Gauss-Markov teoremi: MAVİ ve OLS

Wikipedia'da Guass-Markov teoremini okuyorum ve birinin teoremin ana noktasını bulmama yardım edebileceğini umuyordum.

Matris biçiminde doğrusal bir model olduğunu varsayıyoruz: ve biz MAVİ, arıyoruz .

$$y = X\beta +\eta$$ $\widehat\beta$

Uygun olarak , bu , bir işaretleyebilecek ve "kalıntı" "hatası". (Yani Gauss-Markov sayfasındaki kullanımın tersi).$\eta = y - X\beta$$\varepsilon = \widehat\beta - \beta$

OLS (normal en küçük kareler) tahmincisi argmin'i olarak türetilebilir .$||\text{residual}||_2^2 = ||\eta||_2^2$

Şimdi beklenti operatörünü gösterelim. Anladığım kadarıyla, Gauss-Markov teoreminin bize söylediği şey, eğer ve , sonra argmin, nin doğrusal, yansız tahmin edicileri, OLS tahmincisi.$\mathbb{E}$$\mathbb{E}(\eta) = 0$$\text{Var}(\eta) = \sigma^2 I$$\mathbb{E}(||\text{error}||_2^2) = \mathbb{E} (||\varepsilon||_2^2)$

Yani

$$\text{argmin}_{\text{} \widehat\beta(y)} \, ||\eta||_2^2 \;=\; (X'X)^{-1}X'y \;=\; \text{argmin}_{\text{linear, unbiased } \widehat\beta(y)} \, \mathbb{E}(||\varepsilon||_2^2)$$

Anlayışım doğru mu? Ve eğer öyleyse, makalede daha belirgin bir vurguya layık olduğunu söyleyebilir misiniz?

Sana için EKK kanıtlamak için arıyorsanız doğru soru, ama anlaşılan değilim emin eğer MAVİ olduğu (tarafsız tahmincisi doğrusal en iyi) aşağıdaki iki şeyi ispat etmek zorunda: Öncelikle bu tarafsız ve ikincisi tüm doğrusal yansız tahmin ediciler arasında en küçük olanıdır.$\hat{\beta}$$\hat{\beta}$$Var(\hat{\beta})$

OLS tahmincisinin tarafsız olduğuna dair kanıt burada bulunabilir http://economictheoryblog.com/2015/02/19/ols_estimator/

ve in tüm doğrusal yansız tahminciler arasında en küçük olduğuna dair kanıt burada bulunabilir http://economictheoryblog.com/2015/02/26/markov_theorem/$Var(\hat{\beta})$

Öyle görünüyor ki önsezim doğrulandı, örneğin Giriş Ekonometrisi kitabının 375. sayfasında . İlgili alıntı: