Korelasyon verilerin durağanlığını varsayıyor mu?

Piyasalar arası analiz, farklı pazarlar arasındaki ilişkileri bulmak yoluyla piyasa davranışını modelleme yöntemidir. Çoğu zaman, S&P 500 ve 30 Yıllık ABD hazineleri, iki pazar arasında bir korelasyon hesaplanır. Bu hesaplamalar, sabit zaman serisi tanımına uymadığı herkes için açık olan fiyat verilerine dayanmaktan çok daha sıktır.

Olası çözümler bir yana (bunun yerine getirileri kullanmak), verileri durağan olmayan bir korelasyonun hesaplanması bile geçerli bir istatistiksel hesaplama mı?

Böyle bir korelasyon hesaplamasının biraz güvenilmez olduğunu mu yoksa sadece saçma olduğunu mu söylersiniz?

correlation stationarity

— Milktrader
kaynak

"geçerli istatistiksel hesaplama" derken, bir şeyin geçerli istatistiksel (tahmin) hesaplamasını söylemelisiniz. Burada bir şey çok önemlidir. Korelasyon, iki veri kümesi arasındaki doğrusal ilişkinin geçerli bir hesaplamasıdır. Neden durağanlığa ihtiyacın olduğunu anlamıyorum, oto-korelasyon mu demek istedin?

— Robin Girard

quant.stackexchange.com : Sorunuza daha uygun olabilecek yeni bir site var . Şimdi, açık bir şekilde yorumlamayı yorumlama ile karıştırıyorsunuz.

— mpiktas

@mpiktas, miktar topluluğunun, getirilerin durağanlığından ve fiyatların durağan olmamasından dolayı fiyatlara karşı getiri kullanmaya karar verdi. Burada neden böyle olması gerektiğine dair sezgisel bir açıklamadan başka bir şey istiyorum.

— Milktrader

@ robin, istatistiksel bir analizi sorgulamanıza neden olabilecek birkaç şey var. İşlenen veriler gibi daha belirgin şeyler olduğu gibi, örneklem büyüklüğü de akla geliyor. Verilerin durağan olmamaları bir korelasyon hesaplamasını sorgulamaktadır mı?

— Milktrader

hesaplama değil, korelasyon yüksek değilse belki de yorumlama. Yüksek (yani, yüksek bir doğrusal ilişki), yüksek bir korelasyon anlamına halinde olmayan iki stasyoner zaman serisi ki

(X_{t})

$(X_t)$ ve

(Y_{t})

$(Y_t)$ , potansiyel olarak son derece zaman (örneğin, ilişkili olabilir

X_{t} = Y_{t}

$X_t=Y_t$ .

— robin Girard

Korelasyon doğrusal ilişkiyi ölçer. Gayri resmi bağlamda ilişki, istikrarlı bir şey demektir. Durağan değişkenler için örnek korelasyonu hesapladığımızda ve kullanılabilir veri noktalarının sayısını arttırdığımızda bu örnek korelasyon, gerçek korelasyon eğilimindedir.

Genellikle rastlantısal yürüyüşler olan fiyatlar için örnek korelasyonun rastgele değişkene eğilim gösterdiği gösterilebilir. Bu, ne kadar elimizde veri olursa olsun, sonucun her zaman farklı olacağı anlamına gelir.

Not Matematiksel sezgiyi matematik olmadan ifade etmeyi denedim. Matematiksel bakış açısıyla açıklama çok açık: Durağan süreçlerin örnek momentleri olasılıkta sabitlere yaklaşıyor. Rastgele yürüyüşlerin örnek anları, rastgele değişkenler olan Brownian hareketi integrallerine yaklaşır. İlişki genellikle sayı olarak ve rastgele bir değişken olarak ifade edilmediğinden, durağan olmayan değişkenler için korelasyonu hesaplamama nedeni belirginleşir.

