toplam şartlı, negatif binomların dağılımı nedir

Eğer iid negatif binom, o zaman dağılımı nedir verilen$x_1, x_2, \ldots, x_n$$(x_1, x_2, \ldots, x_n)$

$x_1 + x_2 + \ldots + x_n = N\quad$ ?

$N$ sabittir.

Eğer Poisson ise, toplam için koşullu multinomiyal olur. Poisson karışımı olduğu için negatif binom için doğru olup olmadığından emin değilim.$x_1, x_2, \ldots, x_n$$(x_1, x_2, \ldots, x_n)$

Bilmek istiyorsanız, bu bir ev ödevi sorunu değildir.

Geç cevap için özür dilerim, ama bu da beni rahatsız etti ve ben de cevabı buldum. Dağılım aslında Dirichlet-Multinomial ve bireysel negatiftir. Binom dağılımlarının, Fano faktörleri (varyans / ortalama oranı) aynı olduğu sürece aynı olmasına gerek yoktur.

Uzun cevap:

NB'yi şu şekilde parametreleştirirseniz:

$p(X = x | \lambda, \theta) = NB(x | \lambda, \theta) = {{\theta^{-1} \lambda + x - 1} \choose {x}} \left ( \frac{1}{1 + \theta^{-1}} \right)^x \left ( \frac{\theta^{-1}}{1 + \theta^{-1}} \right)^{\theta^{-1} \lambda}$

Sonra ve ve$E(X) = \lambda$$Var(X) = \lambda (1 + \theta)$

$\forall i: X_i \sim NB(\lambda_i, \theta)$ ima eder

$\sum X_i \sim NB(\sum \lambda_i, \theta)$

Sonra toplam verilen olasılığı alarak:

$\frac{\prod NB(x_i | \lambda_i, \theta)}{NB(\sum x_i | \sum \lambda_i, \theta)} = \frac{\left(\frac{1}{1+\theta^{-1} } \right) ^{\sum x_i} \left(\frac{\theta^{-1} }{1+\theta^{-1} } \right) ^{\theta^{-1} \sum \lambda_i} \prod {{\theta^{-1} \lambda_i + x_i - 1} \choose {x_i}}} { \left(\frac{1}{1+\theta^{-1} } \right) ^{\sum x_i} \left(\frac{\theta^{-1} }{1+\theta^{-1} } \right) ^{\theta^{-1} \sum \lambda_i} {{\theta^{-1} \sum\lambda_i + \sum x_i - 1} \choose {\sum x_i}}} = \\ = \frac{\Gamma(\sum x_i + 1) \Gamma(\theta^{-1} \sum\lambda_i) }{\Gamma(\theta^{-1} \sum\lambda_i + \sum x_i) } \prod \frac{ \Gamma(\theta^{-1}\lambda_i + x_i)}{\Gamma(x_i + 1) \Gamma(\theta^{-1}\lambda_i)} \\ =DM(x_1, ..., x_n| \theta^{-1}\lambda_1, ... , \theta^{-1} \lambda_n)$

burada Dirichlet-Multinomial olabilirliktir. Bu, basitçe, çok-katsayı katsayıları dışında, sol taraftaki kesirdeki birçok terimin iptal edilmesinden kaynaklanır ve sizi sadece DM olasılığındakiyle aynı olan gama fonksiyonu terimleriyle bırakır.$DM$

Ayrıca, bu modelin parametrelerinin artış olarak tanımlanabilir unutmayınız tüm eşzamanlı azalma ile aynı olasılıkla sonuçları.$\theta$$\lambda_i$

Bunun için en iyi referans Guimarães & Lindrooth'un (2007) 2 ila 3.1 bölümleri : Gruplandırılmış koşullu logit modellerinde aşırı dağılım için kontrol: Dirichlet-multinomial regresyonun hesaplamalı olarak basit bir uygulaması - maalesef ödeme duvarı yapamadım ödeme yapılmayan bir referans bulun.