Gauss Süreci ve Wishart dağılımı için kovaryans matrisi

Genelleştirilmiş Wishart Processes (GWP) hakkındaki bu makaleyi okuyorum . Kağıt, kareli üstel kovaryans fonksiyonunu kullanarak farklı rasgele değişkenler ( Gauss Süreci sonrasında ) arasındaki kovaryansları, yani . Daha sonra bu kovaryans matrisinin GWP'yi takip ettiğini söylüyor. $K(x,x') = \exp\left(-\frac{|(x-x')|^2}{2l^2}\right)$

Doğrusal kovaryans fonksiyonundan ( ) $K(x,x') = x^Tx'$ hesaplanan bir kovaryans matrisinin Wishart Dağılımını uygun parametrelerle izlediğini düşünürdüm.

Sorum şu: Kareli üstel kovaryans fonksiyonuna sahip bir Wishart dağılımını takip etmek için kovaryansın nasıl hala varsayabiliriz? Ayrıca, genel olarak, bir Wishart dağıtılmış kovaryans matrisi üretmek için bir kovaryans fonksiyonunun gerekli koşulu nedir?

— steadyfish
kaynak

Karıştırılan şey, Gauss işleminin tanımlandığı ortam alanı ve bir Wishart dağılımı elde etmek için sonlu boyutlu Gauss rasgele değişkenini dönüştüren işlem açısından kovaryans spesifikasyonudur .

Eğer a, , ortalama 0 ve kovaryans matrisi ile boyutlu Gauss rastgele değişken (kolon vektörü) , dağılımı bir Wishart dağılımı olan . bir matrisi olduğuna dikkat edin . Bu, kuadratik formun nasıl olduğu hakkında genel bir sonuçtur. $\mathbf{X} \sim \mathcal{N}(0, \Sigma)$ $p$ $\Sigma$ $\mathbf{W} = \mathbf{X} \mathbf{X}^T$ $W_p(\Sigma, 1)$ $\mathbf{W}$ $p \times p$

x \mapsto x x^{T}

$\mathbf{x} \mapsto \mathbf{x} \mathbf{x}^T$ Gauss dağılımını Wishart dağılımına dönüştürür. Pozitif tanımlanmış kovaryans matrisi

herhangi bir seçimini içerir . Eğer iI gözlemleriniz

ise

ile

dağılımı bir Wishart

dağılımıdır. Tarafından bölmek

biz ampirik kovaryans matrisi olsun

bir tahminini

Σ

$\Sigma$

X_{1}, \dots, X_{n}

$\mathbf{X}_1, \ldots, \mathbf{X}_n$

W_{i} = X_{i} X_{i}^{T}

$\mathbf{W}_i = \mathbf{X}_i \mathbf{X}_i^T$

W_{1} + \dots + W_{n}

$\mathbf{W}_{1} + \ldots + \mathbf{W}_n$

W_{p} (Σ, n)

$W_p(\Sigma, n)$

n

$n$

-

$-$

Σ

$\Sigma$ .

Gauss bir çevre alanı olduğundan işleyen için, olduğu gösterim amacıyla sağlar ki olarak rastgele değişkenler ortam alan eleman tarafından dizine, öyle ki. Yani, bir süreci ele alıyoruz . Sonlu boyutlu marjinal dağılımları Gauss ise, yani ise Gauss'dur (ve basitlik için, burada ortalama 0 ile $\mathbb{R}$ $(X(x))_{x \in \mathbb{R}}$ Tüm için . OP tarafından belirtildiği gibikovaryans fonksiyonununseçimi, kovaryans matrisini, yani

X (x_{1}, \dots, x_{p}) := (X (x_{1}), \dots, X (x_{p}))^{T} \sim N (0, Σ (x_{1}, \dots, x_{p}))

$\mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p) := (X(x_1), \ldots, X(x_p))^T \sim \mathcal{N}(0, \Sigma(x_1, \ldots, x_p))$

x_{1}, \dots, x_{p} \in R

$x_1, \ldots, x_p \in \mathbb{R}$

seçiminin dikkate alınmaması durumunda

dağılımı Wishart

cov (X (x_{i}), X (x_{j})) = Σ (x_{1}, \dots, x_{p})_{i, j} = K (x_{i}, x_{j}) .

$\text{cov}(X(x_i), X(x_j)) = \Sigma(x_1, \ldots, x_p)_{i,j} = K(x_i, x_j).$

K

$K$

X (x_{1}, \dots, x_{p}) X (x_{1}, \dots, x_{p})^{T}

$\mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p) \mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p)^T$

dağıtım.

W_{p} (Σ (x_{1}, \dots, x_{p}), 1)

$W_p(\Sigma(x_1, \ldots, x_p), 1)$

— NRH
kaynak

Bunu cevapladığınız için teşekkürler. Birkaç sorum var reg. cevabınız -Guussian dist'i Wishart dist'e dönüştüren dönüşümü, + ve kesin cov matrisinin herhangi bir seçeneği için tutarken, bu cov matrisi için ne gibi seçeneklerimiz var? Ayrıca, sadece açıklığa kavuşturmak için - cov işlevi tarafından tanımlanan cov matrisi için, i ve j Gauss Süreci'nin ortam boşluğundaki öğeleri belirtir (örneğin, geçici bir süreçse, o zaman t_1 ve t_2 zaman anları)?

— steadyfish

i

$i$

j

$j$

x_{i}

$x_i$

x_{j}

$x_j$

Σ

$\Sigma$

-

$-$

Σ

$\Sigma$

Σ

$\Sigma$

x^{T} x

$x^{T}x$

@steadyfish, oh, anlıyorum. Aslında, aktarımlara ve vektörlerin satır veya sütun vektörleri olup olmadığına özensiz davrandım. Bunu şimdi kesinleştirdim ve ampirik kovaryans matrisi ile teorik kovaryans matrisi arasındaki ilişkiye biraz ekledim. Teorik gözlemler olarak tanımlanmamıştır.

— NRH