Sonsuz rastgele geometrik grafikte rastgele yürüyüş yapan robotların yoğunluğu

Düğüm konumlarının yoğunluk olan bir Poisson noktası işlemini izlediği ve kenarların den daha yakın düğümler arasına yerleştirildiği sonsuz bir rastgele geometrik grafik düşünün . Bu nedenle, kenarların uzunluğu aşağıdaki PDF'yi takip eder: $\rho$ $d$

f (l) = {\begin{cases} \frac{2 l}{d^{2}} l \leq d \\ 0 l > d \end{cases}

$f(l)= \begin{cases} \frac{2 l}{d^2} \;\quad l \le d \\ 0 \qquad\; l > d \end{cases}$

Yukarıdaki grafikte, yarıçapı daire içindeki düğümleri başlangıç noktasında ortalanmış olarak düşünün . Varsayalım ki, zamanında , bahsi geçen düğümlerin her birine küçük bir robot yerleştiriyoruz. Yani, robotların uçaktaki yoğunluğu şu şekilde verilir: $r$ $t=0$

g (l) = {\begin{cases} ρ l \leq r \\ 0 l > d \end{cases}

$g(l)= \begin{cases} \rho \quad l \le r \\ 0 \quad\; l > d \end{cases}$ ; burada , başlangıç noktasından olan mesafedir. Aşağıdaki şekilde robotların ilk yerleştirilmesinin bir örneği gösterilmektedir.

l

$l$

misal

Her zaman adımında, robotlar rastgele komşulardan birine gider.

Şimdi sorum şu: robotların yoğunluk fonksiyonu nedir? olduğunda yoğunluk fonksiyonunu hesaplamak mümkün müdür ? $t>0$ $t \rightarrow \infty$

Üzgünüm çocuklar, hiçbir şekilde matematikçi değilim. Net olmayan bir şey varsa lütfen bize bildirin.

— Helyum
kaynak

Wolfgang Woess'in kitaplarını editör veya yazar olarak arayın. Yeni bir koleksiyon: Rastgele yürüyüşler, sınırlar ve spektrumlar. Birkhauser, 2011. 2000'den itibaren (Cambridge Univ.Press): Sonsuz grafikler ve gruplar üzerinde rastgele yürüyüşler.

— Deer Hunter

Teşekkürler Hunter. 2011 kitabına hızlıca baktım ama ilgili bir şey bulamadım. Şu anda 2000 modeline erişimim yok ama bulduğumda arayacağım. Kitaplardan daha spesifik bir şey hatırlıyorsanız lütfen bize bildirin.

— Helyum

İşte bir başlangıç.

Let düşündüğünüz topun yarıçapı olmak. $r = d/2$

İlk olarak, rastgele yürüyüşleri okuyun: http://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk . Yalnızca bir robotunuz olduğunu ve rastgele yürüyüşünüzün iki boyutlu bir kafes üzerinde olduğunu varsayın. Küçük , bu matris çarpımı ile hesaplamak kolaydır. adımlarından sonra basabileceğiniz veya inebileceğiniz sadece olası noktalar olduğunu biliyorsunuz . Let olmak bunlardan komşuluk matrisi köşe. Let tüm vektörü bir haricinde s içinde inci nokta. İlk satırının (ve sütununun) $t$ $n = 1 + 4t + 2t(t-1)$ $t$ $A_t$ $n \times n$ $n$ $e_{i,t} \in \{0,1\}^n$ $0$ $1$ $i$ $A_t$ başlangıç karşılık gelir. Daha sonra, olasılık Eğer bir tepe noktasına olduğu sonra adımları olan asal araçlar devrik (ve olan yükseltilmiş inci gücü). Bunu açıkça çözebilmeniz gerektiğinden eminim. normundaki başlangıç noktasından aynı mesafedeki her şeyin aynı yoğunluğa sahip olması gerçeğini kullanabilirsiniz . $i$ $t$ $e_{1,t}' A_t^t e_{i,t}$ $A^t = A \times A \cdots \times A$ $A$ $t$ $\cal L_1$