Güncelleme Yaptığımızdan beri iki değişken arasındaki korelasyon ile ilgileniyoruz, ilk önce durağan süreç geliyorlar . Durağanlık ima ve bağımlı olmayan . Yani korelasyon $Z_t=(X_t,Y_t)$ $EZ_t$ $cov(Z_t,Z_{t-h})$ $t$

c O r r (X_{t}, Y_{t}) = \frac{c O v (X_{t}, Y_{t})}{\sqrt{D X_{t} D Y_{t}}}

$corr(X_t,Y_t)=\frac{cov(X_t,Y_t)}{\sqrt{DX_tDY_t}}$

Ayrıca bağımlı değildir formülünde tüm miktarlar matris alınan bu, bağlı değildir, . Öyleyse örnek korelasyonun hesaplanması $t$ $cov(Z_t)$ $t$

yapar anlamda, örnek korelasyon tahmin dair makul bir umut olabilir çünkü. Bu belirli koşulları sağlayarak durağan süreçler için biz buna sahip itibaren bu umut asılsız olmadığını çıkıyor

\hat{ρ} = \frac{\frac{1}{T} Σ_{t = 1}^{T} (X_{t} - \bar{X}) (Y_{t} - \bar{Y})}{\sqrt{\frac{1}{T^{2}} Σ_{t = 1}^{T} (X_{t} - \bar{X})^{2} Σ_{t = 1}^{T} (Y_{t} - \bar{Y})^{2}}}

$\hat{\rho}=\frac{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^T(X_t-\bar{X})(Y_t-\bar{Y})}{\sqrt{\frac{1}{T^2}\sum_{t=1}^T(X_t-\bar{X})^2\sum_{t=1}^T(Y_t-\bar{Y})^2}}$

ρ = c o r r (X_{t}, Y_{t})

$\rho=corr(X_t,Y_t)$

,olasılıkta

olarak. Dahası

\hat{ρ} \to ρ

$\hat{\rho}\to\rho$

T \to \infty

$T\to\infty$

dağılımı, yaklaşık hipotezleri test böylece

\sqrt{T} (\hat{ρ} - ρ) \to N (0, σ_{ρ}^{2})

$\sqrt{T}(\hat{\rho}-\rho)\to N(0,\sigma_{\rho}^2)$

ρ

$\rho$

Şimdi varsayalım durağan değildir. Daha sonra bağlıdır . Bu yüzden büyüklüğünde bir örnek gözlemlediğimizde potansiyel olarak farklı korelasyonları tahmin etmemiz gerekir . Bu elbette mümkün değil, bu yüzden en iyi senaryoda , ortalama veya varyans gibi bazı fonksiyonlarını tahmin edebiliriz . Ancak, sonuçta makul bir yorum olmayabilir. $Z_t$ $corr(X_t,Y_t)$ $t$ $T$ $T$ $\rho_t$ $\rho_t$

Şimdi, muhtemelen en çok çalışılan durağan olmayan süreç rastgele yürüyüşün korelasyonuyla ne olduğunu inceleyelim. Bu işlem çağrı rastgele bir yürüme durumunda , burada sabit bir süreçtir. Basit olması için olduğunu varsayalım . Sonra $Z_t=(X_t,Y_t)$ $Z_t=\sum_{s=1}^t(U_t,V_t)$ $C_t=(U_t,V_t)$ $EC_t=0$

\begin{aligned} c O r r (X_{t} Y_{t}) = \frac{E X_{t} Y_{t}}{\sqrt{D X_{t} D Y_{t}}} = \frac{E Σ_{s = 1}^{t} U_{t} Σ_{s = 1}^{t} V_{t}}{\sqrt{D Σ_{s = 1}^{t} U_{t} D Σ_{s = 1}^{t} V_{t}}} \end{aligned}

$\begin{align} corr(X_tY_t)=\frac{EX_tY_t}{\sqrt{DX_tDY_t}}=\frac{E\sum_{s=1}^tU_t\sum_{s=1}^tV_t}{\sqrt{D\sum_{s=1}^tU_tD\sum_{s=1}^tV_t}} \end{align}$

Ayrıca basitlik varsaymak için , beyaz bir gürültüsüdür. Bu demektir ki, tüm korelasyon olduğunu için sıfır, . Bu kısıtlamaz bu Not sıfıra. $C_t=(U_t,V_t)$ $E(C_tC_{t+h})$ $h>0$ $corr(U_t,V_t)$

Daha sonra

\begin{aligned} c o r r (X_{t}, Y_{t}) = \frac{t E U_{t} V_{t}}{\sqrt{t^{2} D U_{t} D V_{t}}} = c o r r (U_{0}, V_{0}) . \end{aligned}

$\begin{align} corr(X_t,Y_t)=\frac{tEU_tV_t}{\sqrt{t^2DU_tDV_t}}=corr(U_0,V_0). \end{align}$

Şimdiye kadar iyi, süreç durağan olmasa da, aynı kısıtlayıcı varsayımlarda bulunmak zorunda kalmamıza rağmen, korelasyon mantıklı geliyor.

