Logaritmik Ofsetli İkili Modeller (Probit ve Logit)

Probit ve logit gibi ikili modellerde ofsetin nasıl çalıştığının bir türevi var mı?

Benim sorunumda, takip penceresinin uzunluğu değişebilir. Hastaların tedavi olarak profilaktik bir atış yaptığını varsayalım. Atış farklı zamanlarda gerçekleşir, bu nedenle sonuç herhangi bir alevlenmenin olup olmadığının ikili bir göstergesi ise , bazı kişilerin semptomları göstermek için daha fazla zamana sahip olması için ayarlamanız gerekir. Bir parlama olasılığının, takip süresinin uzunluğu ile orantılı olduğu görülmektedir. Ofsetli bir ikili modelin bu sezgiyi (Poisson'dan farklı olarak) nasıl yakaladığını matematiksel olarak net değilim .

Her iki standart seçenektir ofset Stata (p.1666) ve R , ve kolay kolay bir için sıklıkla görebilirsiniz Poisson , ancak ikili durum biraz opak.

Örneğin, bu cebirsel olarak, ilgili katsayısı standart bir modeldir kısıtlı . Buna logaritmik ofset denir . veya ile değiştirirsek, bunun nasıl çalıştığını anlamakta zorlanıyorum .

\frac{E [y | x]}{Z} = \exp {x^{'} β},

$\begin{equation} \frac{E[y \vert x]}{Z}=\exp\{x'\beta\}, \end{equation}$

E [y | x] = \exp {x^{'} β + \log Z},

$\begin{equation}E[y \vert x]=\exp\{x'\beta+\log{Z}\}, \end{equation}$

\log Z

$\log Z$

1

$1$

\exp {}

$\exp\{\}$

Φ ()

$\Phi()$

Λ ()

$\Lambda()$

Güncelleme # 1:

Logit durumu aşağıda açıklanmıştır.

Güncelleme # 2:

Probit gibi poisson olmayan modeller için ofsetlerin ana kullanımı gibi görünen bir açıklama. Ofset, indeks fonksiyon katsayıları üzerinde olabilirlik oranı testleri yapmak için kullanılabilir. İlk önce kısıtsız modeli tahmin edersiniz ve tahminleri saklarsınız. Diyelim ki hipotezini test etmek istiyorsunuz . Daha sonra, değişken oluşturmak , damlatma modeli uygun kullanılarak ofset olmayan logaritmik olarak. Bu kısıtlı modeldir. LR testleri ikisini karşılaştırır ve normal Wald testine bir alternatiftir. $\beta_x=2$ $z=2 \cdot x$ $x$ $z$

— Dimitriy V. Masterov
kaynak

Yanıtlar:

Herhangi bir GLM'ye her zaman bir ofset ekleyebilirsiniz : bu sadece katsayısı 1 olarak sabitlenmiş bir öngörücü değişkendir. Poisson regresyonu çok yaygın bir kullanım durumu olur.

Bir binom modelinde, bir ofset olarak log-pozlama analogunun sadece binom paydası olduğunu, bu yüzden genellikle açıkça belirtmeye gerek olmadığını unutmayın. Tıpkı bir Poisson RV'yi bir ofset olarak log-pozlama ile bir sayı olarak veya ağırlık olarak pozlama ile bir oran olarak modelleyebildiğiniz gibi, bir binom RV'yi de başarıların ve başarısızlıkların sayısı olarak modelleyebilir veya denemelerde sıklık olarak ağırlık.

Bir lojistik regresyonda, bir ofsetini olasılık oranları açısından yorumlarsınız: oransal bir değişiklik, belirli bir oransal değişikliğe yol . $\log Z$ $Z$ $p/(1-p)$

\begin{aligned} \log (p / (1 - p)) & = β^{'} X + \log Z \\ p / (1 - p) & = Z \exp (β^{'} X) \end{aligned}

$\begin{equation}\begin{split} \log (p/(1-p)) &= \beta' \mathrm{X} + \log Z \\ p/(1-p) &= Z \exp(\beta' \mathrm{X}) \end{split}\end{equation}$

Ancak bunun Poisson regresyonunda log-maruziyet gibi özel bir önemi yoktur. Bununla birlikte, binom olasılığınız yeterince küçükse, bir lojistik model log bağlantısına sahip bir Poisson modeline yaklaşacaktır (LHS üzerindeki payda 1'e yaklaştığından) ve ofset, bir log-maruz kalma terimi olarak değerlendirilebilir.

(Bağlantılı R sorunuzda açıklanan sorun oldukça kendine özgüdür.)

— Hong Ooi
kaynak

Ağırlık kısmı, ikisinin denkliğini anlamamdan eksikti. Bu çok yardımcı oldu. Hala gibi bir şeyi bir alevlenmenin orantılı olma olasılığına ilişkin bir ifadeye nasıl dönüştürebileceğimi biraz karıştırıyorum takip süresi uzunluğu o nasıl olsa görebiliyorum artan içinde .

Pr (Y = 1 | X) = Φ (x^{'} β + \ln (t))

$\Pr(Y=1 \vert X)=\Phi(x'\beta+\ln(t))$

t

$t$

t

$t$

— Dimitriy V. Masterov

Olasılık değil, olasılık oranı. Umarım düzenleme daha açık hale getirir.

— Hong Ooi

Problemin oran oranı cinsinden ifade edilmesi bunu çok açık hale getirir. Probit ne olacak?

— Dimitriy V. Masterov

kanonik bir bağlantı olmadığı ve probit ile ikili bağımlı değişkenin üstel aileye düşmediği için bunun probit için çalışmasını veya en azından temiz bir yorum yapmasını beklemem .

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

— StasK

@StasK Doğru görünüyor, ama o zaman bu seçenekler neden Stata ve R'de var? Ne başarıyorlar?

— Dimitriy V. Masterov

Bunu bir olay-zaman problemi olarak yeniden ele almak, bir ln (zaman) ofsetine sahip bir lojistik model, sizi verilere iyi sığabilecek ya da sığmayacak bir parametrik hayatta kalma fonksiyonuna etkili bir şekilde taahhüt etmez mi?

p / (1-p) = Z * exp (xbeta)

p = [Z * exp (xbeta)] / [1 + Z * exp (xbeta)]

Z = 1- [Z * exp (xbeta)] / [1 + Z * exp (xbeta)] zamanında tahmin edilen hayatta kalma

— Eric
kaynak