Yukarıdaki soru her şeyi söylüyor. Temelde sorum tahmin etmeye çalıştığım parametrelerde doğrusal olmayan bir genel uydurma işlevi (rastgele karmaşık olabilir) için, bir uyum başlatmak için ilk değerleri nasıl seçer? Doğrusal olmayan en küçük kareler yapmaya çalışıyorum. Herhangi bir strateji veya yöntem var mı? Bu çalışıldı mı? Referans var mı? Ad hoc tahmin dışında bir şey var mı? Özellikle, şu anda birlikte çalıştığım uygun formlardan biri, tahmin etmeye çalıştığım beş parametreye sahip bir Gauss artı doğrusal formudur.

burada (apsis verileri) ve (sıradan veriler), log-log alanında verilerimin düz bir çizgi artı bir Gaussian tarafından yaklaştığım bir yumru gibi göründüğü anlamına gelir. Hiçbir teorim yok, belki çizginin eğimi gibi grafik ve göz küresi ve yumru merkezinin / genişliğinin ne olduğu dışında doğrusal olmayan uyumun nasıl başlatılacağı konusunda bana rehberlik edecek hiçbir şeyim yok. Ama bunu yapmak için yüzlerce daha fazla uyuma sahibim, grafik yapmak ve tahmin etmek yerine, otomatikleştirilebilecek bazı yaklaşımları tercih ederim. y = log $x = \log_{10}$$y = \log_{10}$

Kütüphanede veya çevrimiçi olarak referans bulamıyorum. Aklıma gelen tek şey başlangıç ​​değerlerini rastgele seçmektir. MATLAB eşit dağılımlı [0,1] arasından rastgele değerler seçmeyi önerir. Yani her veri seti ile, rastgele başlatılmış fit bin kez çalıştırın ve sonra en yüksek olanı seçin ? Başka (daha iyi) fikirler var mı?$r^2$

Zeyil # 1

İlk olarak, size ne tür verilerden bahsettiğimi göstermek için veri kümelerinin bazı görsel gösterimleri. Verileri herhangi bir dönüşüm olmadan orijinal formunda ve daha sonra da log-log alanında görsel temsilini veriyorum, çünkü bazılarını bozurken verinin özelliklerini açıklıyor. Hem iyi hem de kötü verilerin bir örneğini gönderiyorum.

Her bir şekildeki altı panelin her biri, kırmızı, yeşil, mavi ve cam göbeği ile birlikte çizilen dört veri setini gösterir ve her veri setinde tam olarak 20 veri noktası bulunur. Verilerinde görülen çarpmalar nedeniyle her birini düz bir çizgi artı bir gauss ile uydurmaya çalışıyorum.

İlk rakam iyi verilerden bazılarıdır. İkinci şekil, birinci şekilden aynı iyi verilerin log-log grafiğidir. Üçüncü rakam bazı kötü verilerdir. Dördüncü şekil, üçüncünün log-log grafiğidir. Çok daha fazla veri var, bunlar sadece iki alt küme. Verilerin çoğu (yaklaşık 3/4), burada gösterdiğim iyi verilere benzer şekilde iyidir.

Şimdi bazı yorumlar, lütfen bu süre uzayabilir, ancak tüm bu detayların gerekli olduğunu düşünüyorum. Mümkün olduğunca kısa ve öz olmaya çalışacağım.

Başlangıçta basit bir güç yasası bekliyordum (log-log uzayında düz çizgi anlamına geliyordu). Günlük kaydı alanına her şeyi çizdiğimde, beklenmedik yumruları 4,8 mHz'de gördüm. Yumru iyice araştırıldı ve diğer işlerde de keşfedildi, bu yüzden onun berbat değil. Fiziksel olarak orada ve diğer yayınlanmış çalışmalar da bundan bahsediyor. Sonra lineer formuma bir gaussian terimi ekledim. Bu uyumun günlük kaydı alanında yapılması gerektiğine dikkat edin (bu nedenle bunu içeren iki sorum var).

Şimdi, okuduktan sonra benim başka soruya Stumpy Joe Pete tarafından cevap (hiç bu verilerin ilgili olmayan) ve okuma bu ve bu (Clauset tarafından malzeme) ve referansları, ben log-log sığmayan gerektiğini fark Uzay. Şimdi her şeyi önceden dönüştürülmüş alanda yapmak istiyorum.

Soru 1: İyi verilere baktığımda, önceden dönüştürülmüş alanda doğrusal bir artı bir gaussun hala iyi bir form olduğunu düşünüyorum. Ne düşündüklerini daha fazla veri keşfi olan diğerlerinden duymak isterim. Gauss + lineer makul midir? Sadece bir gaussçi mi yapmalıyım? Yoksa tamamen farklı bir form mu?

Sorular 2: Soru 1'in cevabı ne olursa olsun, hala (büyük olasılıkla) doğrusal olmayan en küçük karelere uymam gerekiyordu, bu yüzden başlatma konusunda hala yardıma ihtiyacım var.

İki set gördüğümüz verilerde, ilk yumru yaklaşık 4-5 mHz'de yakalamayı çok tercih ediyoruz. Bu yüzden daha fazla gaussian terim eklemek istemiyorum ve gaussian terimimiz neredeyse her zaman daha büyük olan tüm yumruya odaklanmalıdır. 0.8mHz ile 5mHz arasında "daha fazla doğruluk" istiyoruz. Daha yüksek frekanslar için çok fazla umursamıyoruz ama onları da tamamen göz ardı etmek istemiyoruz. Yani belki bir çeşit tartım? Veya B her zaman 4.8mHz civarında başlatılabilir mi?

Apsis verileri milihertz birimi cinsinden frekanstır, . Sıradan veriler, hesapladığımız bir katsayıdır, . Yani günlük dönüşümü yok ve form$f$$L$

• $f$ frekanstır, daima pozitiftir.
• $L$ pozitif bir katsayıdır. Bu yüzden ilk çeyrekte çalışıyoruz.
• A > 0 $A$ , genlik her zaman pozitif olmalı bence çünkü sadece çarpmalarla uğraşıyoruz. Verilere baktığımda hep doruklar görüyorum ve vadiler yok. Tüm verilerde daha yüksek frekanslarda çoklu çarpma var gibi görünüyor. İlk yumru her zaman diğerlerinden daha büyüktür. İyi verilerde, ikincil tümsekler çok zayıftır ancak kötü verilerde (örneğin panel 2 ve 5), ikincil tümsekler güçlüdür. Biz aslında Yani yok bir vadiye değil, iki darbe var. Yani genlik . Ve çoğunlukla ilk zirveyi önemsediğimiz için, pozitif olması için daha fazla neden var .$A>0$$A$
• $B$ , çıkıntının merkezidir ve her zaman 4-5mHz civarında büyük bir çıkıntıda olmasını isteriz. Çözülmüş frekans aralığımızda, neredeyse her zaman 4.8mHz'de görünür.
• C - $C$ , çıkıntının genişliğidir. Sıfır civarında simetrik olduğunu düşünüyorum, yani , aynı etkiye sahip olacaktır çünkü kare. Bu yüzden değerinin ne olduğu umrumda değil. Diyelim ki olumlu tercih ediyoruz.$C$$-C$
• $D$ çizginin eğimidir, biraz negatif olabilir, bu yüzden üzerinde herhangi bir kısıtlama uygulamamaktadır. Eğim kendi başına ilginçtir, bu nedenle üzerinde herhangi bir kısıtlama uygulamak yerine, ne olacağını görmek istiyoruz. Olumlu mu, olumsuz mu? Büyüklük açısından ne kadar büyük / küçük? ve bunun gibi.
• L E L f = $E$ (neredeyse) kesişmesidir. Burada ince bir şey, çünkü Gauss terimin, yani oldukça değildir -intercept. Asıl kesişme noktası ( olarak tahmin edersek )$L$$E$$L$$f=0$

Yani buradaki tek kısıtlama, engellemenin de olumlu olması gerektiğidir. Kesme noktasının sıfır olması, bunun ne anlama geldiğini bilmiyorum. Ama negatif kesin olarak saçma görünecektir. Sanırım burada küçük bir büyüklükte biraz negatif olmasına izin verebiliriz . ve kesişmenin nedeni burada önemlidir, ancak bazı meslektaşlarımız aslında ekstrapolasyonla da ilgilenmektedir. Sahip olduğumuz minimum frekans 0.8mHz'dir ve 0 ile 0.8mHz arasında ekstrapolasyon yapmak isterler. Benim saf fikrim sadece kadar gitmek için fit kullanmaktı .E f = $E$$E$$f=0$

Ekstrapolasyonun enterpolasyondan daha zor / tehlikeli olduğunu biliyorum, ancak düz bir çizgi artı bir gaussian (yeterince hızlı bozunmasını umuyor) kullanmak benim için makul görünüyor. Doğal sınır koşullarına sahip doğal kübik splinelar gibi, sol uç noktadaki eğim, sadece çizgiyi uzatır ve eksenini nereden geçtiğini görür . Negatif değilse, bu satırı ekstrapolasyon için kullanın.$L$

Sorular 3: Bu durumda bu şekilde tahmin edilme fikriniz nedir? Artıları / eksileri var mı? Ekstrapolasyon için başka fikirleriniz var mı? Yine sadece 0 ve 1mHz arasında ekstrapolasyon yapan düşük frekansları önemsiyoruz ... bazen sıfıra yakın çok küçük frekanslar. Bu yazının zaten dolu olduğunu biliyorum. Bu soruyu burada sordum çünkü cevaplar ilgili olabilir, ancak isterseniz bu soruyu ayırabilir ve daha sonra başka bir soru sorabilirim.

Son olarak, talep üzerine iki örnek veri seti aşağıda verilmiştir.

0.813010000000000   0.091178000000000   0.012728000000000
1.626000000000000   0.103120000000000   0.019204000000000
2.439000000000000   0.114060000000000   0.063494000000000
3.252000000000000   0.123130000000000   0.071107000000000
4.065000000000000   0.128540000000000   0.073293000000000
4.878000000000000   0.137040000000000   0.074329000000000
5.691100000000000   0.124660000000000   0.071992000000000
6.504099999999999   0.104480000000000   0.071463000000000
7.317100000000000   0.088040000000000   0.070336000000000
8.130099999999999   0.080532000000000   0.036453000000000
8.943100000000001   0.070902000000000   0.024649000000000
9.756100000000000   0.061444000000000   0.024397000000000
10.569000000000001   0.056583000000000   0.025222000000000
11.382000000000000   0.052836000000000   0.024576000000000
12.194999999999999   0.048727000000000   0.026598000000000
13.008000000000001   0.045870000000000   0.029321000000000
13.821000000000000   0.041454000000000   0.067300000000000
14.633999999999999   0.039596000000000   0.081800000000000
15.447000000000001   0.038365000000000   0.076443000000000
16.260000000000002   0.036425000000000   0.075912000000000

İlk sütun mHz cinsinden frekanslardır, her veri kümesinde aynıdır. İkinci sütun iyi bir veri kümesidir (iyi veri şekil bir ve iki, panel 5, kırmızı işaret) ve üçüncü sütun kötü bir veri kümesidir (kötü veri şekil üç ve dört, panel 5, kırmızı işaret).

Umarım bu biraz daha aydınlanmış tartışmayı teşvik etmek için yeterlidir. Herkese teşekkürler.

Bir strateji olsaydı hem iyi ve genel - zaten her doğrusal olmayan en küçük kareler programında uygulanacağına dair ve değerleri başlangıç olmayan bir konu olacaktır - hep çalıştı biri.

Birçok spesifik problem veya problem ailesi için başlangıç ​​değerlerine oldukça iyi yaklaşımlar vardır; bazı paketler, doğrusal olmayan belirli modeller için iyi başlangıç ​​değeri hesaplamaları veya genellikle çalışan ancak daha spesifik işlevler veya başlangıç ​​değerlerinin doğrudan girilmesinde yardımcı olması gerekebilecek daha genel yaklaşımlarla gelir.

Alanı keşfetmek bazı durumlarda gereklidir, ancak durumunuzun daha spesifik stratejilerin muhtemelen değerli olacağı gibi olacağını düşünüyorum - ancak iyi bir tane tasarlamak için sahip olmamız mümkün olmayan çok fazla alan bilgisi gerektirir.

Sorununuz için muhtemelen iyi stratejiler tasarlanabilir, ancak bu önemsiz bir süreç değildir; zirvenin olası boyutu ve boyutu hakkında daha fazla bilgi (tipik parametre değerleri ve tipik fikir verebilir), iyi bir başlangıç ​​değeri seçimi tasarlamak için daha fazla yapılabilir.$x$

Aldığınız tipik ve aralıkları nelerdir ? Ortalama sonuçlar neye benziyor? Olağandışı durumlar nelerdir? Hangi parametre değerlerinin mümkün veya imkansız olduğunu biliyor musunuz?$y$$x$

Bir örnek - Gauss kısmı zorunlu olarak bir dönüm noktası (zirve veya çukur) üretir mi? Yoksa bazen çizgiye göre o kadar küçük mü? Mı pozitif hep? vb.$A$

Bazı örnek veriler yardımcı olabilir - mümkünse tipik durumlar ve zor veriler.

