merkez dışı Ki kare rastgele değişkenlerin toplamı

21

Rastgele değişkenin burada ve tümü bağımsızdır. Önce s için tüm moment üreten fonksiyonların ve sonra dağılımını elde etmek için geri mümkün olduğunu biliyorum . Bununla birlikte, Gaussian örneğinde olduğu gibi için genel bir form olup olmadığını merak ediyorum : bağımsız Gaussian'ın toplamının hala Gaussian olduğunu biliyoruz ve bu nedenle sadece toplanan ortalama ve toplanan varyansı bilmemiz gerekiyor.

Y = \sum_{i = 1}^{n} (X_{i})^{2}

$Y=\sum_{i=1}^{n}(X_i)^2$

X_{i} \sim N (μ_{i}, σ_{i}^{2})

$X_i\sim{\cal{N}}(\mu_i,\sigma^2_i)$

X_{i}

$X_i$

X_{i}

$X_i$

Y

$Y$

Y

$Y$

Peki ya ? Bu durum genel bir çözüm olacak mı? $\sigma^2_i=\sigma^2$

— görünmez tehlike
kaynak

1

Buradaki birinci paragrafa baktığımızda , nihai koşul açıkça ölçeklendirilmiş bir merkez dışı ki-kare (kare üzerinden

σ^{2}

$\sigma^2$ (önden çıkardığınız ölçek faktörü) ile

σ_{i} = 1

$\sigma_i=1$ ve

içinde

yapın) ile

\sum_{i = 1}^{k} (X_{i} / σ_{i})^{2}

$\sum_{i=1}^k (X_i/\sigma_i)^2$ ).

daha genel biçim,

σ_{i}^{2}

$\sigma^2_i$ düz bir ölçeklenmiş kareler toplamından ziyade , katsayıları

olan doğrusal bir kombinasyona veya ölçek ağırlıklı ortalamaya

... ve genellikle gerekli dağılımın olmayacağına inanıyorum.

— Glen_b -Reinstate Monica

Neye ihtiyaç duyduğunuza bağlı olarak, belirli durumlarda sayısal evrişim veya simülasyon yapabilirsiniz.

— Glen_b -Reinstate Monica

Bu, 'güce göre küt chi-kare toplamı' dağılımı ile genelleştirilir. R paketim

sadists için yaklaşık 'dpqr' fonksiyonunu sağlar ; cf github.com/shabbychef/sadists

Y

$Y$

— shabbychef

17

Glen_b'in dediği gibi, eğer varyansların hepsi aynıysa, ölçeklendirilmiş bir merkez dışı ki-kare ile sonuçlanırsınız.

Olmazsa , genelleştirilmiş bir ki-kare dağılım kavramı vardır , yani ve için . Bu durumda, özel çapraz ( ) ve özel durumunuz vardır . $x^T A x$ $x \sim N(\mu, \Sigma)$ $A$ $\Sigma$ $\Sigma_{ii} = \sigma_i^2$ $A = I$

Bu dağıtımla ilgili işlemleri yapmak için bazı çalışmalar yapıldı:

Imhof (1961) ve Davies (1980) , karakteristik işlevi sayısal olarak tersine çevirir.
Sheil ve O'Muircheartaigh (1977) , dağılımı merkezi ki kare değişkenlerin sonsuz bir toplamı olarak yazmaktadır.
Kuonen (1999) , pdf / cdf'ye bir saddepeplas noktası yaklaşımı verir.
Liu, Tang ve Zhang (2009) , kümülan eşleşmesine dayanan merkez dışı ki kare kare dağılımı ile yaklaşık olarak hesaplamıştır.

Ayrıca bağımsız, merkez dışı ki-kare olmayan değişkenlerin doğrusal bir birleşimi olarak da yazabilirsiniz , bu durumda: $Y = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \left( \frac{X_i^2}{\sigma_i^2} \right)$

Castaño-Martínez ve López-Blázquez (2005) , pdf / cdf için bir Laguerre genişlemesi veriyor.

Bausch (2013) , merkezi ki kare'lerin doğrusal birleşimi için daha verimli bir algoritma verir; çalışmaları, merkez dışı ki-kare alanlara genişletilebilir ve ilgili çalışma bölümünde bazı ilginç işaretçiler bulabilirsiniz.

— Dougal
kaynak

2

Yaklaştırma yöntemlerinin bir karşılaştırması Duchesne ve diğ. 2010. Hesaplamalı İstatistik ve Veri Analizi, 54, 858–862. Yazarlar R paketini CompQuadForm'u uygulamalarıyla sürdürürler .

— caracal

-10

Bu, n serbestlik derecesine sahip Ki-Kare olacak.

— Ahmed
kaynak

6

Sanırım sıfır olabilir. Soruya yapılan yorumlar ve mevcut cevaplar bilgilendiricidir.

μ_{i}

$\mu_i$

— whuber