R'de yarı sinüzoidal model için uygun olanı nasıl bulabilirim?

Baltık Denizi'nin deniz yüzeyinin sıcaklığının her yıl aynı olduğunu varsaymak istiyorum, sonra bunu bir fonksiyon / doğrusal modelle tanımlamak istiyorum. Benim düşüncem, yılı bir ondalık sayı olarak girmek (ya da num_months / 12) ve sıcaklığın o zaman ne olacağı hakkında bilgi almaktı. R'deki lm () fonksiyonuna atıldığında, sinüzoidal verileri tanımıyor, bu yüzden sadece düz bir çizgi oluşturuyor. Bu yüzden sin () fonksiyonunu bir I () braketi içine koydum ve fonksiyona manüel olarak sığdırmak için birkaç değer denedim, ve bu istediğime yaklaşıyor. Fakat deniz yaz aylarında daha hızlı ısınıyor ve sonbaharda daha yavaş soğuyor ... Bu yüzden model ilk yıl yanlıştır, daha sonra birkaç yıl sonra daha düzelir ve daha sonra gelecekte daha fazla olur ve daha yanlış.

R'nin benim için modeli tahmin etmesini nasıl sağlayabilirim, böylece sayıları kendim tahmin etmek zorunda kalmayacağım? Burada anahtar, her yıl aynı değerleri üretmesini istiyorum, sadece bir yıl için doğru değil. Matematik hakkında daha fazla şey bilseydim, belki günah () yerine Poisson ya da Gaussian gibi bir şey olduğunu tahmin edebilirdim, ama bunu nasıl yapacağımı da bilmiyorum. İyi bir cevaba yaklaşmak için her türlü yardım büyük memnuniyetle karşılanacaktır.

İşte kullandığım veriler ve şimdiye kadarki sonuçları gösterecek kod:

# SST from Bradtke et al 2010
ToY <- c(1/12,2/12,3/12,4/12,5/12,6/12,7/12,8/12,9/12,10/12,11/12,12/12,13/12,14/12,15/12,16/12,17/12,18/12,19/12,20/12,21/12,22/12,23/12,24/12,25/12,26/12,27/12,28/12,29/12,30/12,31/12,32/12,33/12,34/12,35/12,36/12,37/12,38/12,39/12,40/12,41/12,42/12,43/12,44/12,45/12,46/12,47/12,48/12)
Degrees <- c(3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5,3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5,3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5,3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5)
SST <- data.frame(ToY, Degrees)
SSTlm <- lm(SST$Degrees ~ I(sin(pi*2.07*SST$ToY)))
summary(SSTlm)
plot(SST,xlim=c(0,4),ylim=c(0,17))
par(new=T)
plot(data.frame(ToY=SST$ToY,Degrees=8.4418-6.9431*sin(2.07*pi*SST$ToY)),type="l",xlim=c(0,4),ylim=c(0,17))

Doğrusal regresyon ile yapılabilir -

Sadece bir ikisine de ihtiyacım ve her frekansta dönem.$\sin$$\cos$

Mevsimselliği herhangi bir genlikte ve fazda ele almak için doğrusal bir regresyonda ve terimini kullanabilmenizin nedeni, aşağıdaki trigonometrik kimliktir :$\sin$$\cos$

Genlik ile birlikte bir 'genel' sinüs dalgası ve faz , , lineer bir kombinasyonu olarak yazılabilir burada ve gibi olduğu ve . İki eşdeğer olduğunu görelim:φ A günah ( x + φ ) bir günah x + b çünkü x a b A = $A$$\varphi$$A \sin (x + \varphi)$$a\sin x+b\cos x$$a$$b$ günahφ=$A=\sqrt{a^2+b^2}$$\sin\varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

İşte 'temel' model:

 SSTlm <- lm(Degrees ~ sin(2*pi*ToY)+cos(2*pi*ToY),data=SST)
 summary(SSTlm)

