Pisagor teoremi olarak toplam varyans kanunu

$X$ ve $Y$ sonlu ikinci momentleri olduğunu varsayın . İkinci sonlu an ile rastgele değişkenlerin Hilbert boşluğa (iç ürün ile $T_1,T_2$ ile tanımlanan $E(T_1T_2)$ , $||T||^2=E(T^2)$ ), biz yorumlayabilir $E(Y|X)$ projeksiyonu olarak $Y$ fonksiyonları alan üzerine . $X$

Ayrıca Toplam Varyans Yasasının

V a r (Y) = E (V a r (Y | X)) + V a r (E (Y | X))

$Var(Y)=E(Var(Y|X)) + Var(E(Y|X))$

Bu yasayı yukarıdaki geometrik resim açısından yorumlamanın bir yolu var mı? Bana, kenarları olan dik açılı üçgen için Pisagor Teoremi ile aynı olduğu söylendi . Üçgenin neden dik açılı olduğunu anlıyorum, ancak Pisagor Teoreminin Toplam Varyans Yasasını nasıl yakaladığını değil. $Y, E(Y|X), Y-E(Y|X)$

variance conditional-expectation

— renrenthehamster
kaynak

$E[Y\mid X]$ ve $Y - E[Y\mid X]$ ' un ilişkisiz rasgele değişkenler olduğu için dik açılı üçgeni dikkate alma konusunda rahat olduğunuzu varsayıyorum . İlintisiz rastgele değişkenler için $A$ ve $B$ ,

\begin{matrix} (1) & var (A + B) = var (A) + var (B), \end{matrix}

$\operatorname{var}(A+B) = \operatorname{var}(A) + \operatorname{var}(B),\tag{1}$ biz ayarlanır ve bu durumda

A = Y - E [Y ∣ X]

$A = Y - E[Y\mid X]$ ve

B = E [Y ∣ X]

$B = E[Y\mid X]$ böylece

A + B = Y

$A+B = Y$ ,

\begin{matrix} (2) & var (Y) = var (Y - E [Y ∣ X]) + var (E [Y ∣ X]) . \end{matrix}

$\operatorname{var}(Y) = \operatorname{var}(Y-E[Y\mid X]) + \operatorname{var}(E[Y\mid X]).\tag{2}$ O göstermek kalıyor

İle aynıdır

bu yüzden ki yeniden belirlemek

olarak

toplam varyans formülüdür.

var (Y - E [Y ∣ X])

$\operatorname{var}(Y-E[Y\mid X])$

E [var (Y ∣ X)]

$E[\operatorname{var}(Y\mid X)]$

(2)

$(2)$

\begin{matrix} (3) & var (Y) = E [var (Y ∣ X)] + var (E [Y ∣ X]) \end{matrix}

$\operatorname{var}(Y) = E[\operatorname{var}(Y\mid X)] + \operatorname{var}(E[Y\mid X])\tag{3}$

Bu rastgele değişken beklenen değeri, bu iyi bilinen bir , olup, . Görüyoruz ki $E[Y\mid X]$ $E[Y]$ $E\biggr[E[Y\mid X]\biggr] = E[Y]$ bu aşağıdaki olan , olup, Let ifade rastgele değişken

E [A] = E [Y - E [Y ∣ X]] = E [Y] - E [E [Y ∣ X]] = 0,

$E[A] = E\biggr[Y - E[Y\mid X]\biggr] = E[Y] - E\biggr[E[Y\mid X]\biggr] = 0,$

var (A) = E [A^{2}]

$\operatorname{var}(A) = E[A^2]$

\begin{matrix} (4) & var (Y - E [Y ∣ X]) = E [(Y - E [Y ∣ X])^{2}] . \end{matrix}

$\operatorname{var}(Y-E[Y\mid X]) = E\left[(Y-E[Y\mid X])^2\right].\tag{4}$

C

$C$

böylece

yazabiliriz

Ancak,

burada

(Y - E [Y ∣ X])^{2}

$(Y-E[Y\mid X])^2$

\begin{matrix} (5) & var (Y - E [Y | X]) = E [C] . \end{matrix}

$\operatorname{var}(Y-E[Y\mid X]) = E[C].\tag{5}$

E [C] = E [E [C ∣ X]]

$E[C] = E\biggr[E[C\mid X]\biggr]$

Şimdi,belirliolduğu

, koşullu dağılımı

ortalama sahip

ve böylece

Başka bir deyişle,

E [C ∣ X] = E [(Y - E [Y ∣ X])^{2} | X] .

$E[C\mid X] = E\biggr[(Y-E[Y\mid X])^2{\bigr\vert} X\biggr].$

X = x

$X = x$

Y

$Y$

E [Y ∣ X = x]

$E[Y\mid X=x]$

E [(Y - E [Y | X = x])^{2} | X = x] = var (Y | X = x) .

$E\biggr[(Y-E[Y\mid X=x])^2{\bigr\vert} X=x\biggr] = \operatorname{var}(Y\mid X = x).$

ve böylecerastgele değişken

sadece olan

. Bu nedenle,

E [C ∣ X = x] = var (Y ∣ X = x)

$E[C\mid X = x] = \operatorname{var}(Y\mid X = x)$

E [C ∣ X]

$E[C\mid X]$

var (Y ∣ X)

$\operatorname{var}(Y\mid X)$

\begin{matrix} (6) & E [C] = E [E [C | X]] = E [var (Y | X)], \end{matrix}

$E[C] = E\biggr[E[C\mid X]\biggr] = E[\operatorname{var}(Y\mid X)], \tag{6}$ içine substitusyonuna

gösterir bu

Bu,

nin sağ tarafını tam olarak ihtiyacımız olan şey yapar ve bu nedenle toplam varyans formülünü

kanıtladık .

