Boş eşdeğerlik hipotezi

Normal dağılımından basit bir rastgele örnek olduğunu varsayalım . $X_1, X_2, \, ... \, , X_n$ $(\mu,\sigma^2)$

Aşağıdaki hipotez testi yapmak istiyorum: belirli bir sabit .

H_{0} : | μ | \leq c H_{1} : | μ | > c,

$H_0: | \mu| \le c \\ H_1: |\mu| > c,$

c > 0

$c > 0$

Her zamanki biyoeşdeğerlik test durumuna benzer bir şekilde iki tek taraflı testi (TOST) yapmayı düşünüyordum , burada null ve yerine, bunun mantıklı veya doğru olup olmadığını bilmiyorum. $t$ $|\mu| \ge c$

Benim fikrim tek taraflı testleri yapmak ve ve değerlerinden biri önem düzeyinden daha küçükse global null hipotezini reddedin .

H_{01} : μ \leq c H_{11} : μ > c

$H_{01} : \mu \le c \\ H_{11} : \mu > c$

H_{02} : μ \geq - c H_{12} : μ < - c,

$H_{02} : \mu \ge -c \\ H_{12} : \mu < -c,$

p

$p$

α

$\alpha$

Şimdiden teşekkürler!

DÜZENLE:

Bu konuda biraz düşündüm ve bence önerdiğim yaklaşımın önem seviyesi yok . $\alpha$

Gerçek değeri olduğunu varsayalım olduğunu ve bilinmektedir. $\mu$ $\mu_0$ $\sigma^2$

İlk testte null değerini reddetme olasılığı burada Normal dağılımın standart cdf'siyse ve , .

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{01}) = 1 - Φ (z_{1 - α} + \frac{c - μ_{0}}{σ / \sqrt{n}}),

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) = 1 - \Phi \left(z_{1-\alpha} + \frac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right),$

Φ

$\Phi$

z_{1 - α}

$z_{1-\alpha}$

Φ (z_{1 - α}) = 1 - α

$\Phi(z_{1-\alpha}) = 1-\alpha$

Eğer , . Sonra, , . Alternatif olarak, , . $\mu_0 = c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) = \alpha$ $\mu_0 > c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) > \alpha$ $\mu_0 < c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) <\alpha$

İkinci testte null değerini reddetme olasılığı

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{02}) = Φ (- z_{1 - α} - \frac{μ_{0} + c}{σ / \sqrt{n}}) .

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) = \Phi \left(- z_{1-\alpha} - \frac{\mu_0 + c}{\sigma/\sqrt{n}} \right).$

Yine eğer Elimizdeki . Benzer şekilde, , . Son olarak, , . $\mu_0 = -c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) = \alpha$ $\mu_0 > -c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) < \alpha$ $\mu_0 < -c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) > \alpha$

İki testin reddi bölgeleri birbirinden , reddetme şöyledir: $H_0$

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{0}) = 1 - Φ (z_{1 - α} + \frac{c - μ_{0}}{σ / \sqrt{n}}) + Φ (- z_{1 - α} - \frac{μ_{0} + c}{σ / \sqrt{n}})

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_0) = 1 - \Phi \left(z_{1-\alpha} + \frac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right) + \Phi \left(- z_{1-\alpha} - \frac{\mu_0 + c}{\sigma/\sqrt{n}} \right)$

Bu nedenle, , (global) null hipotezini reddetme olasılığının üst sınırıdır. Bu nedenle, önerdiğim yaklaşım çok liberaldi. $\mu \in [-c,c]$ $2\alpha$

Yanlış hatırlamıyorsam, biz anlamlılık düzeyini elde edebilirsiniz eğer null adlı aynı iki testleri yapıyor ve reddederek bunlardan birinin-değeri daha az olan . Benzer bir argüman varyans bilinmediğinde ve testini uygulamamız gerektiğinde de geçerlidir . $\alpha$ $p$ $\alpha/2$ $t$

— Vic101
kaynak

Düzenleme doğru yolda :-).

— whuber

Çok ilginç bir soru !!

Mantıksal sonucu, yani zorunlu durumu kullanıyorsunuz. Bu fiziksel koşul, klasik mantığın temelini oluşturur, bir sonucun bir öncülden çıkarımını veya sonucunu çıkarmayı garanti eder.

Teklifinizin ardındaki gerekçe şu şekildedir:

Eğer gerektirir , daha sonra gözlemlenen veri karşı daha fazla kanıt çizmek gerekir daha . $H_0$ $H_0'$ $H_0$ $H_0'$

Senin yardımcı hipotezler açısından ve , elimizdeki , olduğunu gerektirir de ve gerektirir . Bu nedenle, zorunlu duruma göre, veya den daha fazla kanıt gözlemlemeliyiz . Daha sonra, veya altında hesaplanan p-değerlerinden biri yeterince küçükse, altında hesaplanan p-değerinin daha da küçük olacağı sonucuna . $H_{01}$ $H_{02}$ $H_{0} \equiv H_{01} \wedge H_{02}$ $H_{0}$ $H_{01}$ $H_{0}$ $H_{02}$ $H_{0}$ $H_{01}$ $H_{02}$ $H_{01}$ $H_{02}$ $H_0$

Ancak, bu mantıksal akıl yürütme p-değerleri için geçerli değildir, yani p-değerleri mantıksal sonuca uymaz. Her p değeri belirli bir sıfır hipotezi altında oluşturulur, bu nedenle farklı sıfır hipotezleri için p değerleri farklı metrikler altında hesaplanır. Bu nedenle p-değerleri, parametre uzayı (veya boş hipotezlerin uzayı) üzerindeki mantıksal akıl yürütmeye saygı gösteremez.