[Kesik]

Coefficients:
                      Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)              8.292      0.135   61.41   <2e-16 *** 
sin(2 * pi * ToY)       -5.916      0.191  -30.98   <2e-16 ***  
cos(2 * pi * ToY)       -4.046      0.191  -21.19   <2e-16 *** 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 0.9355 on 45 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.969,      Adjusted R-squared: 0.9677 
F-statistic: 704.3 on 2 and 45 DF,  p-value: < 2.2e-16 

 plot(Degrees~ToY,ylim=c(1.5,16.5),data=SST)
 lines(SST$ToY,SSTlm$fitted,col=2)

Düzenleme: Önemli not - terimi, işlev süresi bir dönem = 1 birim olacak şekilde ayarlandığı için çalışır . Periyot 1'den farklıysa, periyodun olduğunu söyleyin , o zaman bunun yerine .t ω ( 2 π / ω $2\pi\,t$$t$$\omega$$(2\pi/\omega)\, t$

İşte ikinci harmonik ile model:

 SSTlm2 <- lm(Degrees ~ sin(2*pi*ToY)+cos(2*pi*ToY)
                        +sin(4*pi*ToY)+cos(4*pi*ToY),data=SST)
 summary(SSTlm2)

[Kesik]

Coefficients:
                  Estimate Std. Error  t value Pr(>|t|)    
(Intercept)        8.29167    0.02637  314.450  < 2e-16 ***  
sin(2 * pi * ToY) -5.91562    0.03729 -158.634  < 2e-16 ***  
cos(2 * pi * ToY) -4.04632    0.03729 -108.506  < 2e-16 ***  
sin(4 * pi * ToY)  1.21244    0.03729   32.513  < 2e-16 ***  
cos(4 * pi * ToY)  0.33333    0.03729    8.939 2.32e-11 ***  
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 0.1827 on 43 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9989,     Adjusted R-squared: 0.9988 
F-statistic:  9519 on 4 and 43 DF,  p-value: < 2.2e-16 

 plot(Degrees~ToY,ylab="Degrees",xlab="ToY",ylim=c(1.5,16.5),data=SST)
 lines(SSTlm2$fitted~ToY,col=2,data=SST)

... 6*pi*ToYvb. ile vb. Verilerde küçük bir miktar gürültü olsaydı, muhtemelen bu ikinci modelde dururdum.

Yeterince terim ile asimetrik ve hatta pürüzlü periyodik dizilere tam olarak sığabilirsiniz, ancak ortaya çıkan uyarılar "kıpırdayabilir". İşte üçüncü (kırmızı) ve dördüncü (yeşil) harmoniklere sahip, asimetrik bir fonksiyon (bu bir testere dişi - periyodik fonksiyonunuzun ölçekli bir versiyonuna eklendi). Yeşil uyum ortalama olarak biraz daha yakın ancak “dikkat çekici” (uygunluk her noktadan geçse bile uygunluk noktalar arasında çok tuhaf olabilir).

Buradaki periyodiklik, verilerdeki mevsimsel bir model için yalnızca 12 df olduğunu gösterir. Modeldeki engellemeyle, 11 mevsimsel parametre için sadece yeterli derecede serbestliğe sahipsiniz. Eklemekte olduğunuz bu yana iki , her harmonik sadece size izin verecektir sığabilecek son armonik ile terimleri birini son dönem için onlardan, altıncı harmonik (ve bu biri olmak zorunda ; terimi all olacaktır sıfır, cos ise 1 ile -1 arasında değişir.$\cos$$\sin$

Düzgün olmayan serilerde bu yaklaşımdan daha yumuşak olan uyarlar istiyorsanız, periyodik spline uydurmalara bakmak isteyebilirsiniz .

Yine bir başka yaklaşım mevsimsel mankenleri kullanmaktır, ancak düzgün / periyodik bir işlevse sin / cos yaklaşımı genellikle daha iyidir.

Mevsimsellik için bu tür bir yaklaşım, durum uzaylı modellerde trigonometrik veya yapay mevsimsellik kullanmak gibi mevsimselliğin değiştiği durumlara da adapte olabilir.

Burada tartışılan doğrusal model yaklaşımının kullanımı basit olmakla birlikte, @ COOLSerdash'ın doğrusal olmayan regresyon yaklaşımının bir avantajı, çok daha geniş bir durum yelpazesiyle başa çıkabilmesidir - doğrusal bir durumda olmadan önce çok fazla değişiklik yapmanız gerekmez. regresyon artık uygun değildir, ancak doğrusal olmayan en küçük kareler hala kullanılabilir ( bilinmeyen bir süreye sahip olmak böyle bir durum olabilir).

Sorunuzda sağladığınız sıcaklık her yıl tam olarak tekrar eder. Bunun dört yıldaki sıcaklığın ölçülmediğinden şüpheleniyorum. Örneğinizde, bir modele ihtiyacınız olmaz, çünkü sıcaklıklar tam olarak tekrar eder. Fakat aksi takdirde, nlsişlevi bir sinüs eğrisine sığdırmak için kullanabilirsiniz :

ToY <- c(1/12,2/12,3/12,4/12,5/12,6/12,7/12,8/12,9/12,10/12,11/12,12/12,13/12,14/12,15/12,16/12,17/12,18/12,19/12,20/12,21/12,22/12,23/12,24/12,25/12,26/12,27/12,28/12,29/12,30/12,31/12,32/12,33/12,34/12,35/12,36/12,37/12,38/12,39/12,40/12,41/12,42/12,43/12,44/12,45/12,46/12,47/12,48/12)
Degrees <- c(3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5,3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5,3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5,3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5)
SST <- data.frame(ToY, Degrees)

par(cex=1.5, bg="white")
plot(Degrees~ToY,xlim=c(0,4),ylim=c(0,17), pch=16, las=1)

nls.mod <-nls(Degrees ~ a + b*sin(2*pi*c*ToY), start=list(a = 1, b = 1, c=1))

co <- coef(nls.mod) 
f <- function(x, a, b, c) {a + b*sin(2*pi*c*x) }

curve(f(x, a=co["a"], b=co["b"], c=co["c"]), add=TRUE ,lwd=2, col="steelblue")

Ancak, özellikle başlangıçta uyum çok iyi değil. Verilerinizin basit bir sinüs eğrisi ile yeterince modellenemediği anlaşılıyor. Belki daha karmaşık bir trigonometrik fonksiyon hile yapar?

nls.mod2 <-nls(Degrees ~ a + b*sin(2*pi*c*ToY)+d*cos(2*pi*e*ToY), start=list(a = 1, b = 1, c=1, d=1, e=1))

co2 <- coef(nls.mod2) 
f <- function(x, a, b, c, d, e) {a + b*sin(2*pi*c*x)+d*cos(2*pi*e*x) }

curve(f(x, a=co2["a"], b=co2["b"], c=co2["c"], d=co2["d"], e=co2["e"]), add=TRUE ,lwd=2, col="red")

Kırmızı eğri verilere daha iyi uyar. İle nlsfonksiyonu, size uygun olduğunu düşünüyorum modelinde koyabilirsiniz.

Ya da belki forecastpaketi kullanabilirsin . Aşağıdaki örnekte, zaman serisinin Ocak 2010'da başladığını varsaydım:

library(forecast)

Degrees.ts <- ts(Degrees, start=c(2010,1), frequency=12)

Degree.trend <- auto.arima(Degrees.ts)

degrees.forecast <- forecast(Degree.trend, h=12, level=c(80,95), fan=F)

plot(degrees.forecast, las=1, main="", xlab="Time", ylab="Degrees")

Veriler deterministik olduğundan, hiçbir güven bandı gösterilmez.