Nüfus yoğunluğu tahmini modeli

Her bir şekle (bir Sayım bloğu, yol, ilçe, eyalet, ne olursa olsun) çokgen / alan sabit bir değer atayarak nüfus yoğunluğunu eşlemek için (nüfus, alan, şekil) bir veritabanı kullanılabilir. Bununla birlikte, popülasyonlar genellikle çokgenlerinde eşit olarak dağılmaz. Dasimetrik haritalama , bu yoğunluk tahminlerini yardımcı verilerle hassaslaştırma işlemidir. Bu son derlemede belirtildiği gibi sosyal bilimlerde önemli bir sorundur .

Öyleyse, arazi örtüsünün (veya başka bir ayrık faktörün) yardımcı bir haritasına sahip olduğumuzu varsayalım. En basit durumda, nüfusun olmadığı yerleri tanımlamak ve buna bağlı olarak tüm popülasyonu kalan bölgelere atamak için su kemiği gibi bariz şekilde yaşanmaz alanları kullanabiliriz. Daha genel olarak, her Sayım birimi , , yüzey alanlarına sahip kısımlarına oyulmuştur . Böylece veri setimiz tuples listesine eklenir.k x j i i = 1 , 2 , … , $j$$k$$x_{ji}$$i = 1, 2, \ldots, k$

nerede nüfusu birimi (hatasız ölçülen varsayılır) ve - bu kesinlikle böyle değil rağmen - biz her varsayabiliriz da aynen ölçülür. Bu terimlerle amaç, her bir yi bir j x j i y $y_{j}$$j$$x_{ji}$$y_{j}$

burada her ve , arazi örtüsü sınıf ikamet eden birimi içindeki nüfusu tahmin eder . Tahminlerin tarafsız olması gerekir. Bu bölüm , Sayım poligonu ve arazi örtüsü sınıfının kesişimine yoğunluğunu atayarak nüfus yoğunluk haritasını . $z_{ji} \ge 0$$z_{ji}$$j$$i$$z_{ji}/x_{ji}$$j^{\text{th}}$$i^{\text{th}}$

Bu sorun, standart regresyon ayarlarından belirgin şekilde farklıdır:

1. Her bölümlemesi tam olmalıdır. $y_{j}$
2. Her bölümün bileşenleri negatif olmamalıdır.
3. Verilerin hiçbirinde (varsayım yoluyla) bir hata yoktur: tüm popülasyon sayıları ve tüm alanlar doğrudur. $y_{j}$$x_{ji}$

" Akıllı simetrik haritalama " yöntemi gibi bir çözüme birçok yaklaşım vardır , ancak hakkında okuduğum herkesin geçici öğeleri ve açık bir önyargı potansiyeli vardır. Yaratıcı, hesaplanabilir şekilde izlenebilir istatistiksel yöntemler öneren cevaplar arıyorum. Derhal başvuru c. - Ortalama 40 kişi sayım birimleri (büyük bir kesimin 0 kişi olmasına rağmen) ve yaklaşık bir düzine arazi örtüsü sınıfı. 10 $10^{5}$$10^{6}$

Mitchel Langford'un simetrik haritalama üzerindeki çalışmalarını kontrol etmek isteyebilirsiniz .

Galler'deki nüfus dağılımını temsil eden rasterler kurdu ve metodolojik yaklaşımlarından bazıları burada yararlı olabilir.

Güncelleme: Jeremy Mennis'in çalışmalarına da bakabilirsiniz (özellikle bu iki makale).

İlginç soru. İşte buna istatistiksel açıdan yaklaşmakta geçici bir bıçak. Her alana bir nüfus sayısı atamanın bir yolunu bulduğumuzu varsayalım . Bu ilişkiyi aşağıdaki gibi belirtin:$x_{ji}$

$z_{ji} = f(x_{ji},\beta)$

Açıkça, Ye dayadığımız her hangi işlevsel form en iyi şekilde gerçek ilişkiye bir yaklaşım ve dolayısıyla hatayı yukarıdaki denkleme dahil etme ihtiyacı olacaktır. Böylece, yukarıdakiler olur:$f(.)$

$z_{ji} = f(x_{ji},\beta) + \epsilon_{ji}$

nerede,

$\epsilon_{ji} \sim N(0,\sigma^2)$

Hata terimindeki dağılımsal hata varsayımı açıklama amaçlıdır. Gerekirse uygun şekilde değiştirebiliriz.

Ancak, kesin bir ayrışmasına ihtiyacımız var . Bu nedenle, hata terimlerine ve İşlevine aşağıdaki gibi bir kısıtlama getirmeliyiz :$y_{ji}$$f(.)$

$\sum_i{\epsilon_{ji}} = 0$

$\sum_i{f(x_{ji},\beta)} = y_j$

İstiflenmiş vektörü göstermek tarafından ve istiflenmiş deterministik koşullar ile . Böylece, var:${z_{ji}}$$z_j$${f(x_{ji},\beta)}$$f_j$

$z_j \sim N(f_j,\sigma^2 I) I({f_j}' e = y_j) I((z_j-f_j)' e = 0)$

nerede,

$e$ , uygun boyutta olanların bir vektörüdür.

İlk gösterge kısıtı, deterministik terimlerin toplamının , ikincisi de hata kalıntılarının 0'a eşit olması gerektiği fikrini yakalar.$y_j$

Gözlenen tam olarak ayrıştırdığımız için model seçimi daha . Belki de model seçimine yaklaşmanın bir yolu, en düşük hata varyansını, yani en düşük tahminini veren modeli seçmektir .$y_j$$\sigma^2$

Düzenle 1

Yukarıdaki formülasyondan biraz daha fazla düşünmek gerekenden daha fazla kısıtlamaya sahip olduğundan basitleştirilebilir.

$z_{ji} = f(x_{ji},\beta) + \epsilon_{ji}$

nerede,

$\epsilon_{ji} \sim N(0,\sigma^2)$

İstiflenmiş vektörü göstermek tarafından ve istiflenmiş deterministik koşullar ile . Böylece, var: z j f ( x j i , β ) f ${z_{ji}}$$z_j$${f(x_{ji},\beta)}$$f_j$

$z_j \sim N(f_j,\sigma^2 I) I({z_j}' e = y_j)$

nerede,

$e$ , uygun boyutta olanların bir vektörüdür.

üzerindeki kısıtlama kesin bir ayrışma sağlar.$z_j$