Ters varyans ağırlığı hakkında soru

Diyelim ki gözlemlenmemiş bir gerçekleşme konusunda çıkarım yapmak istiyoruz $x$ rastgele bir değişkenin $\tilde x$ , normalde ortalama ile dağıtılır $\mu_x$ ve varyans $\sigma^2_x$ . Diyelim ki başka bir rastgele değişken var $\tilde y$ (gözlemlenmemiş gerçekleşmesini benzer şekilde arayacağız $y$ ) normalde ortalama ile dağıtılır $\mu_y$ ve varyans $\sigma^2_y$ . İzin Vermek $\sigma_{xy}$ kovaryans olmak $\tilde x$ ve $\tilde y$ .

Şimdi farz edelim ki, $x$ ,

\begin{aligned} a = x + \tilde{u}, \end{aligned}

$\begin{align}a=x+\tilde u,\end{align}$ nerede

\tilde{u} \sim N (0, ϕ_{x}^{2})

$\tilde u\sim\mathcal{N}(0,\phi_x^2)$ ve bir sinyal

y

$y$ ,

\begin{aligned} b = y + \tilde{v}, \end{aligned}

$\begin{align}b=y+\tilde v,\end{align}$ nerede

\tilde{v} \sim N (0, ϕ_{y}^{2})

$\tilde v\sim\mathcal{N}(0,\phi_y^2)$ . Varsayalım

\tilde{u}

$\tilde u$ ve

\tilde{v}

$\tilde v$ bağımsızdır.

Dağılımı nedir $x$ şartlı $a$ ve $b$ ?

Şimdiye kadar bildiklerim: Ters varyans ağırlıklandırmasını kullanarak,

\begin{aligned} E (x | bir) = \frac{\frac{1}{σ_{x}^{2}} μ_{x} + \frac{1}{φ_{x}^{2}} bir}{\frac{1}{σ_{x}^{2}} + \frac{1}{φ_{x}^{2}}}, \end{aligned}

$\begin{align}\mathbb{E}(x\,|\,a)=\frac{\frac{1}{\sigma_x^2}\mu_x+\frac{1}{\phi_x^2}a}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}},\end{align}$ ve

\begin{aligned} V ar (x | bir) = \frac{1}{\frac{1}{σ_{x}^{2}} + \frac{1}{φ_{x}^{2}}} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{V}\text{ar}(x\,|\,a)=\frac{1}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}}. \end{align}$

Dan beri $x$ ve $y$ birlikte çizilir, $b$ hakkında bilgi taşımalı $x$ . Bunu fark etmenin dışında sıkıştım. Herhangi bir yardım takdir!

meta-analysis

— bad_at_math
kaynak

Bu, bir Kalman filtresinin türetilmesindeki ilk birkaç adıma benziyor. Derivasyona bakabilir ve devlet kovaryans tahmini güncellemesi için Kalman kazancı hakkında düşünebilirsiniz. cs.unc.edu/~welch/media/pdf/kalman_intro.pdf

— EngrStudent

Yanıtınız için teşekkürler! Bağlantınızdaki belgeyi okudum, ancak Kalman filtrelemeyle bağlantıyı görmüyorum. Detaylandırma şansınız var mı? Yardımı takdir ediyorum!

— bad_at_math

@EngrStudent OP Kalman filtresine aşina değilse, bunun nasıl çok yardımcı olacağını görmüyorum. Bunun yerine, KF ile ilgili özelliklerden (veya jargondan) herhangi birini çağırmadan soruna nasıl yaklaşacağınızı açıklayabilirsiniz, ancak belki de buradaki ayrıntılara bir yanıt vermek için bu anlayışınızı kullanın.

— Glen_b-Monica

Matematikte çapraz gönderildi.SE burada

— Glen_b-Monica'yı geri kazan

Burada ters varyans ağırlıklandırma formüllerinin geçerli olup olmadığından emin değilim. Ancak, koşullu dağılımını hesaplayabilirsiniz. $x$ verilmiş $a$ ve $b$ varsayarak $x$ , $y$ , $a$ ve $b$ ortak çok değişkenli normal dağılımı takip eder.

Özellikle, (soruda belirtilenlerle uyumlu olarak)

[\begin{matrix} x \\ y \\ u \\ v \end{matrix}] \sim N ([\begin{matrix} μ_{x} \\ μ_{y} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{x}^{2} & σ_{x y} & 0 & 0 \\ σ_{x y} & σ_{y}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ϕ_{x}^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ϕ_{y}^{2} \end{matrix}])

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ y \\ u \\ v \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_y \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma_{xy} & 0 & 0 \\ \sigma_{xy} & \sigma^2_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \phi^2_x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \phi^2_y \end{matrix}\right] \right) \end{equation}$ sonra,

a = x + u

$a=x+u$ ve

b = y + v

$b=y+v$ , bunu bulabilirsiniz

[\begin{matrix} x \\ a \\ b \end{matrix}] \sim N ([\begin{matrix} μ_{x} \\ μ_{x} \\ μ_{y} \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{x}^{2} & σ_{x}^{2} & σ_{x y} \\ σ_{x}^{2} & σ_{x}^{2} + ϕ_{x}^{2} & σ_{x y} \\ σ_{x y} & σ_{x y} & σ_{y}^{2} + ϕ_{y}^{2} \end{matrix}]) .

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ a \\ b \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_x \\ \mu_y \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma^2_x & \sigma^2_x + \phi^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma_{xy} & \sigma_{xy} & \sigma^2_y + \phi^2_y \end{matrix}\right] \right). \end{equation}$ (Yukarıda, dolaylı olarak,

u

$u$ ve

v

$v$ birbirinden bağımsız ve aynı zamanda

x

$x$ ve

y

$y$ .)

Buradan koşullu dağılımını bulabilirsiniz. $x$ verilmiş $a$ ve $b$ çok değişkenli normal dağılımın standart özelliklerini kullanarak (bkz. örneğin: http://en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_normal_distribution#Conditional_distributions ).

— a.arfe
kaynak