Moment üreten fonksiyon ile karakteristik fonksiyon arasındaki bağlantı

Moment üreten fonksiyon ile karakteristik fonksiyon arasındaki bağlantıyı anlamaya çalışıyorum. Moment üreten fonksiyon şu şekilde tanımlanır:

M_{X} (t) = E (tecrübe (t X)) = 1 + \frac{t E (X)}{1} + \frac{t^{2} E (X^{2})}{2!} + \dots + \frac{t^{n} E (X^{n})}{n!}

$M_X(t) = E(\exp(tX)) = 1 + \frac{t E(X)}{1} + \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \dots + \frac{t^n E(X^n)}{n!}$

Serisinin genişlemesini kullanarak, $\exp(tX) = \sum_0^{\infty} \frac{(t)^n \cdot X^n}{n!}$ rasgele değişken için dağıtımın tüm anlarını bulabilirim X.

Karakteristik fonksiyon şu şekilde tanımlanır:

φ_{X} (t) = E (\exp (i t X)) = 1 + \frac{i t E (X)}{1} - \frac{t^{2} E (X^{2})}{2!} + \dots + \frac{(i t)^{n} E (X^{n})}{n!}

$\varphi_X(t) = E(\exp(itX)) = 1 + \frac{it E(X)}{1} - \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \ldots + \frac{(it)^n E(X^n)}{n!}$

Hayali numara hangi bilgileri tam olarak anlamıyorum daha bana verir. olduğunu görüyorum ve bu nedenle karakteristik fonksiyonda sadece yok, ama karakteristik fonksiyondaki anları çıkarmamız neden gerekli? Matematiksel fikir nedir? $i$ $i^2 = -1$ $+$

— Giuseppe
kaynak

Önemli bir nokta, moment üreten fonksiyonun her zaman sınırlı olmamasıdır! ( Örneğin bu soruya bakın .) Örneğin, dağıtımda yakınsama hakkında genel bir teori oluşturmak istiyorsanız, mümkün olduğunca çok nesne ile çalışmasını sağlayabilirsiniz. Karakteristik fonksiyon, elbette,

| \exp (i t X) | \leq 1

$|\exp(itX)| \leq 1$ .

— kardinal

Taylor açılımlarındaki benzerlikler hala var olduklarında anları okumasına izin verir, ancak tüm dağıtımların anları olmadığını unutmayın, bu nedenle bu işlevlere olan ilgi bunun çok ötesine geçer! :)

— kardinal

Dikkat edilmesi gereken bir diğer nokta, MGF'nin rastgele bir değişkenin Laplace dönüşümü ve CF'nin Fourier dönüşümü olmasıdır. Bu integral dönüşümler arasında temel ilişkiler vardır, buraya bakın .

— tchakravarty

CF'nin bir olasılık dağılımının ters fourier dönüşümü (fourier dönüşümü değil) olduğunu düşündüm.

— Giuseppe

Ayrım sadece üssünde bir işaret meselesi ve muhtemelen çarpımsal bir sabittir.

— Glen_b

Yorumlarda belirtildiği gibi, karakteristik fonksiyonlar her zaman mevcuttur, çünkü modül bir fonksiyonunun entegrasyonunu gerektirirler . Bununla birlikte, moment üreten fonksiyonun var olmasına gerek yoktur, özellikle de herhangi bir düzenin anlarının varlığını gerektirir. $1$

Biliyoruz ki zaman tüm integrallenebilirdir , biz tanımlayabilir her bir karmaşık sayısı . Sonra ve olduğunu fark ettik . $E[e^{tX}]$ $t$ $g(z):=E[e^{zX}]$ $z$ $M_X(t)=g(t)$ $\varphi_X(t)=g(it)$

— Davide Giraudo
kaynak