üzerinde eşit dağılım için Öklid normunda kuyruk sınırları

11

eşit olarak seçilmiş bir elementinin Öklid normunun ne sıklıkta üst sınırları olduğu bilinir $\:\{-n,~-(n-1),~...,~n-1,~n\}^d\:$ belirli bir eşik değerden daha büyük olacak mı?

Ben esas olarak $n$ den çok az olduğunda sıfıra sıfıra yakın sınırları ile ilgileniyorum . $d$

uniform extreme-value bounds

— Ricky Demer
kaynak

Bu eşikleri cevaplamak kolaydır

t \leq n

$t\le n$ - sadece hiper kürelerin hacimlerini hesaplıyorsunuz - ancak

için çalışmak daha zor

t > n

$t \gt n$ . Bu iki durumdan birinde misiniz?

— whuber

3

Ben gerekir

t > n

$\: t > n \;\;$ .

$\;\;\;\;$

— Ricky Demer

1

Şu anda ayrıntılı bir cevap göndermek için zamanım yok, ama bu arada bir ipucu: Karşılaştırma

\sum_{k} (X_{k} / n)^{2}

$\sum_k (X_k/n)^2$ standart Chernoff bağlı tekniği kullanarak aynı ortalama bir binom rastgele değişken ile karşılaştırın. Bu, uygun

ve

sağlanan

için

formunun bir sınırını verecektir . kare Öklid mesafesi. Umut etmek bu bazı yardımcı olur.

a^{d} e^{- b t^{2}}

$a^d e^{-b t^2}$

a

$a$

b

$b$

t > n \sqrt{d (n + 1) / 3 n}

$t > n \sqrt{d (n+1)/3n}$

— kardinal

1

Sezgisel olarak, koordinatları homojen dağılımdan rastgele örneklenen bir noktanın, boyutsallığın laneti nedeniyle küçük bir modülü olması gerektiği açıktır. Olarak artar, birimden rasgele örneklenen bir nokta olasılığı boyutlu birim topa daha az mesafeye sahip ya da eşit olacaktır merkezinden katlanarak hızlı düşer. $d$ $d$ $\epsilon$ $\epsilon^{d}$

Kardinalin çözümünün tam sürümünü vereceğim.

, tamsayıları üzerinde ayrı, tekdüze bir dağılımın bağımsız bir kopyası olsun . Açıktır ki, , ve bir kolaylıkla hesaplanabilir bu $X_i$ $-n \leqslant k \leqslant n$ $\mathbb{E}[X] = 0$ $\text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

Hatırlatma; ve $\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) + \mathbb{E}[X_i]^2$ $\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2$

Böylece, $\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2 = \frac{n(n+1)(3n^2 + 3n + 1)}{15} - \left( \frac{n(n+1)}{3} \right)^2$

$\mathbb{E}[X_i^4]$ hesaplama

Let $Y_i = X_i^2$

\sum_{i = 1}^{d} Y_{i} = (Distance of Randomly Sampled Point to Origin)^{2}

$\sum_{i=1}^d Y_i = (\text{Distance of Randomly Sampled Point to Origin})^2$

Bunu yarın bitireceğim, ancak bu değişkenin ortalama , noktaların değerinden daha azının maksimum mesafenin yarısından daha az olduğunu görebilirsiniz. $\frac{n^2}{3}$ $2^{-d}$ $\frac{dn^2}{2}$

— Michael K
kaynak

0

Tüm Eğer bağımsız ayrık üzerinde üniforma izleyin , o zaman olduğu gibi seçilecek değerler ve onların ortalama hepimizin sahip, 0 ise : $X_i$ $[-n, n]$ $2n+1$ $i$

$\mathbb{E}(X_i)= 0$ ve

$\mathbb{V}(X_i)= \mathbb{E}\left((X_i - \mathbb{E}(X_i))^2\right)= \mathbb{E}(X_i^2)= \frac{(2n+1)^2 - 1}{12}= \frac{n(n+1)}{3}$

O zaman , karenin vektörü kareli öklid ve bağımsızlığı nedeniyle : $S$ $(X_1, X_2, ... X_d)$ $X_i$

$S= \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S)= \sum_{i=1}^d \mathbb{E}(X_i^2) = d \frac{n(n+1)}{3}$

Buradan Markov eşitsizliğini kullanabilirsiniz: $\forall a >0, \mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{1}{a}\mathbb{E}(S)$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{d}{a}\frac{n(n+1)}{3}$

This bağlı yükselir zaman için normaldir, sabit bir eşik ile karşılaştırıldığında Öklid norm büyür büyüdükçe . $d$ $d$ $a$

Şimdi tanımlarsanız (olursa olsun ne kadar büyük aynı beklenen değere sahip bir "normalize" kare norm olarak Alacağınız): $S^*$ $d$

$S^*= \frac{1}{d} Y = \frac{1}{d} \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S^*) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{n(n+1)}{3a}$

En azından bu sınır ile yükselmiyor , ama yine de katlanarak azalan bir sınır arayışınızı çözüyor! Bunun Markov eşitsizliğinin zayıflığından kaynaklanıp kaynaklanmayacağını merak ediyorum ... $d$

Sanırım sorunuzu kesinleştirmelisiniz, çünkü yukarıda belirtildiği gibi, vektörlerinizin ortalama öklidyen normu cinsinden doğrusal olarak yükselir , bu nedenle için de azalan bir üst sınır bulmanız pek olası değildir. sabit bir eşik ile . $d$ $\mathbb{P}(S > a)$ $d$ $a$

— Jubo İttifakı Kurucusu
kaynak