Bu ısınmadan sonra, orijinal sorunuza geçelim. adımdan sonra , sadece orijin çevresindeki yarıçapı içindeki sonlu grafiği dikkate almanız gerekir (başka her yerde sadece sonra ulaşılabilir olma olasılığı . $t$ $r(t+1)$ $0$ $t$ ) adımları tekrarlayın. Bu grafiğin bitişik matrisini yapmaya çalışın ve kafes durumu ile aynı şekilde çalışın - Bunu nasıl yapacağımı bilmiyorum, ama sanırım size yardımcı olacak bazı Markov teorisi var. Bizden yararlanabileceğiniz bir şey, bu dağılımın orijin etrafında simetrik olması gerektiğini bildiğiniz gerçeği, özellikle yoğunluk, orijinden uzaklığın sadece bir fonksiyonudur. Bu işleri kolaylaştırır, bu yüzden göz önünde bulundurmanız gereken tek şey, adımlarından sonra başlangıç noktasından uzaklık olma olasılığıdır . Bu sorunu adım sonra yoğunluğunuzu . bir fonksiyonu olacağını unutmayın $q$ $t$ $(x,y)$ $t$ $f_t(x,y)$ $f_t$ $r$ . bu dağılımdan örneklenmiş rastgele bir değişken olsun . $X$

Şimdi birden fazla robotla başlamayı da düşünmelisiniz. Birden fazla robotun aynı tepe noktasında olmasına izin verildiğini varsayarsak, bu tek bir robot kasasından daha zor olmaz. Robotlar daire üzerinde eşit olarak başlayabilir, bu daire üzerinde eşit olarak örneklenen rastgele değişkeni çağırabilir . Başladığınız bir Poisson robotu olacaktır, bu Poisson dağılımından örneklenmiş rastgele bir değişken olsun. Dolayısıyla, birden çok robotlardan olsun yoğunluk adildir . $U$ $M$ $MU + X$

dağılımını tam olarak tanımlamam dışında bunun çözüm için makul bir başlangıç olduğunu düşünüyorum . İyi şanslar ve düzgün bir soru. $X$

— user1448319
kaynak

Normal bir kafes adımından sonra işgal edilen toplam olası yer sayısını nasıl elde ettiğinizi açıklığa kavuşturabilir misiniz ? Örneğin, , ve takmak makul cevaplar vermez. Cevabınız mi?

t

$t$

t = 0

$t = 0$

t = 1

$t = 1$

t = 2

$t = 2$

t^{2}

$t^2$

— kardinal

oh, iyi yakala. olması gerekiyordu değil , olması gerekiyordu . başlangıç noktası, eksen, 4 üçgen dizidir. örneğin, , ve ve diğer 3 yönler ve ve diğer dört çeyrek daire için.

n = 1 + 4 t + 2 (t - 1)^{2}

$n = 1 + 4t + 2(t-1)^2$

n = 1 + 4 t + 2 t (t - 1) = 1 + 2 t + 2 t^{2}

$n= 1 + 4t + 2t(t-1) = 1 + 2t + 2t^2$

1

$1$

+ 4 t

$+4t$

+ 2 t (t - 1)

$+2t(t-1)$

t = 2

$t=2$

(0, 0)

$(0,0)$

(1, 0), (2, 0)

$(1,0), (2, 0)$

(1, 1)

$(1,1)$

— 1448319 18:03

İki adımdan sonra da nasıl olacaksınız ? (Belki tanımladığınız yürüyüşü anlamıyorum. üzerinde "olağan" rastgele yürüyüş düşünürsem , yani, dört kardinal yönde üniforma, o zaman, yanılmıyorsam, cevap benim ilk yorumda doğru olmalı.)

(1, 0)

$(1,0)$

Z^{2}

$\mathbb Z^2$

— kardinal

Üzerinde bitemez başlayarak iki adımda sonra . Ancak iki adım attıktan sonra yürüyebilirsiniz . yukarıda açıklandığı gibi oluşturmak için 2 adımda erişilebilir tüm noktaları göz önünde bulundurmalısınız .

(1, 0)

$(1,0)$

(0, 0)

$(0,0)$

(1, 0)

$(1,0)$

A_{t}

$A_t$

— user1448319 18:13

Bu doğru, ama söylediklerini ifade etmek için cümleyi aldım: adımlarından sonra kafesin üzerine inebileceğiniz sadece olası yer olduğunu biliyorsunuz . $n=1+4t+2(t−1)^2$ $t$ :-) Belki de bir düzenleme açıklığa kavuşmaya yardımcı olacaktır. Şerefe.

— kardinal