Otokorelasyon süresinin tanımı (etkin örneklem büyüklüğü için)

Literatürde zayıf durağan bir zaman serisinin otokorelasyon süresi için iki tanım buldum:

$$\tau_a = 1+2\sum_{k=1}^\infty \rho_k \quad \text{versus} \quad \tau_b = 1+2\sum_{k=1}^\infty \left|\rho_k\right|$$

burada gecikmesindeki otokorelasyondur . $\rho_k = \frac{\text{Cov}[X_t,X_{t+h}]}{\text{Var}[X_t]}$$k$

Otomatik korelasyon süresinin bir uygulaması "etkili örneklem büyüklüğü" nü bulmaktır: bir zaman serisinin gözlemine sahipseniz ve onun otomatik korelasyon süresini bilirseniz, o zaman sahip olduğunuzu iddia edebilirsiniz.$n$$\tau$

$$n_\text{eff} = \frac{n}{\tau}$$

yerine bağımsız örnekler , ortalamayı bulmak amacıyla korelasyon göstermiştir. Verilerden tahmini yapmak önemsiz değildir, ancak bunu yapmanın birkaç yolu vardır ( Thompson 2010'a bakınız ).$n$$\tau$

Mutlak değerler içermeyen tanım, , literatürde daha yaygın görünüyor; ancak olasılığını kabul eder . R ve "coda" paketini kullanarak:τ bir < $\tau_a$$\tau_a<1$

require(coda)
ts.uncorr <- arima.sim(model=list(),n=10000)         # white noise 
ts.corr <- arima.sim(model=list(ar=-0.5),n=10000)    # AR(1)
effectiveSize(ts.uncorr)                             # Sanity check
    # result should be close to 10000
effectiveSize(ts.corr)
    # result is in the neighborhood of 30000... ???

"Coda" daki " , yukarıdaki eşdeğer bir otokorelasyon süresi tanımını kullanır . Etkili örneklem büyüklüğünü veya otokorelasyon süresini hesaplayan başka bazı R paketleri de var ve denediklerim bununla tutarlı sonuçlar veriyor: negatif bir AR katsayısına sahip bir AR (1) işleminin korelasyondan daha etkili örneklere sahip olduğunu Zaman serisi. Bu garip görünüyor. $\tau_a$

Açıkçası, bu hiçbir zaman otokorelasyon zamanının tanımında .$\tau_b$

Otokorelasyon süresinin doğru tanımı nedir? Etkili örneklem büyüklüğünü anlamamda bir sorun mu var? Yukarıda gösterilen sonucu yanlış olmalı gibi görünüyor ... neler oluyor?$n_\text{eff} > n$

$X_1, X_2, \ldots$$\mu$

$$\hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k$$ $\mu$$n^{-1}$$\hat{\mu}$nneff=n/τan - 1 eff neffneff=n/τ $$\frac{1}{n^2} \sum_{k, l=1}^n \text{cov}(X_k, X_l) = \frac{1}{n}\left(1 + 2\left(\frac{n-1}{n} \rho_1 + \frac{n-2}{n} \rho_2 + \ldots + \frac{1}{n} \rho_{n-1}\right) \right) \simeq \frac{\tau_a}{n}.$$ $n$$n_{\text{eff}} = n/\tau_a$zayıf durağan bir zaman serileri için ampirik ortalamanın varyansı yaklaşık , ki bu, bağımsız numunelerimizle aynı varyanstır . Bu nedenle , eğer ampirik ortalamanın varyansını , uygun bir tanımdır. Başka amaçlar için uygun olmayabilir.$n_{\text{eff}}^{-1}$$n_{\text{eff}}$$n_{\text{eff}} = n/\tau_a$

Gözlemler arasındaki negatif bir korelasyon ile varyansın ( ) daha küçük hale gelmesi kesinlikle mümkündür . Bu, Monto Carlo entegrasyonunda iyi bilinen bir varyans azaltma tekniğidir: 0 korelasyonu yerine değişkenler arasında negatif korelasyon ortaya çıkarırsak, örneklem boyutunu artırmadan varyansı azaltabiliriz. n eff > $n^{-1}$$n_{\text{eff}} > n$

bkz. http://arxiv.org/pdf/1403.5536v1.pdf

ve

https://cran.r-project.org/web/packages/mcmcse/mcmcse.pdf

etkili örneklem büyüklüğü için. Toplu ortalama yoluyla örnek varyans ve asimptotik Markov zincir varyansı oranını kullanan alternatif formülasyonun daha uygun tahmin edici olduğunu düşünüyorum.