

$i>p$

θ_{j} = 0

$\theta_j=0$

j > q

$j>q$

p, m

$p,m$

p, q

$p,q$

y_{t}

$y_t$

koşullu dağılımını , geçmiş koşullu araçları (geçmiş gerçek değerleri yerine) ve model parametreleri bakımından da yazabiliriz. $y_t$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m}; \\ σ_{t}^{2} & = σ^{2}, \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \sigma^2, \end{aligned}$

İkinci gösterim, ARMA'nın GARCH ve ARMA-GARCH ile karşılaştırılmasını kolaylaştırır.

GARCH

Bir GARCH ( ) işlemini takip eden düşünün . Sadelik için sabit ortalama olduğunu varsayalım. Sonra $y_t$ $s,r$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = μ; \\ σ_{t}^{2} & = ω + α_{1} u_{t - 1}^{2} + \dots + α_{s} u_{t - s}^{2} + β_{1} σ_{t - 1}^{2} + \dots + β_{r} σ_{t - r}^{2}; \\ \frac{u_{t}}{σ_{t}} & \sim i . i . D (0, 1), \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \mu; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$

burada ve bir yoğunluğudur. $u_t:=y_t-\mu_t$ $D$

Koşullu varyans ARMA (benzer bir işlem aşağıdaki ), fakat olmayan rastgele eşzamanlı hata terimi. $\sigma_t^2$ $s,r$

ARMA-GARCH

Düşünün koşulsuz ortalama sıfır ve bir ARMA (izler ) -GARCH ( ) işlemi. Sonra $y_t$ $p,q$ $s,r$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m}; \\ σ_{t}^{2} & = ω + α_{1} u_{t - 1}^{2} + \dots + α_{s} u_{t - s}^{2} + β_{1} σ_{t - 1}^{2} + \dots + β_{r} σ_{t - r}^{2}; \\ \frac{u_{t}}{σ_{t}} & \sim i . i . D (0, 1), \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$

buradaki ; bir yoğunluktur, örneğin Normal; için ; ve için . $u_t:=y_t-\mu_t$ $D$ $\varphi_i=0$ $i>p$ $\theta_j=0$ $j>q$

Koşullu ortalama nedeniyle ARMA işlem esas olarak aynı biçime sahiptir koşullu varyans bağlı GARCH işlemi, sadece gecikme siparişleri (bir sıfır olmayan koşulsuz ortalama sağlayan farklı olabilir önemli ölçüde bu sonuç değiştirmemelidir). Önemli olarak, hiçbiri de şartlandırılmış rastgele hata terimlerine sahip değildir , dolayısıyla her ikisi de önceden belirlenmiştir. $y_t$ $I_{t-1}$

— Richard Hardy
kaynak

3

ARMA ve GARCH süreçleri sunumlarında çok benzer. İkisi arasındaki ayırma çizgisi çok incedir, çünkü hata varyansı için bir ARMA işlemi varsayıldığında GARCH alırız.

— user36853
kaynak

GARCH ve ARMA arasındaki fark nedir?

ARMA

GARCH

ARMA-GARCH