İki gauss rasgele vektörün iç çarpımının moment üretme fonksiyonu

Herkes birbirinden bağımsız olarak olarak dağıtılan iki Gauss rasgele vektörün iç çarpımının moment üretme fonksiyonunu nasıl hesaplayabileceğimi önerebilir mi? Bunun için standart bir sonuç var mı? Herhangi bir işaretçi çok takdir edilmektedir. $\mathcal N(0,\sigma^2)$

— abhibhat
kaynak

İlk önce vakasını ele alalım . Sonunda keyfi (kolay) genelleme gelir . $\Sigma = \sigma\mathbb{I}$ $\Sigma$

İç ürünün gözlemlenmesiyle başlayın, iid değişkenlerinin toplamıdır, her biri iki bağımsız Normal değişkeninin ürünüdür , böylece ikincisinin mgf'sini bulma sorusunu azaltır, çünkü bir toplamın mgf'si mgfs ürünü. $(0,\sigma)$

Mgf entegrasyon yoluyla bulunabilir, ancak daha kolay bir yol vardır. Zaman ve , normal standart, $X$ $Y$

X Y = ((X + Y) / 2)^{2} - ((X - Y) / 2)^{2}

$XY = ((X+Y)/2)^2 - ((X-Y)/2)^2$

iki bağımsız ölçekli Chi-kare değişkeninin bir farkıdır. (Ölçek faktörü arasında sapmalar için eşit .) Bir ki-kare değişkenin mgf olduğu için , MGF ve olduğu ve mgf olan . Çarparak, istenen mgf'nin eşit olduğunu bulduk . $1/2$ $(X\pm Y)/2$ $1/2$ $1/\sqrt{1 - 2\omega}$ $((X+Y)/2)^2$ $1/\sqrt{1-\omega}$ $-((X-Y)/2)^2$ $1/\sqrt{1+\omega}$ $1/\sqrt{1-\omega^2}$

(Daha sonra başvurmak için, ve tarafından yeniden ölçeklendirildiğinde , ürünlerinin ile ölçeklendiğine dikkat edin , bu nedenle ölçeklenmelidir .) $X$ $Y$ $\sigma$ $\sigma^2$ $\omega$ $\sigma^2$

Bu tanıdık gelmelidir: bazı sabit faktörlere ve bir işarete kadar, serbestlik derecesine sahip bir Öğrenci dağılımı için olasılık yoğunluğuna benziyor . (Aslında, mgfs yerine karakteristik işlevlerle çalışsaydık, bir Öğrenci t PDF'sine bile daha yakın olan elde ederdik .) Böyle bir şey olmadığını aklınızdan çıkarmayın. dfs'li bir Öğrenci t olarak - tek önemli olan mgf'nin mahallesinde analitik olması ve bu açıkça (Binom Teoremi ile). $0$ $1/\sqrt{1 + \omega^2}$ $0$ $0$

Bu iç ürünün dağıtımı Gauss IID aşağıda hemen o -vectors mgf için eşit olan , bu mgf kat ürünü $n$ $n$

(1 - ω^{2} σ^{4})^{- n / 2}, n = 1, 2, \dots .

$(1 - \omega^2 \sigma^4)^{-n/2}, \quad n=1, 2, \ldots.$

By ararken Öğrenci t dağılımları karakteristik fonksiyonu, biz PDF kendisi tarafından verildiği (normalizasyon sabiti bulmak için cebir küçük bit ya da bir bütünleştirme) anlamak

f_{n, σ} (x) = \frac{2^{\frac{1 - n}{2}} | x |^{\frac{n - 1}{2}} K_{\frac{n - 1}{2}} (\frac{| x |}{σ^{2}})}{\sqrt{π} σ^{4} Γ (\frac{n}{2})}

$f_{n,\sigma}(x) = \frac{2^{\frac{1-n}{2}} |x|^{\frac{n-1}{2}} K_{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{|x|}{\sigma ^2}\right)}{\sqrt{\pi } \sigma ^4 \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}$

( bir Bessel fonksiyonudur). $K$

Örneğin, bu tür iç ürünlerin rasgele örneğinin 5'inin histogramı üzerine yerleştirilen PDF'nin bir grafiği burada ve : $10^5$ $\sigma=1/2$ $n=3$

Histogram

Bir simülasyondan mgf'nin doğruluğunu onaylamak daha zordur, ancak (Binom Teoreminden)

(1 + t^{2} σ^{4})^{- 3 / 2} = 1 - \frac{3 σ^{4} t^{2}}{2} + \frac{15 σ^{8} t^{4}}{8} - \frac{35 σ^{12} t^{6}}{16} + \frac{315 σ^{16} t^{8}}{128} + \dots,

$(1 + t^2 \sigma^4)^{-3/2} = 1-\frac{3 \sigma ^4 t^2}{2}+\frac{15 \sigma ^8 t^4}{8}-\frac{35 \sigma ^{12} t^6}{16}+\frac{315 \sigma ^{16} t^8}{128}+\ldots,$

anları okuyabiliriz (faktöriyellere bölünür). Simetri yaklaşık , sadece çift anlar önemlidir. İçin aşağıdaki değerler elde etmek, bu simülasyon ham karşılaştırılamaz edilmesi: $0$ $\sigma=1/2$

 k    mgf           simulation/k!
 2    0.09375       0.09424920
 4    0.00732422    0.00740436
 6    0.00053406    0.00054128
 8    0.00003755    0.00003674
10    2.58 e-6      2.17 e-6

Bekleneceği gibi, simülasyonun yüksek anları mgf tarafından verilen anlardan ayrılmaya başlayacaktır; ama en azından onuncu an boyunca mükemmel bir anlaşma var.