(5)

$(5)$

var (Y - E [Y | X]) = E [var (Y | X)] .

$\operatorname{var}(Y-E[Y\mid X]) = E[\operatorname{var}(Y\mid X)].$

(2)

$(2)$

(3)

$(3)$

— Dilip Sarwate
kaynak

Y - E (Y | X)

$Y-E(Y|X)$

v a r (Y - E (Y | X)) = E [Y - E (Y | X)]^{2}

$var(Y-E(Y|X))=E[Y-E(Y|X)]^2$

E v a r (Y | X) = E [E ((Y - E (Y | X))^{2} | X)] = E [Y - E (Y | X)]^{2}

$Evar(Y|X)=E[E((Y-E(Y|X))^2|X)]=E[Y-E(Y|X)]^2$

@mpiktas Teşekkürler. İstenen sonuca ulaşmanın daha kısa yolunun farkındayım, ancak bunu başlangıç öğrencilerinin kolayca takip edebileceği şekilde açıklamakta her zaman zorlanıyorum. Bu arada, yazdığınız son denklemde, sağdaki miktarın yanlış yerleştirilmiş bir üssü vardır: köşeli parantez içindeki miktar karedir; yani olmalı

E [(Y - E [Y | X])^{2}]

$E\bigr[(Y-E[Y|X])^2\bigr ]$ . Bir moderatör mecbur kalmadıkça düzeltmek için çok geç.

— Dilip Sarwate

Dilip, birçok olasılıkçı @ mpiktas denklemini yazılı olarak doğru yorumlayacaktı; ekstra parantez seti genellikle bırakılır. Belki de gözlerim beni aldatıyor, ama sanırım gösterimi tutarlı. Yine de, istenirse işleri düzeltmekten memnuniyet duyuyorum. :-)

— kardinal

@cardinal mpiktas'ın yazısını yanlış yorumlamadım ve ne dediğini tam olarak anlayamadım. Ben de tercümeye alışkınken

E X

$EX$ veya

E X

$\mathbb EX$ beklenen değer olarak

X

$X$ , Her zaman şüphelerim var

E X^{2}

$EX^2$ özellikle de PEMDAŞ bunun hakkında hiçbir şey söylemediğinden. Beklentinin üsse göre önceliği var mı, değil mi? Sanırım sadece köşeli parantez içindeki her şeye uygulamak için beklenti operatörüne alışkınım. Lütfen m [iktas adlı kullanıcının yorumunu düzenlemeyin, ancak bu konudaki her şeyi bir önceki yorumumdaki "Bu arada" tarihinden itibaren silmek istiyorsanız , lütfen devam edin.

— Dilip Sarwate

Üzgünüm @ Dalmaç. Niyetim anlamadığınızı öne sürmek değildi; Sahip olduğunuzu biliyordum! Ayrıca gösterimin belirsizliğe de yol açabileceğini kabul ediyorum ve ortaya çıktıklarında bunları belirtmek iyi olur! Demek istediğim, yorumdaki ikinci denklemi düşündüm (yani,

v a r \dots

$var\ldots$ ) bundan sonra kullanılan sözleşmeyi açıklığa kavuşturmuştur. :-)

— kardinal

Beyan:

Pisagor teoremi, herhangi bir unsur için diyor $T_1$ ve $T_2$ sonlu normlara sahip bir iç ürün boşluğunun $\langle T_1,T_2\rangle = 0$ ,

\begin{matrix} (1) & | | T_{1} + T_{2} | |^{2} = | | T_{1} | |^{2} + | | T_{2} | |^{2} . \end{matrix}

$||T_1+T_2||^2 = ||T_1||^2 + ||T_2||^2 \tag{1}.$ Veya başka bir deyişle, dik vektörler için, toplamın kare uzunluğu kare uzunlukların toplamıdır.

Bizim durumumuz:

Bizim durumumuzda $T_1 = E(Y|X)$ ve $T_2 = Y - E[Y|X]$ rastgele değişkenler, kare norm $||T_i||^2 = E[T_i^2]$ ve iç ürün $\langle T_1,T_2\rangle = E[T_1T_2]$ . Çevriliyor $(1)$ istatistiksel dile dönüştürmek için:

\begin{matrix} (2) & E [Y^{2}] = E [{E (Y | X)}^{2}] + E [(Y - E [Y | X])^{2}], \end{matrix}

$E[Y^2] = E[\{E(Y|X)\}^2] + E[(Y - E[Y|X])^2] \tag{2},$ Çünkü

E [T_{1} T_{2}] = Cov (T_{1}, T_{2}) = 0

$E[T_1T_2] = \operatorname{Cov}(T_1,T_2) = 0$ . Bunu değiştirirsek, bunu belirtilen Toplam Varyans Yasası'na benzetebiliriz

(2)

$(2)$ tarafından...

çıkarmak $(E[Y])^2$ her iki taraftan, sol tarafı yapmak $\operatorname{Var}[Y]$ ,
Sağ tarafta dikkat çeken $E[\{E(Y|X)\}^2] - (E[Y])^2 = \operatorname{Var}(E[Y|X])$ ,
Bunu not et $E[(Y - E[Y|X])^2] = E[E\{(Y - E[Y|X])^2\}|X] = E[\operatorname{Var}(Y|X)]$ .

Bu üç madde işareti hakkında ayrıntılar için @ DilipSarwate'in gönderisine bakın. Bütün bunları benden daha detaylı açıklıyor.

— Taylor
kaynak