Şimdi örnek korelasyonuna ne olduğunu görmek için fonksiyonel merkezi limit teoremi denilen rastgele yürüyüşlerle ilgili şu gerçeği kullanmamız gerekecek:

dağıtım bölgesiveiki değişkenliBrownian hareketidir(iki boyutlu Wiener işlemi). Rahatlık için tanım tanıtmak

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{T}} Z_{[T s]} = \frac{1}{\sqrt{T}} \sum_{t = 1}^{[T s]} C_{t} \to (c o v (C_{0}))^{- 1 / 2} W_{s}, \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{\sqrt{T}}Z_{[Ts]}=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{[Ts]}C_t\to (cov(C_0))^{-1/2}W_s, \end{align}$

s \in [0, 1]

$s\in[0,1]$

W_{s} = (W_{1 s}, W_{2 s})

$W_s=(W_{1s},W_{2s})$

M_{s} = (M_{1 s}, M_{2 s}) = (c o v (C_{0}))^{- 1 / 2} W_{s}

$M_s=(M_{1s},M_{2s})=(cov(C_0))^{-1/2}W_s$

Yine sadelik için örnek korelasyonu tanımlayalım.

\begin{aligned} \hat{ρ} = \frac{\frac{1}{T} \sum_{t = 1}^{T} X_{t} Y_{t}}{\sqrt{\frac{1}{T} \sum_{t = 1}^{T} X_{t}^{2} \frac{1}{T} \sum_{t = 1}^{T} Y_{t}^{2}}} \end{aligned}

$\begin{align} \hat{\rho}=\frac{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^TX_{t}Y_t}{\sqrt{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^TX_t^2\frac{1}{T}\sum_{t=1}^TY_t^2}} \end{align}$

Varyanslarla başlayalım. Sahibiz

\begin{aligned} E \frac{1}{T} \sum_{t = 1}^{T} X_{t}^{2} = \frac{1}{T} E \sum_{t = 1}^{T} {(\sum_{s = 1}^{t} U_{t})}^{2} = \frac{1}{T} \sum_{t = 1}^{T} t σ_{U}^{2} = σ_{U} \frac{T + 1}{2} . \end{aligned}

$\begin{align} E\frac{1}{T}\sum_{t=1}^TX_t^2=\frac{1}{T}E\sum_{t=1}^T\left(\sum_{s=1}^tU_t\right)^2=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^Tt\sigma_U^2=\sigma_U\frac{T+1}{2}. \end{align}$

Bu, arttıkça sonsuzluğa gider , bu yüzden ilk soruna çarptık, örneklem varyansı birleşmez. Öte yandan sürekli eşleme teoremi fonksiyonel merkezi limit teoremi ile birlikte $T$

where, dağılımda yakınsaklık,olarak yakınsamadır.

\begin{aligned} \frac{1}{T^{2}} \sum_{t = 1}^{T} X_{t}^{2} = \sum_{t = 1}^{T} \frac{1}{T} {(\frac{1}{\sqrt{T}} \sum_{s = 1}^{t} U_{t})}^{2} \to \int_{0}^{1} M_{1 s}^{2} d s \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{T^2}\sum_{t=1}^TX_t^2=\sum_{t=1}^T\frac{1}{T}\left(\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{s=1}^tU_t\right)^2\to \int_0^1M_{1s}^2ds \end{align}$

T \to \infty

$T\to \infty$

Benzer şekilde

\begin{aligned} \frac{1}{T^{2}} \sum_{t = 1}^{T} Y_{t}^{2} \to \int_{0}^{1} M_{2 s}^{2} d s \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{T^2}\sum_{t=1}^TY_t^2\to \int_0^1M_{2s}^2ds \end{align}$

\begin{aligned} \frac{1}{T^{2}} \sum_{t = 1}^{T} X_{t} Y_{t} \to \int_{0}^{1} M_{1 s} M_{2 s} d s \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{T^2}\sum_{t=1}^TX_tY_t\to \int_0^1M_{1s}M_{2s}ds \end{align}$

Sonunda rastgele yürüyüşümüzün örnek korelasyonu için

dağılımında.

\begin{aligned} \hat{ρ} \to \frac{\int_{0}^{1} M_{1 s} M_{2 s} d s}{\sqrt{\int_{0}^{1} M_{1 s}^{2} d s \int_{0}^{1} M_{2 s}^{2} d s}} \end{aligned}

$\begin{align} \hat{\rho}\to \frac{\int_0^1M_{1s}M_{2s}ds}{\sqrt{\int_0^1M_{1s}^2ds\int_0^1M_{2s}^2ds}} \end{align}$

T \to \infty

$T\to \infty$

Her ne kadar korelasyon iyi tanımlanmış olsa da, örneklem korelasyonu durağan süreçte olduğu gibi ona yakınlaşmaz. Bunun yerine, belirli bir rasgele değişkeni birleştirir.

