Toplam (sınıf içinde + sınıf arasında) dağılım matrisinin türetilmesi

PCA ve LDA yöntemleri ile uğraşıyordum ve bir noktada takılı kaldım, göremediğim kadar basit bir his var.

İçinde sınıfının ( ) arasında sınıfının ( ) dağılım matrisleri gibi tanımlanır: $S_W$ $S_B$

S_{W} = \sum_{i = 1}^{C} \sum_{t = 1}^{N} (x_{t}^{i} - μ_{i}) (x_{t}^{i} - μ_{i})^{T}

$S_W = \sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N(x_t^i - \mu_i)(x_t^i - \mu_i)^T$

S_{B} = \sum_{i = 1}^{C} N (μ_{i} - μ) (μ_{i} - μ)^{T}

$S_B = \sum_{i=1}^CN(\mu_i-\mu)(\mu_i-\mu)^T$

Toplam saçılma matrisi şu şekilde verilir: $S_T$

S_{T} = \sum_{i = 1}^{C} \sum_{t = 1}^{N} (x_{t}^{i} - μ) (x_{t}^{i} - μ)^{T} = S_{W} + S_{B}

$S_T = \sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N(x_t^i - \mu)(x_t^i - \mu)^T = S_W + S_B$

burada C sınıf sayısı ve N örnek sayısı numuneler, sınıf ortalaması, genel ortalamadır. $x$ $\mu_i$ $\mu$

Türetmek için çalışırken Gördüğüm bir noktaya kadar geldi: $S_T$

(x - μ_{i}) (μ_{i} - μ)^{T} + (μ_{i} - μ) (x - μ_{i})^{T}

$(x-\mu_i)(\mu_i-\mu)^T + (\mu_i-\mu)(x-\mu_i)^T$

bir terim olarak. Bunun sıfır olması gerekiyor, ama neden?

Aslında:

\begin{aligned} S_{T} & = \sum_{i = 1}^{C} \sum_{t = 1}^{N} (x_{t}^{i} - μ) (x_{t}^{i} - μ)^{T} \\ = \sum_{i = 1}^{C} \sum_{t = 1}^{N} (x_{t}^{i} - μ_{i} + μ_{i} - μ) (x_{t}^{i} - μ_{i} + μ_{i} - μ)^{T} \\ = S_{W} + S_{B} + \sum_{i = 1}^{C} \sum_{t = 1}^{N} [(x_{t}^{i} - μ_{i}) (μ_{i} - μ)^{T} + (μ_{i} - μ) (x_{t}^{i} - μ_{i})^{T}] \end{aligned}

$\begin{align} S_T &= \sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N(x_t^i - \mu)(x_t^i - \mu)^T \\ &= \sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N(x_t^i - \mu_i + \mu_i - \mu)(x_t^i - \mu_i + \mu_i - \mu)^T \\ &= S_W + S_B + \sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N\big[(x_t^i - \mu_i)(\mu_i - \mu)^T + (\mu_i - \mu)(x_t^i - \mu_i)^T\big] \end{align}$

discriminant-analysis

— nimcap
kaynak

Cevap, değerlerin ortalamaları arasındaki sapmaları topladığınız ve bu toplamın sıfır olduğu. Ama tam olarak,

nedir?

ile nasıl ilişkilidir ? Cevapların kalitesi ne kadar doğru tahmin ettiğimize bağlı olacaktır, ancak bizi çok fazla tahmin yapmaya zorluyorsunuz!

x

$x$

m

$m$

m_{i}

$m_i$

m

$m$

m_{i}

$m_i$

μ

$\mu$

μ_{i}

$\mu_i$

— whuber

@whuber: Tamamen haklısın, sorumu revize ettim.

— nimcap

Varsayarsan

\frac{1}{N} \sum_{t = 1}^{N} x_{t}^{i} = μ_{i}

$\frac{1}{N}\sum_{t=1}^Nx_t^{i}=\mu_i$

Sonra

\sum_{i = 1}^{C} \sum_{t = 1}^{N} (x_{t}^{i} - μ_{i}) (μ_{i} - μ)^{T} = \sum_{i = 1}^{C} (\sum_{t = 1}^{N} (x_{t}^{i} - μ_{i})) (μ_{i} - μ)^{T} = 0

$\sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N(x_t^i-\mu_i)(\mu_i-\mu)^T=\sum_{i=1}^C\left(\sum_{t=1}^N(x_t^i-\mu_i)\right)(\mu_i-\mu)^T=0$

ve formül tutar. İkinci terimle de aynı şekilde ilgileniyorsunuz.

— mpiktas
kaynak

(+1) İlk terimin devri olan ikinci terim de sıfır olmalıdır :-).

— whuber

@whuber, evet, o da :)

— mpiktas

Merhaba, varsayımın neden geçerli olduğunu anlamıyorum? Birisi bunu açıklayabilir mi?

— MVT

μ_{i}

$\mu_i$

μ_{i}

$\mu_i$

i

$i$

μ_{i}

$\mu_i$