Standart betaları orijinal değişkenlere geri dönüştürme

Bunun çok basit bir soru olduğunun farkındayım ama aradıktan sonra aradığım cevabı bulamıyorum.

Ben betaların sırt tahminlerini hesaplamak için (sırt regresyonu) çalıştırmak değişkenleri standartlaştırmak gerekir bir sorun var.

Daha sonra bunları orijinal değişkenler ölçeğine geri dönüştürmem gerekiyor.

Ama bunu nasıl yaparım?

İki değişkenli dava için bir formül buldum.

β^{*} = \hat{β} \frac{S_{x}}{S_{y}} .

$\beta^* = \hat\beta \frac{S_x}{S_y} \>.$

Bu, D. Gujarati, Temel Ekonometri , sayfa 175, formül (6.3.8) 'de verilmiştir.

Nerede regresyonu tahmincileri standardize değişkenlere ve aynı tahmincisi orijinal ölçekte geri dönüştürülmüş, regressand örnek standart sapma olduğunu ve numune standart sapmadır. $\beta^*$ $\hat\beta$ $S_y$ $S_x$

Ne yazık ki kitap çoklu regresyon için benzer sonuçları kapsamıyor.

Ayrıca iki değişkenli vakayı anladığımdan emin değilim? Basit cebirsel manipülasyon , orijinal ölçekte formülünü verir : $\hat\beta$

\hat{β} = β^{*} \frac{S_{y}}{S_{x}}

$\hat\beta=\beta^* \frac{S_y}{S_x}$

Zaten tarafından sönük olan değişkenler üzerinde hesaplanan , geri dönüştürülmek için tarafından tekrar söndürülmesi gerektiği bana garip geliyor mu? (Artı ortalama değerler neden tekrar eklenmiyor?) $\hat\beta$ $S_x$ $S_x$

Peki, biri sonucu anlayabilmem için bir türev ile ideal olarak çok değişkenli bir vaka için bunu nasıl açıklayabilir?

— Baz
kaynak

Standartlaştırılmış değişkenleri kullanan regresyon modeli için regresyon çizgisi için aşağıdaki formu varsayıyoruz

E [Y] = β_{0} + \sum_{j = 1}^{k} β_{j} z_{j},

$\mathbb E[Y] =\beta_{0}+\sum_{j=1}^{k}\beta_{j}z_{j},$

burada j'nci (standart) geri çekici, elde edilen bir örnek ortalaması çıkarılarak ve örnek standart sapma ile bölünmesi : $z_{j}$ $x_j$ $\bar x_j$ $S_j$

z_{j} = \frac{x_{j} - {\bar{x}}_{j}}{S_{j}}

$z_j = \frac{x_j - \bar{x}_j}{S_j}$

Regresyonu standart regresörler ile gerçekleştirerek, uygun regresyon hattını elde ederiz:

\hat{Y} = {\hat{β}}_{0} + \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} z_{j}

$\hat Y = \hat \beta_0 +\sum_{j=1}^{k} \hat \beta_{j}z_{j}$

Şimdi standart olmayan öngörücüler için regresyon katsayılarını bulmak istiyoruz. Sahibiz

\hat{Y} = {\hat{β}}_{0} + \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} (\frac{x_{j} - {\bar{x}}_{j}}{S_{j}})

$\hat Y = \hat \beta_0 +\sum_{j=1}^{k} \hat \beta_{j}\left(\frac{x_j - \bar{x}_j}{S_j}\right)$

Yeniden düzenleme, bu ifade olarak yazılabilir

\hat{Y} = ({\hat{β}}_{0} - \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} \frac{{\bar{x}}_{j}}{S_{j}}) + \sum_{j = 1}^{k} (\frac{{\hat{β}}_{j}}{S_{j}}) x_{j}

$\hat Y = \left( \hat \beta_0 - \sum_{j=1}^k \hat \beta_j \frac{\bar x_j}{S_j} \right) + \sum_{j=1}^k \left(\frac{\hat \beta_j}{S_j}\right) x_j$

Gördüğümüz gibi, dönüştürülmemiş değişkenleri kullanarak regresyon kesişimi . öngörüsünün regresyon katsayısı . $\hat \beta_0 - \sum_{j=1}^k \hat \beta_j \frac{\bar x_j}{S_j}$ $j$ $\frac{\hat \beta_j}{S_j}$

Sunulan davada, sadece öngörücülerin standartlaştırıldığını varsaydım. Yanıt değişkeni de standartlaştırılırsa, değişken değişken katsayılarının orijinal ölçeğe dönüştürülmesi verdiğiniz referanstaki formül kullanılarak yapılır. Sahibiz:

\frac{E [Y] - \hat{y}}{S_{y}} = β_{0} + \sum_{j = 1}^{k} β_{j} z_{j}

$\frac{\mathbb E[Y] - \hat y}{S_y} =\beta_{0}+\sum_{j=1}^{k}\beta_{j}z_{j}$

Regresyonu uygulayarak, uygun regresyon denklemini elde ederiz

{\hat{Y}}_{s c a l e d} = \frac{{\hat{Y}}_{u n s c a l e d} - \bar{y}}{S_{y}} = {\hat{β}}_{0} + \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} (\frac{x_{j} - {\bar{x}}_{j}}{S_{j}}),

$\hat Y_{scaled} = \frac{\hat Y_{unscaled} - \bar y}{S_y} = \hat \beta_0 +\sum_{j=1}^{k} \hat \beta_{j}\left(\frac{x_j - \bar{x}_j}{S_j}\right),$

Burada takılan değerler standart yanıt ölçeğinde bulunur. Onları ve dönüştürülmemiş model için katsayı tahminlerini kurtarmak için, denklemi ile ve örnek ortalamasını diğer tarafa getiririz : $S_y$ $y$

{\hat{Y}}_{u n s c a l e d} = {\hat{β}}_{0} S_{y} + \bar{y} + \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} (\frac{S_{y}}{S_{j}}) (x_{j} - {\bar{x}}_{j}) .

$\hat Y_{unscaled} = \hat \beta_0 S_y + \bar y +\sum_{j=1}^{k} \hat \beta_{j}\left(\frac{S_y}{S_j}\right) (x_j - \bar{x}_j).$

Sonuç olarak ne yanıtın ne de öngörücülerin standartlaştırılmadığı modele karşılık gelen kesişme sonucu ise, ilgili model için ortak değişken katsayıları her katsayıyı ile çarparak elde . $\hat \beta_0 S_y + \bar y - \sum_{j=1}^k \hat \beta_j \frac{S_y}{S_j}\bar x_j$ $S_y / S_j$

— Philipp Burckhardt
kaynak