Bağımsızlık için MGF ortaklığında gerekli ve yeterli koşul

CDF ile bir ortak dağılım için bir ortak moment üreten fonksiyonum olduğunu varsayalım . Mi her ikisi de gerekli ve yeterli bağımsızlığı şartı ve ? Sadece gereklilikten bahseden birkaç ders kitabını kontrol ettim : $M_{X,Y}(s,t)$ $F_{X,Y}(x,y)$ $M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$ $X$ $Y$

F_{X, Y} (x, y) = F_{X} (x) \cdot F_{Y} (y) ⟹ M_{X, Y} (s, t) = M_{X} (s) \cdot M_{Y} (t)

$F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) \implies M_{X,Y}(s,t)=M_X(s) \cdot M_Y(t)$

Bağımsızlık . Marjinallerin MGF'leri ortak MGF tarafından belirlendiğinden: $M_{X,Y}(s,t)=\mathbb{E}(e^{sX+tY})=\mathbb{E}(e^{sX}) \mathbb{E}(e^{tY})$

X, Y independent ⟹ M_{X, Y} (s, t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$X,Y\text{ independent} \implies M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$

Ancak çevrimiçi arama yaptıktan sonra, sadece kanıt olmadan, kısa bir referans buldum . Aşağıdaki çizim kanıtı uygulanabilir mi?

Ortak bir MGF $M_{X,Y}(s,t)$ verildiğinde, bu $X$ ve marjinal dağılımlarını $Y$ ve onların MGF'lerini, $M_X(s)=M_{X,Y}(s,0)$ ve $M_Y(t)=M_{X,Y}(0,t)$ . Tek başına marjinaller diğer birçok olası eklem dağılımıyla uyumludur ve $X$ ve $Y$ bağımsız olduğu bir ortak dağılımı CDF $F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y)=F_X(x) \cdot F_Y(y)$ ve MGF:

M_{X, Y}^{ind} (s, t) = M_{X} (s) \cdot M_{Y} (t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t) = M_X(s) \cdot M_Y(t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$

Eğer orijinal MGF'miz için verildiğinde, göstermek için yeterli . Daha sonra MGF'lerin benzersizliği ile orijinal ortak dağıtımımız ve ve bağımsızdır. $M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$ $M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t)$ $F_{X,Y}(x,y) = F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y) = F_X(x) \cdot F_Y(y)$ $X$ $Y$

— Gümüş Balık
kaynak

Evet, bu sadece iki rastgele değişken için değil, aynı zamanda (sonlu) rastgele değişken dizisi için de bağımsızlık için gerekli ve yeterli koşuldur. Rinaldo B. Schinazi tarafından İstatistik Uygulamaları ile Olasılık, 242 . Veya olasılık üretme fonksiyonuna dayanan Sayım Verilerinin Ekonometrik Analizi sayfa 259 . Sadece "moment üreten fonksiyon her zaman mevcut değildir".

— Stat
kaynak

Katı referanslar için teşekkürler. Evet, başlangıçta orijinal MGF'nin verildiğini ve bahsettiğim diğer MGF'lerin herhangi bir şey yapmadan önce bir sonuç olarak var olduğunu göstermeye çalıştığını belirtmeye dikkat ettim! Referanslarınızda hangi kanıt stratejileri uygulandı?

— Silverfish

İlk referansımda P2'den hemen sonra paragrafı okudunuz mu?

— Stat

Ah evet - önerilen kanıtımın vektörlere uzantısı. Verilen dağılımın MGF'sini, bağımsız bileşenler olan MGF ile karşılaştırın; bunlar aynıdır ve MGFs benzersiz ortak dağılımını belirlemek beri, ortak dağıtım olan bağımsız bir.

— Silverfish