Düzenleme: Sorun çok gürültülü değilse nasıl oldukça iyi yapabileceğinizi gösteren bir örnek:

Modelinizden üretilen bazı veriler (nüfus değerleri A = 1.9947, B = 10, C = 2.828, D = 0.09, E = 5):

Tahmin edebildiğim başlangıç ​​değerleri
(As = 1.658, Bs = 10.001, Cs = 3.053, Ds = 0.0881, Es = 5.026)

Bu başlangıç ​​modelinin uyumu şöyle görünür:

Adımlar:

1. D ve E'nin kaba bir tahminini almak için bir Theil regresyonuna uyun
2. Theil regresyonunun uyumunu çıkarın
3. Pürüzsüz bir eğri sığdırmak için LOESS kullanın
4. A'nın kaba bir tahminini almak için zirveyi ve B'nin kaba bir tahminini elde etmek için zirveye karşılık gelen x değerini bulun
5. Y değerleri A tahmininin>% 60'ı gözlem olarak olan ve ikinci dereceye uyan LOESS uyumu alın
6. B tahminini güncellemek ve C tahminini belirlemek için karesel kullanın
7. Orijinal verilerden, Gaussian'ın tahminini çıkarın
8. D ve E tahminlerini güncellemek için ayarlanan verilere başka bir Theil regresyonu ekleyin

Bu durumda, değerler doğrusal olmayan bir oturuma başlamak için çok uygundur.

Bunu Rkod olarak yazdım ama aynı şey MATLAB'da da yapılabilir.

Bence bundan daha iyi şeyler mümkün.

Veriler çok gürültülü ise, bu işe yaramayacaktır.

Edit2: Bu ilgilenen varsa, ben R kullanılan kod:

gausslin.start <- function(x,y) {

  theilreg <- function(x,y){
    yy <- outer(y, y, "-")
    xx <- outer(x, x, "-")
    z  <- yy / xx
    slope     <- median(z[lower.tri(z)])
    intercept <- median(y - slope * x)
    cbind(intercept=intercept,slope=slope)
  }

  tr <- theilreg(x,y1)
  abline(tr,col=4)
  Ds = tr[2]
  Es = tr[1]
  yf  <- y1-Ds*x-Es
  yfl <- loess(yf~x,span=.5)

  # assumes there are enough points that the maximum there is 'close enough' to 
  #  the true maximum

  yflf   <- yfl$fitted    
  locmax <- yflf==max(yflf)
  Bs     <- x[locmax]
  As     <- yflf[locmax]

  qs     <- yflf>.6*As
  ys     <- yfl$fitted[qs]
  xs     <- x[qs]-Bs
  lf     <- lm(ys~xs+I(xs^2))
  bets   <- lf$coefficients
  Bso    <- Bs
  Bs     <-  Bso-bets[2]/bets[3]/2
  Cs     <- sqrt(-1/bets[3])
  ystart <- As*exp(-((x-Bs)/Cs)^2)+Ds*x+Es

  y1a <- y1-As*exp(-((x-Bs)/Cs)^2)
  tr  <- theilreg(x,y1a)
  Ds  <- tr[2]
  Es  <- tr[1]
  res <- data.frame(As=As, Bs=Bs, Cs=Cs, Ds=Ds, Es=Es)
  res
}

.

# population parameters: A = 1.9947 , B = 10, C = 2.828, D = 0.09, E = 5
# generate some data
set.seed(seed=3424921)
x  <- runif(50,1,30)
y  <- dnorm(x,10,2)*10+rnorm(50,0,.2)
y1 <- y+5+x*.09 # This is the data
xo <- order(x)

starts <- gausslin.start(x,y1)
ystart <- with(starts, As*exp(-((x-Bs)/Cs)^2)+Ds*x+Es)
plot(x,y1)
lines(x[xo],ystart[xo],col=2)

Bu tür doğrusal olmayan modellerin takılmasına genel bir yaklaşım vardır. Doğrusal parametrelerin diyelim ilk, son frekans değeri ve ortadaki iyi bir nokta 6'cı noktadaki bağımlı değişkenin değerleri ile yeniden ölçülmesini içerir. bu parametreleri sabit tutabilir ve minimizasyonun ilk aşamasında doğrusal olmayan parametre için çözebilir ve daha sonra toplam 5 parametreyi en aza indirebilirsiniz.

