Üstel rastgele değişkenin koşullu beklentisi


13

Rastgele bir değişken için ( ) Sezgisel olarak eşit olmalıdır belleksizlik özelliği tarafından yana dağılımını ile aynı olan ancak sağa kaydırılır x .X~Tecrübe(λ)E[X]=1λE[X|X>x]x+E[X]X|X>xXx

Ancak, hafızasız özelliği somut bir kanıt vermek için kullanmakta zorlanıyorum. Herhangi bir yardım çok takdir edilmektedir.

Teşekkürler.


İpucu: fX|X>bir(x)=fX(x-bir) , "sağa a ile kaydırılmış" a karşılık gelen matematiksel ifadedir birve bu nedenle
E[X|X>bir]=-xfX|X>bir(x)dx=-xfX(x-bir)dx.
Şimdi sağdaki integralde bir değişken değişikliği yapın.
Dilip Sarwate

2
O Not X|X>x isimli kesilmiş bir dağıtım "altında kesildi x " .Specially o kaydırılır üstel dağılımı ve üstel yok kaymıştır belleksiz özelliği .
AD

Yanıtlar:


13

... hafızasız özelliğiyle dağılımıX|X>x ait aynıdırX fakat sağa kaydırılırx .

Let olasılık yoğunluk fonksiyonu (pdf) ifade . Sonra, ne doğru devlet için matematiksel formülasyonu yani şartlı ait pdf düşünülürse ile aynı olan ancak sağa kaydırılır olduğunu . Bu nedenle, , beklenen değer arasında verilen olduğu fX(t)X-X { X > x } X x - f X X > x ( t ) = f X ( t - x ) E [ X X > x ] X { X > x } E [ X X > x ]X{X>x}Xx -fX|X>x(t)=fX(t-x)E[X|X>x]X{X>x}

E[X|X>x]=-tfX|X>x(t)dt=-tfX(t-x)dt=-(x+u)fX(u)duikame üzerine u=t-x=x+E[X].
Hesaplamada yoğunluğunu açıkça kullanmadığımızı ve (i) bir pdf altındaki alanın ve (ii) tanım olduğunu açık bir şekilde entegre etmemiz bile gerekmediğini unutmayın. sürekli rastgele değişkenin pdf cinsinden beklenen değerininX1


9

İçin , etkinlik olasılığı vardır . Bu nedenle, ancak (hakim olduğu Yakınsama Teoremi tarafından Feynman'ın hile kullanarak, eğlenceli olduğu için) { X > x } P { X > x } = 1 - F X ( x ) = e - λ x > 0 E [ X X > x ] = E [ Xx>0{X>x}P{X>x}=1-FX(x)=e-λx>0E [ X

E[X|X>x]=E[Xben{X>x}]P{X>x},
( ) = - λ x d
E[Xben{X>x}]=xtλe-λtdt=(*)
= - λ d
(*)=-λxddλ(e-λt)dt=-λddλxe-λtdt
=-λ d
=-λddλ(1λxλe-λtdt)=-λddλ(1λ(1-FX(x)))
=-λddλ(e-λxλ)=(1λ+x)e-λx,
istenen sonucu verir
E[X|X>x]=1λ+x=E[X]+x.

2
Feynman'ın numarasının kullanımı ilginç olsa da, neden sadece
xtλe-λtdt=-te-λt|x+xe-λtdt=(x+1λ)e-λx?
Dilip Sarwate
Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.