Maksimum olabilirlik tahmininin geometrik yorumu

Franklin M. Fisher'ın Ekonometri'de Kimlik Sorunu kitabını okuyordum ve olasılık fonksiyonunu görselleştirerek tanımlamayı gösterdiği kısım ile karıştırdım.

Sorun şu şekilde basitleştirilebilir:

Bir regresyon için , burada , ve parametrelerdir. Varsayalım bir katsayısına sahiptir bire eşittir. Daha sonra uzayındaki olasılık fonksiyonu , gerçek parametreler vektörüne ve skaler katlarına karşılık gelen ışın boyunca bir çıkıntıya sahip olacaktır . Sadece verilen yer göz önüne alındığında , olasılık fonksiyonu ışının o düzlemle kesiştiği noktada benzersiz bir maksimuma sahip olacaktır.u ∼ i . i . d . N ( 0 , σ 2 I ) a b Y c c , a , b c = $Y=a+Xb+u$$u \sim i.i.d. N(0,\sigma^2I)$$a$$b$$Y$$c$$c, a,b$$c=1$

Sorularım:

1. Gösteride bahsedilen sırt ve ışın hakkında kişi nasıl anlamalı ve akıl yürütmelidir.
2. Işın gerçek parametreler ve skalerler olduğundan, parametresinin gerçek değeri olduğu için ışın neden tarafından verilen düzlemde değil .$c=1$$c$

Bağlamdan ötürü bu pasaj biraz belirsiz ama bunu nasıl yorumladığım.

Varsayalım ki doğrusal bir regresyon yapmak istedim . Yazmaya olur burada . Eğer gerçek parametrelerdir sonra açıkça gerçek parametrelerdir .c Y = a ′ + X b ′ + u u ∼ N ( 0 , c 2 σ 2 ) Y = a 0 + X b 0 c Y = c a 0 + X c b 0 c $cY$$cY = a' +Xb' + u$$u \sim N(0, c^2 \sigma^2)$$Y=a_0+Xb_0$$cY = c a_0 + Xcb_0$$cY$

Sabit için, bu regresyon için olabilirlik fonksiyonunun ve noktasında benzersiz bir maksimumu vardır . Böylece, genel için gerçek parametrenin skaler çarpımlarının ışını, üç değişkenin bir fonksiyonu olarak olabilirlik fonksiyonunun sırtını oluşturur. Şimdi almak ile kesişecek düzlem.c Y a ′ = c a 0 b ′ = c b 0 c c = 1 c = $c$$cY$$a'=ca_0$$b' = cb_0$$c$$c=1$$c=1$