Schnute ve ben bunu balık için büyüme modelleri takarken 1982 civarında çözdük.

http://www.nrcresearchpress.com/doi/abs/10.1139/f80-172

Ancak bu makaleyi okumak gerekli değildir. Parametrelerin doğrusal olması nedeniyle, modelin kararlı parametrelemesini kullanmak için 3x3 doğrusal denklem sisteminin kurulması ve çözülmesi yeterlidir.

Modeliniz için doğrusal kısım matrisi ile belirlenir$M$

DATA_SECTION
  init_int n
  int mid
 !! mid=6;
  init_matrix data(1,n,1,3)
  vector x(1,n)
  vector y(1,n)
 !! x=column(data,1);
 !! y=column(data,3);   //use column 3
PARAMETER_SECTION
  init_number L1(3)     //(3) means estimate in phase 3
  init_number Lmid(3)
  init_number Ln(3)

  vector L(1,3)
  init_number log_B       // estimate in phase 1
  init_number log_C(2)    // estimate in phase 2 
  matrix M(1,3,1,3);
  objective_function_value f
  sdreport_vector P(1,3)
  sdreport_number B
  sdreport_number C
  vector pred(1,n);
PROCEDURE_SECTION
  L(1)=L1;
  L(2)=Lmid;
  L(3)=Ln;
  B=exp(log_B);
  C=exp(log_C);
  M(1,1)=exp(-square((x(1)-B)/C));
  M(1,2)=x(1);
  M(1,3)=1;
  M(2,1)=exp(-square((x(mid)-B)/C));
  M(2,2)=x(mid);
  M(2,3)=1;
  M(3,1)=exp(-square((x(n)-B)/C));
  M(3,2)=x(n);
  M(3,3)=1;

  P=solve(M,L);  // solve for standard parameters 
                 // P is vector corresponding to A,D,E

  pred=P(1)*exp(-square((x-B)/C))+P(2)*x+P(3);
  if (current_phase()<4)
    f+=norm2(y-pred);
  else
    f+=0.5*n*log(norm2(y-pred))  //concentrated likelihood

$B$$C$$B$$B$$C$

Bozuk verilerle ilgili durumunuz için oldukça kolay bir şekilde uyuyor ve (olağan) parametre tahminleri:

         estimate    std dev
A      2.0053e-01 5.8723e-02
D      1.6537e-02 4.7684e-03
E     -1.8197e-01 7.3355e-02
B      3.0609e+00 5.0197e-01
C      5.6154e+00 9.4564e-01]

Bunu birçok kez yapmanız gerekiyorsa, başlangıç ​​değerlerini sağlamak için ön uç olarak SSE işlevinde bir Evrimsel Algoritma kullanmanızı öneririm.

Öte yandan GEOGEBRA'yı parametreler için kaydırıcıları kullanarak işlev oluşturmak ve başlangıç ​​değerlerini almak için onlarla oynayabilirsiniz.

VEYA verilerden başlangıç ​​değerleri gözlem yoluyla tahmin edilebilir.

1. D ve E, verilerin eğiminden ve kesişmesinden gelir (Gaussian'ı göz ardı ederek)
2. A, Gaussian'ın maksimum değerinin Dx + E çizgisi tahmininden dikey mesafesidir.
3. B, Gauss'un maksimum değerinin x değeridir
4. C, Gaussian'ın görünen genişliğinin yarısıdır

Başlangıç ​​değerleri için normal en küçük kareler sığdırılabilir. Eğimi ve kesişmesi D ve E için başlangıç ​​değerleri olacaktır. En büyük artık A için başlangıç ​​değeri olacaktır. En büyük artık konumu B için başlangıç ​​değeri olacaktır. Belki başka biri sigma için bir başlangıç ​​değeri önerebilir.

Bununla birlikte, konu bilgisinden herhangi bir mekanik denklem türetmeden doğrusal olmayan en küçük kareler riskli bir iştir ve çok sayıda ayrı uyum yapmak işleri daha da tartışmalı hale getirir. Önerilen denkleminizin arkasında konu bilgisi var mı? 100 veya daha fazla ayrı uyum arasındaki farklarla ilgili başka bağımsız değişkenler var mı? Bu farkları, tüm verilere aynı anda uyacak tek bir denkleme dahil edebiliyorsanız yardımcı olabilir.