Bu arada, olduğunda dağılım iki katlıdır. $n=2$

Genel durumu ele almak için , iç ürünün koordinattan bağımsız bir nesne olduğunu belirterek başlayın. Bu nedenle ana yönlerini (özvektörleri) koordinatlar olarak alabiliriz. Bu koordinatlarda iç ürün, bağımsız Normal değişkenlerin bağımsız ürünlerinin toplamıdır , her bileşen ilişkili özdeğerine eşit bir varyansla dağıtılır. Bu nedenle, sıfır olmayan özdeğerlerin ( ) olması durumunda, mgf eşit olmalıdır $\Sigma$ $\sigma_1^2, \sigma_2^2, \ldots, \sigma_d^2$ $0 \le d \le n$

{(\prod_{i = 1}^{d} (1 - ω^{2} σ_{i}^{4}))}^{- 1 / 2} .

$\left(\prod_{i=1}^d (1 - \omega^2\sigma_i^4)\right)^{-1/2}.$

Bu muhakemede hata yapmadığımı doğrulamak için matris olduğu bir örnek hazırladım $\Sigma$

(\begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{8} \\ \frac{1}{2} & 1 & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{8} & - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{8} \\ \frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{8} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{array} \right)$

ve özdeğerlerinin

(σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2}, σ_{3}^{2}) = (\frac{1}{16} (17 + \sqrt{65}), \frac{1}{16} (17 - \sqrt{65}), \frac{3}{8}) \approx (1.56639, 0.558609, 0.375) .

$\left(\sigma_1^2, \sigma_2^2, \sigma_3^2\right) = \left(\frac{1}{16} \left(17+\sqrt{65}\right),\frac{1}{16} \left(17-\sqrt{65}\right),\frac{3}{8}\right)\approx \left(1.56639,0.558609,0.375\right).$

PDF'yi karakteristik fonksiyonun Fourier Dönüşümünü (burada verilen mgf formülünden türetildiği gibi) sayısal olarak değerlendirerek hesaplamak mümkün olmuştur: bu PDF'nin bir grafiği aşağıdaki şekilde kırmızı bir çizgi olarak gösterilmiştir. Aynı zamanda, üretilen IID dağılımı özellikleri Normal arasından dağılımı ve başka bir IID dağılımı özellikleri aynı şekilde, ve hesaplanan nokta ürünleri . Grafik, bu nokta ürünlerinin histogramını gösterir (en uç değerlerden bazılarını atlayarak - aralık ila ): $10^6$ $X_i$ $(0,\Sigma)$ $10^6$ $Y_i$ $10^6$ $X_i\cdot Y_i$ $-12$ $15$

Histogram ve PDF

Daha önce olduğu gibi, anlaşma mükemmel. Ayrıca, anlar sekizinci sırada iyi bir şekilde ve onuncuda bile oldukça iyi eşleşir:

 k    mgf           simulation/k!
 2     1.45313       1.45208
 4     2.59009       2.59605
 6     5.20824       5.29333
 8    11.0994       11.3115
10    24.4166       22.9982

ek

(9 Ağustos 2013'te eklendi.)

$f_{n,\sigma}$ başlangıçta "karıştırma yoğunluğunun gama dağılımı olduğu normal varyans-ortalama karışım" olarak tanımlanan varyans-gama dağılımının bir örneğidir . Standart bir konuma ( ), asimetri parametresi (simetriktir), ölçek parametresi ve şekil parametresi (Wikipedia parametrelerine göre) sahiptir. $0$ $0$ $\sigma^2$ $n/2$

— whuber
kaynak

Merhaba whuber, detaylı açıklama için çok teşekkürler. Yine de bir şüphem var. Tüm geneldir, iç çarpım toplamı genişleme terimler artık IID değildir; dolayısıyla toplamın mgf'si artık mgf'lerin ürünü değildir. Peki, yukarıdaki analizi daha genel bir Sigma'ya nasıl genelleştirebiliriz?

Σ

$\Sigma$

— Abhibhat

Bu genellemenin bazı (kolay) ayrıntılarını sağlamak ve burada yeni hiçbir şeyin yer almadığını netleştirmek için yeni bir bölüm ekledim. Verilerin sıfır olmayan araçlara sahip olması durumunda mgf'yi yazmak için mgfs'nin temel özelliklerini de kullanabilirsiniz, böylece sorunu tam genel olarak çözebilirsiniz.

— whuber