P-değerlerinin entailment koşulunu ihlal ettiği örnekler Schervish (1996) ve Patriota (2013) 'te sunulmaktadır. Bu son çalışmada iki değişkenli normal dağılımdan ve regresyon modelinden örneklerini içermektedir (Örnek sayfalarında sırasıyla 5 ve 6 ile ilgili 1.1 ve 1.2, bakınız). Eran Raviv , iki değişkenli durum için R kodunda bir algoritma sağlar. Bu örneklerden öğrenme şudur: İlginin sıfır hipotezi için p değerini doğrudan hesaplamanız gerekir. Schervish (1996), ve olduğunda örneğiniz için bir p-değeri formülü sağlar , bkz. Formül (2) sayfa 204. Bir p-değeri hesaplamak istiyorsanız, bu formülü senin durumun. $n=1$ $\sigma^2 = 1$

Patriota (2013), mantıksal sonuca saygı duyan genel sıfır hipotezlerini (bileşik veya basit sıfır hipotezleri) test etmek için yeni bir kanıt önerisi sunar. Bu ölçüye makalede s-değeri denir. Prosedür örneğiniz için nispeten basittir:

(asimtotik olmayan) için (1- ) güven aralığı bulun : ; burada örnek ortalaması, örnek varyansıdır , , standart normal dağılımın kantilidir ve , örnek boyutudur. $\alpha$ $\mu$ $I(\mu, \alpha) = \bigg[\bar{x} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}} \ ; \ \bar{x} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}}\bigg]$ $\bar{x}$ $s^2$ $z_{{\alpha}/{2}}$ ${\alpha}/{2}$ $n$
genliğinin minimum olduğu ve ile ortak en az bir öğeye sahip olduğu değerini bulun (yani, sınırı ). Bu olduğunu değerini gösterir. $\alpha^*$ $I(\mu, \alpha^*)$ $\{-c, c\}$ $[-c,c]$ $\alpha^*$ $s$
Bir yandan, , gözlemlenen örnek null Hipotez ; eğer -değeri o zaman null adlı kabul edebilir küçük yeterlidir. Öte yandan, , gözlemlenen örnek null Hipotezi karşı bilgi ; eğer -değeri o zaman null adlı reddedebilirsiniz küçük yeterlidir. Aksi takdirde, null değerini reddetmemeli veya kabul etmemelisiniz. $\bar{x} \in [-c,c]$ $H_0: |\mu|\leq c$ $s$ $\bar{x} \not \in [-c,c]$ $H_0$ $s$

Eğer ve ilgili değeri çok küçükse, alternatif hipotezin makul olan maksimum değer olan dan çok uzakta olduğu anlamına gelir . Eğer ve ilgili -değeri son derece küçük, boş hipotez son derece uzak maksimum olası değeri arasında olması, bu araçlar . Sonuçları daha iyi anlamak için güven aralığını ve ilgisiz sıfır hipotezini temsil eden bir resim çizmeye çalışın. Daha fazla bilgi için lütfen orijinal Patriota (2013) belgesini okuyun. $\bar{x}\in [-c,c]$ $s$ $\bar{x}$ $\bar{x}\not \in [-c,c]$ $s$ $\bar{x}$

Bu değerini kullanarak null değerini kabul etmek veya reddetmek için nesnel eşiklerin bulunması hala açık bir sorundur. Bu yaklaşım güzel çünkü artık sıfır hipotezini kabul edebiliriz. Bu, gözlenen örnek null ile desteklendiğinde ve alternatiften uzak olduğunda mantıklıdır. Örneğinizde , , ve için görülebilir . Veri yoğunluğunun (standart hatanın on katı) üzerinde yoğunlaştığını görmek oldukça basittir . ile boş olmayan bir kavşak elde etmek için 99900 standart hata gerekir. Bu nedenle, kabul etmek yeterince adil olur $s$ $c = 1000$ $\bar{x} = 1$ $s^2 = 1$ $n=10000$ $[0.9, \ 1.1]$ $[-1000, \ 1000]$ $H_0: |\mu| \leq c$ bu durumda.

Referanslar:

Patriota, AG (2013). Genel sıfır hipotezleri, Bulanık Kümeler ve Sistemler için klasik bir kanıt ölçüsü, 233, 74-88

Schervish, MJ (1996). P Değerleri: Ne oldukları ve ne olmadıkları, Amerikan İstatistikçi, 50, 203-206.

— Alexandre Patriota
kaynak