Örnek otocovaryans fonksiyonu hakkında soru

Bir zaman serisi analiz kitabı okuyorum ve örnek otokovaryans formülü kitapta şu şekilde tanımlanıyor:

\hat{γ} (h) = n^{- 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (x_{t + h} - \bar{x}) (x_{t} - \bar{x})

$\widehat{\gamma}(h) = n^{-1}\displaystyle\sum_{t=1}^{n-h}(x_{t+h}-\bar{x})(x_t-\bar{x})$

ile $\widehat{\gamma}(-h) = \widehat{\gamma}(h)\;$ için $\;h = 0,1, ..., n-1$ . $\bar{x}$ ortalama.

Birisi sezgisel olarak neden toplamı bölündüğümüzü açıklayabilir mi? $n$ ve tarafından değil $n-h$ ? Kitap, bunun yukarıdaki formülün negatif olmayan kesin bir işlev olduğu ve bu nedenle $n$ tercih edilir, ancak bu benim için net değil. Birisi bunu kanıtlayabilir veya bir örnek ya da bir şey gösterebilir mi?

Bana göre ilk başta sezgisel olan şey, $n-h$ . Bu, otokovaryansın tarafsız veya önyargılı bir tahmincisi mi?

time-series probability mathematical-statistics

— jjepsuomi
kaynak

Zaman diziniz tam olarak

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

$x_1, x_2, \ldots, x_n$ diğerleriyle

x_{i}

$x_i$ ,

i < 1

$i < 1$ veya

i > n

$i >n$ bilinmiyorsa, toplamın mutlaka

t = n - h

$t=n-h$ ne zaman

x_{t + h} = x_{n}

$x_{t+h}=x_n$ toplamda gerçekleşir: sonraki terim (için

t = n - h + 1

$t=n-h+1$ ) toplamda yer alacaktır

x_{n - h + 1 + h} = x_{n + 1}

$x_{n-h+1+h}=x_{n+1}$ içinde ve

x_{n + 1}

$x_{n+1}$ örneğin bir parçası değil.

— Dilip Sarwate

@Dilip Sorunun bu olduğunu düşünmüyorum: soru,

n

$n$ veya

n - h

$n-h$ tanımında

\hat{γ}

$\hat{\gamma}$ .

— whuber

$\widehat{\gamma}$ kovaryans matrisleri oluşturmak için kullanılır: "kez" verilir $t_1, t_2, \ldots, t_k$ , rastgele vektörün kovaryansının $X_{t_1}, X_{t_2}, \ldots, X_{t_k}$ (o zamanlar rastgele alandan elde edilen) matristir $\left(\widehat{\gamma}(t_i - t_j), 1 \le i, j \le k\right)$ . Tahmin gibi birçok problem için, tüm bu matrislerin nonsüler olması çok önemlidir. Varsayılan kovaryans matrisleri olarak, herhangi bir negatif öz değere sahip olamayacakları açıktır, bu nedenle hepsinin pozitif olarak tanımlanmış olması gerekir.

İki formül arasındaki ayrımın en basit durumu

\hat{γ} (h) = n^{- 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (x_{t + h} - \bar{x}) (x_{t} - \bar{x})

$\widehat{\gamma}(h) = n^{-1}\sum_{t=1}^{n-h}(x_{t+h}-\bar{x})(x_t-\bar{x})$

{\hat{γ}}_{0} (h) = (n - h)^{- 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (x_{t + h} - \bar{x}) (x_{t} - \bar{x})

$\widehat{\gamma}_0(h) = (n-h)^{-1}\sum_{t=1}^{n-h}(x_{t+h}-\bar{x})(x_t-\bar{x})$

görünür ne zaman $x$ uzunluğu var $2$ ; söyle, $x = (0,1)$ . İçin $t_1=t$ ve $t_2 = t+1$ hesaplamak basit

{\hat{γ}}_{0} = (\begin{array}{cc} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{array}),

$\widehat{\gamma}_0 = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{array} \right),$

tekil olan

\hat{γ} = (\begin{array}{cc} \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} & \frac{1}{4} \end{array})

$\widehat{\gamma} = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{4} & -\frac{1}{8} \\ -\frac{1}{8} & \frac{1}{4} \end{array} \right)$

özdeğerleri olan $3/8$ ve $1/8$ , o zaman pozitif-tanımlıdır.

Benzer bir fenomen $x = (0,1,0,1)$ , nerede $\widehat{\gamma}$ pozitif tanımlı ama $\widehat{\gamma}_0$ - zamanlara uygulandığında $t_i = (1,2,3,4)$ , demek - bir rütbe matrisine dönüşür $1$ (girişleri arasında $1/4$ ve $-1/4$ ).

(Burada bir model var: herhangi biri için problemler ortaya çıkıyor $x$ şeklinde $(a,b,a,b,\ldots,a,b)$ .)

Çoğu uygulamada bir dizi gözlem $x_t$ çoğu için o kadar uzun ki $h$ ilgi - daha az $n$ --arasındaki fark $n^{-1}$ ve $(n-h)^{-1}$ hiçbir sonucu yoktur. Bu yüzden pratikte ayrım önemli değildir ve teorik olarak pozitif tanımlamaya duyulan ihtiyaç, tarafsız tahminler için olası herhangi bir isteği güçlü bir şekilde geçersiz kılar.

— whuber
kaynak

Her iki tahmin edicinin de nh ile böleseniz bile önyargılı tahmin ediciler olduğuna dikkat etmek önemlidir.

— koştu

@Ran Bu tahmin edicilerin önyargılı olduğundan emin olmanıza rağmen, bunun önemli bir konu olduğunu kabul etmiyorum: son paragrafta belirtildiği gibi, az miktarda önyargı herkesin en az endişe duyduğu şeydir. Tarafsız tahminci,

(n - h - 1)^{- 1}

$(n-h-1)^{-1}$ , neredeyse farklı

\hat{γ}

$\widehat{\gamma}$ veya

{\hat{γ}}_{0}

$\widehat{\gamma}_0$ .

— whuber

Çok güzel cevap +1. Belki de

V {\hat{γ}}_{0} (h) = O (1 / (n - h))

$\mathbb{V} \hat{\gamma}_0(h) = O(1/(n-h))$ , süre

V \hat{γ} (h) = O (1 / n)

$\mathbb{V} \hat{\gamma}(h) = O(1/n)$ , Öyleyse ne zaman

h

$h$ yakın

n

$n$ , tahminci

{\hat{γ}}_{0} (h)

$\hat{\gamma}_0(h)$ düzensiz olabilir,

\hat{γ} (h)

$\hat{\gamma}(h)$ homojen olarak küçük örnekleme dalgalanmaları olacaktır

\forall h

$\forall h$ . Bu noktanın ayrıntılı bir tartışması için bkz. Örneğin Priestly (1981) "Spektral Analiz ve Zaman Serisi" p324

— Colin T Bowers