İki yönlü bir ANOVA'da etkileşim için NULL hipotezi nedir?

Her biri iki seviyeli (A1, A2 ve B1, B2) ve bir yanıt değişkeni (y) olan iki faktöre (A ve B) sahip olduğumuzu varsayalım.

Tür iki yönlü bir ANOVA yaparken:

y~A+B+A*B

Üç sıfır hipotezini test ediyoruz:

1. A faktörü anlamında bir fark yoktur
2. B faktörü ortalamaları arasında fark yoktur
3. A ve B faktörleri arasında etkileşim yoktur

, ilk iki hipotezin formüle edilmesi kolaydır (1 için )$H_0:\; \mu_{A1}=\mu_{A2}$

Fakat hipotez 3 nasıl formüle edilmelidir?

edit : ve nasıl daha sonra iki düzey durumunda formüle edilebilir?

Teşekkürler.

Bence hipotezi ve buna karşılık gelen testi açıkça ayırmak önemlidir. Aşağıdakiler için, denekler arasında dengeli, CRF- tasarımı (eşit hücre boyutları, Kirk'ün notasyonu: Tamamen Rastgele Faktöriyel tasarım) olduğunu varsayıyorum .$pq$

i j A k B 1 ≤ i ≤ n 1 ≤ j ≤ p 1 ≤ k ≤ q Y i j k = μ j k + ϵ i ( j k )$Y_{ijk}$ gözlem tedavi içinde faktörü ve tedavi faktörü ile , ve . Model$i$$j$$A$$k$$B$$1 \leq i \leq n$$1 \leq j \leq p$$1 \leq k \leq q$$Y_{ijk} = \mu_{jk} + \epsilon_{i(jk)}, \quad \epsilon_{i(jk)} \sim N(0, \sigma_{\epsilon}^2)$

Tasarım: $\begin{array}{r|ccccc|l} ~ & B 1 & \ldots & B k & \ldots & B q & ~\\\hline A 1 & \mu_{11} & \ldots & \mu_{1k} & \ldots & \mu_{1q} & \mu_{1.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A j & \mu_{j1} & \ldots & \mu_{jk} & \ldots & \mu_{jq} & \mu_{j.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A p & \mu_{p1} & \ldots & \mu_{pk} & \ldots & \mu_{pq} & \mu_{p.}\\\hline ~ & \mu_{.1} & \ldots & \mu_{.k} & \ldots & \mu_{.q} & \mu \end{array}$

j k ϵ i ( j k ) i ( ) j k $\mu_{jk}$ hücre beklenen değer , kişi ölçümü ile ilgili hata o hücrede. Gösterimde gösterir endeksleri herhangi bir kişi için sabit o kişinin yalnızca bir durumda görülmektedir, çünkü. Etkiler için birkaç tanım:$jk$$\epsilon_{i(jk)}$$i$$()$$jk$$i$

j$\mu_{j.} = \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \mu_{jk}$ ( faktör tedavisi için ortalama beklenen değer )$j$$A$

k$\mu_{.k} = \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \mu_{jk}$ ( faktör tedavisinin için ortalama beklenen değer )$k$$B$

j A ∑ p j = 1 α j = $\alpha_{j} = \mu_{j.} - \mu$ ( faktörünün tedavisinin etkisi , )$j$$A$$\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j} = 0$

k B ∑ q k = 1 β k = $\beta_{k} = \mu_{.k} - \mu$ ( faktör tedavisinin etkisi , )$k$$B$$\sum_{k=1}^{q} \beta_{k} = 0$

j A k B ∑ p j = 1 ( α β ) j k = $(\alpha \beta)_{jk} = \mu_{jk} - (\mu + \alpha_{j} + \beta_{k}) = \mu_{jk} - \mu_{j.} - \mu_{.k} + \mu$
( faktör tedavisi faktör tedavisi ile kombinasyonu için etkileşim etkisi ,$j$$A$$k$$B$$\sum_{j=1}^{p} (\alpha \beta)_{jk} = 0 \, \wedge \, \sum_{k=1}^{q} (\alpha \beta)_{jk} = 0)$

j A k B ∑ p j = 1 α ( k ) j = $\alpha_{j}^{(k)} = \mu_{jk} - \mu_{.k}$
( faktör sabit tedavisi içindeki faktör tedavisi için koşullu ana etki ,$j$$A$$k$$B$$\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j}^{(k)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \alpha_{j}^{(k)} = \alpha_{j} \quad \forall \, j, k)$

k B j A ∑ q k = 1 β ( j ) k = $\beta_{k}^{(j)} = \mu_{jk} - \mu_{j.}$
tedavisi için (şartlı temel etkisi faktörü sabit tedavi içinde faktörü ,$k$$B$$j$$A$$\sum_{k=1}^{q} \beta_{k}^{(j)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \beta_{k}^{(j)} = \beta_{k} \quad \forall \, j, k)$

Bu tanımlarla, model şu şekilde de yazılabilir: $Y_{ijk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} + (\alpha \beta)_{jk} + \epsilon_{i(jk)}$

Bu, etkileşimin olmadığı null hipotezini birkaç eşdeğer şekilde ifade etmemizi sağlar:

1. 0 μ j k = μ + α j + β $H_{0_{I}}: \sum_{j}\sum_{k} (\alpha \beta)^{2}_{jk} = 0$
   (tüm bireysel etkileşim terimleri , öyle ki , her iki faktörün de - yukarıda tanımlandığı gibi - tedavi etkilerinin her yerde katkı maddesi olduğu anlamına gelir.)$0$$\mu_{jk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} \, \forall j, k$

2. j A α $H_{0_{I}}: \alpha_{j}^{(k)} - \alpha_{j}^{(k')} = 0 \quad \forall \, j \, \wedge \, \forall \, k, k' \quad (k \neq k')$
   (herhangi bir tedavi için her şartlı temel etkisi faktörü aynıdır ve bu nedenle eşit . Bu, temel olarak Dason yanıtıdır.)$j$$A$$\alpha_{j}$

3. k B β $H_{0_{I}}: \beta_{k}^{(j)} - \beta_{k}^{(j')} = 0 \quad \forall \, j, j' \, \wedge \, \forall \, k \quad (j \neq j')$
   ( faktör herhangi bir tedavisi için tüm koşullu ana etkiler aynıdır ve bu nedenle eşittir .)$k$$B$$\beta_{k}$

4. μ j k A x B $H_{0_{I}}$ : beklenen değerlerini gösteren bir diagramm olarak faktör seviyelerine sahip ile -Axis ve faktör seviyelerine ayrı çizgiler olarak çizilmiş, farklı çizgiler paraleldir.$\mu_{jk}$$A$$x$$B$$q$

Bir etkileşim bize, A faktörü seviyelerinin, uyguladığınız B faktörü seviyesine göre farklı etkileri olduğunu söyler. Böylece bunu doğrusal bir kontrastla test edebiliriz. A1B1'in A1 ve B1 vb. Alan grubun ortalamasını temsil ettiği C = (A1B1 - A1B2) - (A2B1 - A2B2) olsun. Burada A1B1 - A1B2'ye bakıyoruz, bu da A1'yi uygularken B faktörünün etkisi. Etkileşim yoksa, A2: A2B1 - A2B2'yi uygularken B etkisi ile aynı olmalıdır. Eğer bunlar aynıysa, testleri kullanmak için farkları 0 olmalıdır:

$H_0: C = 0\quad\text{vs.}\quad H_A: C \neq 0.$