— mpiktas
kaynak

Matematiksel bakış açısı açıklaması aradığım şeydi. Bana düşünmek ve daha fazla keşfetmek için bir şey verir. Teşekkürler.

— Milktrader

Bu cevap orijinal soruyu cevaplamıyor gibi görünüyor: Sadece, korelasyon hesaplamanın durağan süreçler için anlamlı olduğunu söylemiyor musunuz?

— whuber

@whuber, yorumu göz önünde bulundurarak soruyu yanıtlıyordum, ancak soruyu tekrar okudum ve OP anladığım kadarıyla sabit olmayan veriler için korelasyon hesaplaması hakkında sorular sordu. Durağan süreçler için korelasyonun hesaplanması mantıklı, tüm makroekonomik analiz (VAR, VECM) buna güveniyor.

— mpiktas

Sorumu bir cevapla açıklığa kavuşturmaya çalışacağım.

— whuber

@whuber cevabımdan alıp durduğumda durağan olmayan verilere dayanan bir korelasyonun yararlı olabilecek ya da olmayabilecek rastgele bir değişken vermesidir. Sabit verilere dayanan korelasyon bir sabite yaklaşır. Bu, işlemcilerin neden "x-gün haddeleme korelasyonuna" ilgi duyduğunu açıklayabilir, çünkü korelasyonlu davranışlar geçici ve sahtedir. "X-gün haddeleme korelasyonu" geçerli veya yararlı olup olmadığı başka bir soru için.

— Milktrader

... verileri durağan olmayan bir korelasyonun hesaplanması bile geçerli bir istatistiksel hesaplama mıdır?

$W$ $h$ $P$ $V$ $P(0) = 1$ $P(t+1) = -P(t)$ $V(t) > h$ $P(t+1) = P(t)$ $V(t) = P(t)W(t)$ $V$ $W$ $V$ $h$ $W$

görüntü tanımını buraya girin

$h=5$ $W$ $V$

$V$ $W$ $V$ $W$

Şekil üretmek için Mathematica kodu:

With[{h=5},
pv[{p_, v_}, w_] := With[{q=If[v > h, -p, p]}, {q, q w}];
w = Accumulate[RandomInteger[{-1,1}, 25 h^2]];
{p,v} = FoldList[pv, {1,0}, w] // Transpose;
ListPlot[{w,v}, Joined->True]]

— whuber
kaynak

Cevabınızın bunu işaret ettiği iyi ama sürecin birbiriyle bağlantılı olduğunu söyleyemem, bağımlı olduklarını söyleyebilirim. Mesele bu. Korelasyonun hesaplanması geçerlidir ve burada “korelasyon yok” diyecektir ve hepimiz bunun “bağımlılık yok” anlamına gelmediğini biliyoruz.

— Robin Girard

@ robin Bu iyi bir nokta, ancak bu örneği özel olarak, potansiyel olarak uzun bir süre boyunca bu iki işlemin mükemmel bir şekilde ilişkilendirilebileceği şekilde inşa ettim . Sorun, korelasyona karşı bağımlılıktan değil, doğal olarak daha hafif bir fenomenle ilgilidir: süreçler arasındaki ilişkinin rastgele dönemlerde değiştiği. Kısaca, gerçek piyasalarda tam olarak ne olabilir (ya da en azından bunun olabileceğinden endişelenmeliyiz!).

— whuber

@whubert evet ve bu, potansiyel olarak uzun bir süre boyunca çok yüksek korelasyona sahip olan ve daha büyük zamansal ölçeğe bakıldığında hala hiç (ama oldukça bağımlı) korelasyon göstermeyen süreçlerin olduğunu gösteren çok iyi bir örnektir.

— Robin Girard

@ robin girard, buradaki anahtar durağan olmayan süreçler için teorik korelasyonun zamana göre değiştiğini düşünüyorum, durağan süreçler için teorik korelasyon aynı kalıyor. Dolayısıyla, temelde bir sayı olan örnek korelasyon ile durağan olmayan süreçlerde gerçek korelasyonların varyasyonunu yakalamak imkansızdır.

— mpiktas